第3章 一元一次方程【单元卷·测试卷】-2024-2025学年六年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第3章 一元一次方程【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列各式中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 3．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的方程的解满足，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．若是关于的一元一次方程，则 ． 8．将方程 去分母，应在方程的两边同乘以 ． 9．若关于的方程的解为，则的值为 ． 10．甲、乙两人身上带的钱数之比是，甲给乙5元后，变成．那么，甲、乙两人共有 钱元． 11．如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 12．若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 13．将长方形分割成如图所示的7个正方形，其中两个正方形内的三块空白为长方形．若两个阴影部分周长之和为68，则长方形的周长为 ． 14．小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 15．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙两人都急于上楼办事，在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了60级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了70级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为 ． 16．如图是由、、、、、六个正方形拼接而成的长方形，已知中间最小的一个正方形的边长为3，则这个长方形的周长是 ． 17．已知是关于x的整式，记为．我们规定：导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式；若，则的导出多项式．若时，， ． 18．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 3、 解答题（本大题共7小题，共64分） 19．利用等式的性质解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 20．解方程： (1) (2) 21．若是关于的方程的解，求代数式的值． 22．如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 23．超市规定娃哈哈矿泉水的销售方式如下： 购买矿泉水的数量 不超过30瓶 30瓶以上但是不超过50瓶 50瓶以上 每瓶价格 3元 2.6元 2元 集团举办运动会时，六（2）班集体购买娃哈哈矿泉水，由于天气炎热，第一次购买的水不够喝，又买了一次（第二次多于第一次），已知两次共购买70瓶，共付192元． (1)如果六（2）班集体第一次直接购买70瓶，可以少付多少钱？ (2)问六（2）班第一次和第二次分别购买多少瓶水？ 24．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，并且它的解是，求m，n的值． 25．如图，数轴上有，两条线段（在右侧），点到点的距离与点到点的距离之差为3，，数轴上点，表示的数分别是，12．    (1)________，______． (2)点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴一直向右运动，同时点从点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，运动时间为秒．（运动过程中点始终在点右侧，点在点右侧，线段，长度不变） ①当点运动到原点的左侧，且到原点的距离为2时，求线段的长度． ②当线段与重合部分的线段长为1时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 一元一次方程【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列各式中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的识别，判断一个方程是否是一元一次方程，看它是否具备以下三个条件：①只含有一个未知数，②含未知数项的最高次数是1，③整式方程，这三个条件缺一不可．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．中未知数的次数是2，故不符合题意； B．不是整式方程，故不符合题意；     C．中含2个未知数，故不符合题意；     D．是一元一次方程，符合题意； 故选D． 2．把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设这个班有学生人，图书本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生人，图书本， 由题意得，， ， 故选：B． 3．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，根据去分母的方法进行解答即可． 【详解】解： 两边同乘以6得，， 故选：D． 4．已知关于的方程的解满足，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握方程的解，即为能使方程左右两边相等的未知数的值．先求出方程的解；再把求出的解代入方程，求关于的一元一次方程即可． 【详解】解：， 解得：， 将代入方程得：， 解得：， 故选：B． 5．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据第一个方程的解是得出关于的一元一次方程中，再求出即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程中， 解得：， 即关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 6．如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过了x秒，巧巧追上淘淘，根据他们的路程差为米列方程求解即可． 【详解】解：设经过了x秒，巧巧追上淘淘 根据题意得， 解得， 此时巧巧走了米，，则巧巧在D处； 淘淘走了米，，则淘淘也在D处， 故经过60秒淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处， 故选：B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，象这样的方程叫做一元一次方程，熟练掌握定义是解答本题的关键根据未知数的次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 8．将方程 去分母，应在方程的两边同乘以 ． 【答案】 【分析】本题考查解含有分母的一元一次方程的解题步骤问题，关键会找公分母，会求各分母的最小公倍数，会利用等式性质将分母化去． 【详解】解：4与6的最小公倍数是12，为了去分母应将方程两边都同乘12． 故答案为：12． 9．若关于的方程的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解．根据“方程的解是使方程左右两边相等的数”即可求解． 【详解】解：是方程的解， ， ， 故答案为：． 10．甲、乙两人身上带的钱数之比是，甲给乙5元后，变成．那么，甲、乙两人共有 钱元． 【答案】100 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲有元，乙有元，根据甲给乙5元后，变成列出方程求解即可． 【详解】解：设甲有元，乙有元， 由题意得，， 解得， 所以， 所以甲、乙两人共有100元， 故答案为：100． 11．如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了日历有关的一元一次方程的应用，结合日历特征，得出五个数的和的平均值恰好是中间的那个数，设中间的数为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察像这种形式五个数的和的平均值恰好是中间的那个数， ∴ ∴ 故答案为：21 12．若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【答案】2或3或4或7 【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为正整数， 为正整数， 或或或 或或或． 故答案为：2或3或4或7 13．将长方形分割成如图所示的7个正方形，其中两个正方形内的三块空白为长方形．若两个阴影部分周长之和为68，则长方形的周长为 ． 【答案】58 【分析】题目主要考查列代数式，设正方形①的边长为x，正方形②的边长为y，则，设，根据题意确定，即可得出边长，然后求周长即可，找准图中各边的关系是解题关键． 【详解】解：设正方形①的边长为x，正方形②的边长为y， 则左下角正方形的边长为，右上角正方形边长为， ∴， 设，则， ∵两个阴影部分周长之和为68， ∴即， ∴， 解得：， ∴正方形①的边长为，正方形②的边长为， ∴， ∴长方形的周长为：， 故答案为：58． 14．小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意得是方程的解，据此把代入方程中求出a的值进而解方程即可． 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为 整理得：， 解得， 故答案为：． 15．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙两人都急于上楼办事，在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了60级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了70级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为 ． 【答案】 【分析】题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 可以设自动扶梯在单位时间上升级，单位时间内甲登楼级数为阶，总扶梯阶数不变即可得方程，解方程可得，代入其中一个代数式即可得扶梯阶数． 【详解】解：设电梯上行在单位时间内上升阶，单位时间内甲登楼级数为阶，列方程得： ， 解得：， ∴楼下到楼上自动扶梯级数为阶， 故答案为：． 16．如图是由、、、、、六个正方形拼接而成的长方形，已知中间最小的一个正方形的边长为3，则这个长方形的周长是 ． 【答案】144 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设正方形C的边长为x，则正方形B的边长为，正方形F的边长为，正方形E的边长为，根据长方形的对边相等，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而可得出长方形的长与宽，再利用长方形的周长公式可求出这个长方形的周长． 【详解】解：设正方形C的边长为x，则正方形B的边长为，正方形F的边长为，正方形E的边长为，根据题意，得： ， 解得：， ∴，， ∴长方形的周长． 故答案为：144． 17．已知是关于x的整式，记为．我们规定：导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式；若，则的导出多项式．若时，， ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，根据新定义得到，则可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵时，， ∴， ∴当时，，解得， 当时，，解得（舍去）； 综上所述，， 故答案为：2． 18．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由方程有解，分和两种情况讨论，列出关于m的不等式进行求解 【详解】分两种情况讨论： ①若，则方程可化为， 移项并合并同类项，得 ∵原方程有解， ∴， 即，或， ∴或； ②若，则方程可化为， 移项并合并同类项，得 ∵原方程有解， ∴， 即，， ∴； 综上所述，m的取值范围是或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是先分类讨论x的取值再求m的取值范围． 3、 解答题（本大题共7小题，共64分） 19．利用等式的性质解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；熟练掌握等式的性质是解题的关键．结合各方程的特点，根据等式的性质逐一进行变形计算即可． 【详解】（1）解： 两边同时减去，得 ， 解得． （2）解： 两边同乘，得 ， 解得． （3）解： 两边同时减去得， ， 两边同除以得， 解得． （4）解： 两边减去得 ， 解得． 20．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 21．若是关于的方程的解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，解一元一次方程，代数式求值，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方求出，据此代值计算即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：， ∴． 22．如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 【答案】(1)P，Q出发4秒相遇 (2)P，Q两点之间的距离为 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据追及问题列方程求解即可； （2）先求得动点P到达点C时所用的时间，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：P，Q出发4秒相遇； （2）解：动点P到达点C时用时：， ， ， 答：P，Q两点之间的距离为． 23．超市规定娃哈哈矿泉水的销售方式如下： 购买矿泉水的数量 不超过30瓶 30瓶以上但是不超过50瓶 50瓶以上 每瓶价格 3元 2.6元 2元 集团举办运动会时，六（2）班集体购买娃哈哈矿泉水，由于天气炎热，第一次购买的水不够喝，又买了一次（第二次多于第一次），已知两次共购买70瓶，共付192元． (1)如果六（2）班集体第一次直接购买70瓶，可以少付多少钱？ (2)问六（2）班第一次和第二次分别购买多少瓶水？ 【答案】(1)第一次直接购买70瓶，可以少付52元 (2)第一次购买25瓶水，第二次购买45瓶水 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意正确列方程并求解是解题的关键． （1）先计算出第一次直接购买70瓶需要的钱数，再用192减去计算出的结果，即可得出答案； （2）根据题意，可以计算出第一次肯定没超过30瓶，第二次购买的瓶数没超过50瓶，设第一次购买瓶水，可列：，求解即可． 【详解】（1）解：第一次直接购买70瓶，70瓶瓶， （元，（元， 答：第一次直接购买70瓶，可以少付52元； （2）解：（元，194元元， 说明第一次肯定没超过30瓶， 又（元，190元元， 说明第二次购买的瓶数没超过50瓶， 设第一次购买瓶水，可得，解得， 第二次购买（瓶， 答：第一次购买25瓶水，第二次购买45瓶水； 24．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，并且它的解是，求m，n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了新定义——“差解方程”，熟练掌握新定义，一元一次方程解的定义，解一元一次方程，代数式求值，是解决问题的关键． （1）根据一元一次方程是“差解方程”，得到，代回原方程求解即得； （2）根据一元一次方程是“差解方程”，且，得到，再把代回原方程即可求出m与n的值． 【详解】（1）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， ∴， 解得：； （2）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 又， ∴， ∴， 把，代回原方程得：， ∴， 将代入中，得． 25．如图，数轴上有，两条线段（在右侧），点到点的距离与点到点的距离之差为3，，数轴上点，表示的数分别是，12．    (1)________，______． (2)点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴一直向右运动，同时点从点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，运动时间为秒．（运动过程中点始终在点右侧，点在点右侧，线段，长度不变） ①当点运动到原点的左侧，且到原点的距离为2时，求线段的长度． ②当线段与重合部分的线段长为1时，求的值． 【答案】(1)2，3 (2)①，②或或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示各个点运动后表示的数． （1）根据点到点的距离与点到点的距离之差为3，即可得出， 根据即可得出； （2）①根据题意得出点A表示的数为，则，进而推出点D表示的数为7，即可解答；②根据题意可得点A表示的数为，点B表示的数为则，点C从点N运动到点M所需时间为，然后进行分类讨论：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，（Ⅲ）当时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点到点的距离与点到点的距离之差为3， ∴， ∴． 故答案为：2，3． （2）解：①∵点运动到原点的左侧，且到原点的距离为2时， ∴点A表示的数为， ∵点表示的数为， ∴， ∴， ∴点C表示的数为， ∵，点在点右侧， ∴点D表示的数为， ∴； ②根据题意可得点A表示的数为， ∵，点始终在点右侧， ∴点B表示的数为， ∵点，表示的数分别是，12， ∴， ∴点C从点N运动到点M所需时间为， （Ⅰ）当时， ∵点N表示的数为12， ∴此时点C表示的数为， ∵，点在点右侧， ∴点D表示的数为， 当时，， 解得：，    当时，， 解得：，    （Ⅱ）当时， 点C表示的数为，点D表示的数为， 当时，， 解得：，    当时，， 解得：（舍去），    （Ⅲ）当时， 点C表示的数为，点D表示的数为， 当时，， 解得：，    综上：或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$