第3章 一元一次方程【单元卷·考点卷】（15大核心考点）-2024-2025学年六年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第3章 一元一次方程【单元卷·考点卷】（15大核心考点） 考点一 方程的定义（共5题） 1．在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 2．下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 4．下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 5．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考点二 列方程（共5题） 1．用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 2．把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 4．“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 5．用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 考点三 方程的解（共5题） 1．关于的方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 4．已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ． 5．检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解 (1)； (2)． 考点四 一元一次方程的定义（共5题） 1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解等于（   ） A．1 B．0 C． D． 3．已知是关于的一元一次方程，那么 ． 4．已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 5．已知 是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解倍，求k的值． 考点五 等式的性质（共5题） 1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，且，则 2．下列解方程的过程中，变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 4．在方程中用含x的代数式表示 ． 5．利用等式的基本性质将方程化为的形式． (1) (2) (3) (4) 考点六 一元一次方程的解法（共10题） 1．计算 (1)； (2)． 2．解下列方程： (1) (2) 3．解方程： (1)； (2)． 4．解方程： (1)； (2)． 5．解方程 (1) (2) 6．若方程的解与方程的解相同，求关于x的方程的解． 7．若关于的方程的解是关的方程的解的6倍，求的值． 8．解下列方程 (1) (2)； (3) (4) 9．解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 10．解方程 (1)； (2)； (3) 考点七 一元一次方程解法的拓展（共5题） 1．若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 2．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 4．已知是方程的解，求关于的方程的解是 ． 5．解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 考点八 一元一次方程的新定义问题（共5题） 1．我们定义一种新的运算，例如：，若，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 2．在有理数范围内定义运算“”：，如：．如果成立，则x的值是（   ） A． B．5 C．0 D．3 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 4．用“※”定义一种新运算：对于任意的自然数和，满足（为常数）．例如：．若的值为，则的值为 ． 5．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 考点九 销售问题（共5题） 1．已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利，另一个亏损，在这次买卖中，这家商店盈利了？还是亏损了？（   ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．不能确定 2．在春节到来之际，某童装推出系列活动，一位妈妈看好两件衣服，她想给孩子都买下来作为新年礼物，与店员商量希望都以60元的价格卖给她．销售员发现这样一件就会盈利，另一件就会亏损．如果这样卖出去，那么商店（　　） A．不盈不亏 B．盈利50元 C．盈利8元 D．亏损8元 3．某服装商店一套西服的进价为元，若按标价的八折销售，则可获利元，该服装的标价为 元． 4．(一元一次方程)端午节期间，超市卖出面值为元和元的购物卡共张，共收入元，其中面值元的购物卡卖出 张，面值元的购物卡卖出 张． 5．在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 考点十 方案选择问题（共5题） 1．为迎接学校举办的传统文化节，初一年级某班计划做一批“中国结”，若每人做6个，则比计划多做9个，若每人做4个，则比计划少7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（　　） A． B． C． D． 2．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ）    A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 3．某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 4．为响应国家号召，某单位组织所有员工分x组去接种新冠疫苗加强针．若每组50人，则只有一组缺15人；若每组45人，则余下10人，根据题意，可列方程为 ． 5．小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同冰箱：型常规冰箱每台售价元，日耗电量为千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为千瓦时，现在型冰箱可打折出售．每年按天计算，电价为每千瓦时元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同总费用买冰箱的费用总用电费用？ (3)若两种冰箱的使用期都为年，那么型冰箱需要打几折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 考点十一 几何问题（共5题） 1．有A，B两种规格的长方形纸板，如图1，无重合无缝隙的拼成如图2所示的正方形，已知该正方形的周长为，A长方形的宽为，则B长方形的面积是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，正方形的一边长减少后，得到一个长方形（图中阴影部分），若长方形的周长为，求正方形的边长．设正方形的边长为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．如图，长方形中，厘米，厘米，平行四边形的一边交于G，若梯形的面积为64平方厘米，则长为 ． 4．如图所示，一个长方体体容器里装满了果汁，长方体的长为，宽为，高为，用果汁将旁边的圆柱体玻璃杯倒满后按原来位置摆放，已知杯子的内径为，高为，这时长方体容器内的果汁高度是 （结果保留）    5．如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 考点十二 行程、工程问题（共5题） 1．甲乙共同登同一座山，甲每分登高10米，并且先出发30分钟，乙每分登高15米，两人同时登上山顶，则山高是（   ）米 A．900 B．1000 C．800 D．600 2．甲、乙两人在的环形跑道上跑步，甲每分钟跑，乙每分钟跑，若他们从同一地点同时同向出发，则他们第一次相遇于（   ） A．时 B．时 C．时 D．时 3．整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做， 列方程是 4．做一项工作，甲的工作效率等于乙、丙二人工作效率的和，丙的工作效率与甲、乙二人工作效率的和的比是；如果三人合作需10天完成，那么乙单独完成此项工作需要 天． 5．一项工程，由甲队承租，需工期80天，工程费用100万元，由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元．为了节省工期和工程费用，实际施工时，甲乙两队合做若干天后撤出一个队，由另一个队继续做到工程完成．结算时，共支出工程费用86.5万元，那么甲乙两队合做了多少天？ 考点十三 数字、和差倍分问题（共5题） 1．小明同学在本子上写出了三个连续的正整数a，b，c，并求出了它们的和为81，则这三个数中间的数b是（    ） A．27 B．25 C．23 D．80 2．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．(和差问题)豆豆和苗苗各有一盒玻璃球，共有108颗，豆豆给了苗苗10颗，豆豆剩下的玻璃球比苗苗还多8颗，原来苗苗有 颗玻璃球． 4．七年级学生分别到中山公园和华侨公园念馆参观，共人，到中山公园的人数是到华侨公园人数的2倍多人．设到中山公园的人数为人，可列方程为 ． 5．某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1200只，这两种节能灯的进货单价、销售单价如下表： 类型 进货单价（元） 销售单价（元） 甲型 25 30 乙型 45 60 (1)如果进货款恰好为46000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ (2)超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为，请问乙型节能灯需打几折？ 考点十四 水电费问题（共5题） 1．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过立方米，按每立方米元收费；如果超过立方米，超过部分按每立方米元收费．已知某用户月份的煤气费平均每立方米元，那么月份该用户应交煤气费(　　) A．元 B．元 C．元 D．元 2．为了节约用水，某市规定，每户居民每月用水不超过，按每立方米2元收费，超过，则超过部分按每立方米4元收费，某户居民5月份交水费72元．该居民5月份实际用水（     ） A． B． C． D． 3．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨元；当超过4吨时，超过部分每吨元．某月甲、乙两户共缴水费元，用水量之比是，甲、乙两户所缴的水费相差 元． 4．我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过，每立方米收费3元；若用水超过，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费89元，则他家该月用水 ． 5．某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 考点十五 其他问题（共5题） 1．某市推行农村合作医疗制度后，农民每年每人只需拿出 120元钱就可以享受的合作医疗如下表： 住院费 不超过元部分 元 元 元元 元元 超过元 报销率 某人住院费报销了805元，则花费了（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．某学校为了表彰暑假自主学习标兵，决定购买一批奖品，分别是40支钢笔，40个笔记本，一共支付800元，若钢笔的单价是笔记本的4倍，则购买6支钢笔的费用是 （    ） A．4元 B．16元 C．24元 D．96元 3．七年级学生去某处旅游，如果每辆汽车坐45人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出1辆汽车．则七年级共有 名学生． 4．袁老师、张老师、唐老师三人分别买了以下商品： 袁老师 张老师 唐老师 2支口红和4支洗面奶 6支洗面奶 6支口红 每支口红比每支洗面奶贵9元，袁老师比张老师多花 元，唐老师比袁老师多花 元． 5．用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 一元一次方程【单元卷·考点卷】（15大核心考点） 考点一 方程的定义（共5题） 1．在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 2．下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答． 【详解】解：，，，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程． 不是等式，因而不是方程． （a，b为已知数）不含未知数，所以不是方程． 故有3个式子是方程． 故选：C． 3．在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了方程的定义，解决本题的关键是对概念的理解．根据含有未知数的等式是方程求解即可． 【详解】在①；②；③；④中， 是方程的是②④． 故答案为：②④． 4．下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查方程的定义：含有未知数的等式叫方程．根据方程的定义逐个判定即可． 【详解】解：①符合方程定义，故①是方程； ②没有未知数，故②不是方程； ③不是等式，故③不是方程； ④符合方程定义，故④是方程； ⑤符合方程定义，故⑤是方程； ∴是方程的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 5．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 考点二 列方程（共5题） 1．用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：表示“比它的多3”，可列方程为． 故选：B． 2．把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图书的数量不变，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了列一元一次方程，解题的关系式：根据图书数量不变，列出等量关系式． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 3．设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x的2倍为，相反数为，据此根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 4．“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程；的倍与的和可以表示为，的与的差可以表示为，由两个代数式相等，即可列出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得， 故答案为：． 5．用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，男生人数为，也可以表示为，因此列出方程即可； （2）根据题意，售价为，现售价为，因为现售价为每件元，即可列出方程． 【详解】（1）解：根据题意， （2）解：根据题意， ， 【点睛】本题考查了列一元一次方程等知识内容，正确理解并列出等价的方程是解题的关键． 考点三 方程的解（共5题） 1．关于的方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于的方程有解，得出，然后求出结果即可． 【详解】解：∵关于的方程有解， ∴， 解得：， 即的取值范围是， 故选：C． 2．已知关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．先根据方程的解定义可得，从而可得，再进一步即可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次项的系数不等于零．根据一元一次方程有解，可得一次项的系数不等于零． 【详解】解：由，可得， 关于的一元一次方程有解， ， 解得：． 故答案为：． 4．已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键； 根据题意得出关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 一元一次方程无解， ， ． 5．检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解 (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)否 【分析】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． （1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 【详解】（1）解：当时， 左边， 右边， 左边右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边右边， ∴不是方程的解． 考点四 一元一次方程的定义（共5题） 1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程叫做一元一次方程即可判断求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元一次方程，该选项符合题意； 、方程中未知数的最高次数是，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程的右边不是整式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解等于（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次方程和一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义与求解是解题的关键．根据一元一次方程的定义，即含有1个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，据此求出的值，然后再求解方程即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知，且， 解得：， 原方程为：， 解得：， 故选：D 3．已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的定义：等号两边是整式，只有一个未知数且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程，根据定义列式求解即可得到答案 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 4．已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的概念可得且，求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴． 故答案为：． 5．已知 是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解倍，求k的值． 【答案】(1)a的值是3，方程的解是 (2)k的值是 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次方程的定义和绝对值等知识点，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，，求出，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可； （2）先解出，带入即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 且， ， 将代入方程得：，解得：， 答：a的值是3，方程的解是； （2）由题意得：， 将代入方程得：， 解得：， 答：k的值是． 考点五 等式的性质（共5题） 1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，且，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：若，因为等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， ∴，故A正确，不符合题意； 若，当时，不一定成立，故B错误，符合题意； 若，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴，故C正确，不符合题意； 若，且，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：B 2．下列解方程的过程中，变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．各方程整理得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、由，移项得，故原变形错误，不符合题意； B、由，将分子分母同时扩大10倍得，故原变形错误，不符合题意； C、由，系数化为1得，故原变形错误，不符合题意； D、由，去分母得，故原变形正确，符合题意， 故选：D． 3．下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查的是等式的基本性质，等式两边同时加(减)同一个数(式子)，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字，要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形．根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，符合等式性质1，故①符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故④符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 4．在方程中用含x的代数式表示 ． 【答案】 【分析】本题考查的等式的性质，根据等式的性质用含一个字母的式子表示另一个字母即可解题. 【详解】解： ， 故答案为：． 5．利用等式的基本性质将方程化为的形式． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是方程的解法，等式的基本性质的应用； （1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时减去7，再同时减去，最后同时除以2即可； （2）先按照比例的基本性质变为，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时乘以3，再同时减去2即可； （3）运用乘法分配律化为，然后根据等式的性质，在方程两边同时减去60，再在方程两边同时减去，最后在方程两边同时除以即可； （4）根据等式的性质，在方程两边同时乘6，再在方程两边同时加12，再在方程两边同时减去x，最后在方程两边同时除以5即可． 【详解】（1）解：， 化简，得， 两边同时减去7，得， 即， 两边同时减去，得， 即， 两边同时除以2，得， 即； （2）解：， ∴， 即， 两边同时乘3，得， 即， 两边同时减去2，得， 即； （3）解： 化简，得， 两边同时减去60，得， 即， 两边同时减去，得 即， 两边同时除以，得， 即； （4）解：， 两边同时乘以6，得， 化简，得， 两边同时加上12，得， 两边同时减去x，得， 两边同时除以5，得． 考点六 一元一次方程的解法（共10题） 1．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． （1）方程移项合并，将系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：移项得： 合并得：； （2）解：去分母得：， 去括号得： 移项合并得：， 解得：． 2．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法． （1）先去括号，然后移项合并，再系数化为1，即可得到答案； （2）先去分母、去括号，然后移项合并，再系数化为1，即可得到答案； 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 5．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是关键； （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可； （2）去分母，再去括号，移项、合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：方程两边同乘6，得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； 6．若方程的解与方程的解相同，求关于x的方程的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到，进而根据题意得到是方程的解，把代入方程中求出，再把代入方程中进行求解即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解与方程的解相同， ∴是方程的解， ∴， ∴， ∴方程即为方程， 解得． 7．若关于的方程的解是关的方程的解的6倍，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 分别解两个方程，根据“方程的解是关于的方程的解的6倍”，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：解方程得： ， 解方程得： ， 根据题意得： ， 解得： ． 8．解下列方程 (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．． 【详解】（1）解：， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 9．解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据移项，合并同类项，化系数为1计算即可； （2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （3）根据去分母，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （4）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解： 移项合并得：， 解得：； （2） 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1：； （3） 去分母得：， 移项合并得：， 解得： （4） 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 10．解方程 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （2）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （3）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解：， ， （2） （3） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 化系数为1得：． 考点七 一元一次方程解法的拓展（共5题） 1．若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】表示出方程的解，由方程的解为负整数解，确定出整数的值即可．此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：方程去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程有负整数解，得到整数，，之和为， 故选：B． 2．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，关键在于找出两个式子之间的联系，找出联系即可求解．将关于的一元一次方程变形为，由已知即可求解． 【详解】 解：将关于的一元一次方程变形为， 即， ∵一元一次方程， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，由方程得，设，则方程可转化为，即可得，据此即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则方程可转化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴方程， 故答案为：． 4．已知是方程的解，求关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查含参数的一元一次方程，解含参数问题时一般是代入参数值求解新的方程，注意参数字母和未知数字母的转换． 先把代入方程得求得，再将代入方程解方程即可． 【详解】解：把代入方程得 解得． 将代入方程中，得 ，解得． 故答案为：． 5．解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可； （2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可； （3）同理（2）求出，n的值，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 是巧合方程； （2）解： ， 方程是巧合方程， ； （3）解： ， 方程是巧合方程， ，即， 解得：； 解得：， 方程是巧合方程， ， ， ， ， 解得：， ． 考点八 一元一次方程的新定义问题（共5题） 1．我们定义一种新的运算，例如：，若，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了定义新运算，解一元一次方程，先根据新定义得出方程，再求出解即可． 【详解】根据题意可知， 即， 解方程，得． 故选：A． 2．在有理数范围内定义运算“”：，如：．如果成立，则x的值是（   ） A． B．5 C．0 D．3 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元一次方程，新定义运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律． 根据新定义，将变形为方程，解之即可． 【详解】解：∵， ∴可化为， ∴ 去分母得， 移项，合并同类项得， 解得：． 故选D． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程可得，由“美好方程”的定义可得方程的解为，将方程变形为，可得，据此即可求解，利用同解方程的意义解答是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程与是“美好方程”， ∴方程的解为， 将方程变形为， ∴， ∴， 故答案为：． 4．用“※”定义一种新运算：对于任意的自然数和，满足（为常数）．例如：．若的值为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程．理解题意，正确的列一元一次方程是解题的关键． 由题意知，，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ， 解得，， 故答案为：1． 5．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于的方程，再求解； （3）由关于的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵关于的方程与方程是“美好方程” ∴， ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为，其中一个解为， ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于的一元一次方程的解为： ∴关于的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 考点九 销售问题（共5题） 1．已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利，另一个亏损，在这次买卖中，这家商店盈利了？还是亏损了？（   ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正负数的应用， 设第一个计算器的进价为x元，第二个计算器的进价为y元，根据题意求出x，y 然后再用售价减去进价即可得出答案． 【详解】解：设第一个计算器的进价为x元，第二个计算器的进价为y元， 则，， 解得（元），（元）． ∴（元） 所以亏损了元． 故选：B． 2．在春节到来之际，某童装推出系列活动，一位妈妈看好两件衣服，她想给孩子都买下来作为新年礼物，与店员商量希望都以60元的价格卖给她．销售员发现这样一件就会盈利，另一件就会亏损．如果这样卖出去，那么商店（　　） A．不盈不亏 B．盈利50元 C．盈利8元 D．亏损8元 【答案】D 【分析】该题是关于销售问题的应用题，解答本题的关键是根据售价=进价（1+利润率）得出方程求解． 先设这两件衣服的进价分别为x元和y元，根据题目中的数量关系建立方程求出进价，再用总售价减去总进价就可以求出结论． 【详解】解：设盈利的那件衣服的进价是 元，亏损的那件衣服的进价是元，由题意得： ，， 解得：，， 故， 故选D． 3．某服装商店一套西服的进价为元，若按标价的八折销售，则可获利元，该服装的标价为 元． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解利润、售价、进价三者之间的关系是解题关键．首先理解题意找出题中存在的等量关系：利润售价进价，根据此等量关系列方程即可． 【详解】解：设该服装的标价为元， 则实际售价为元， 根据等量关系列方程得：， 解得：． 故答案为：． 4．(一元一次方程)端午节期间，超市卖出面值为元和元的购物卡共张，共收入元，其中面值元的购物卡卖出 张，面值元的购物卡卖出 张． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，能根据题意设出未知数，并用等量关系列等式是解题的关键．设面值元的购物卡卖出张，则面值元的购物卡卖出张，根据“共收入元”列式即可． 【详解】解：设面值元的购物卡卖出张，则面值元的购物卡卖出张， 根据题意，得：， 解得：（张）， 则（张）， 答：面值元的购物卡卖出张，面值元的购物卡卖出张， 故答案为：，． 5．在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 【答案】(1)购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元 (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，然后可得方程，进而求解即可； （2）由（1）及题意易得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，然后可得方程，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，由题意得： 解得：； ∴绿龟玩偶的单价为60元； 答：购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元． （2）解：由（1）及题意得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，则有： 解得：． 考点十 方案选择问题（共5题） 1．为迎接学校举办的传统文化节，初一年级某班计划做一批“中国结”，若每人做6个，则比计划多做9个，若每人做4个，则比计划少7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找出等量关系是解答本题的关键．根据人数不变列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选A． 2．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ）    A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 【答案】D 【分析】设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得， 解方程组得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程． 3．某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 【答案】303 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系列出方程，再求解．设这个班共有x名同学，根据等量关系：如果每人种6棵树，那么剩余15棵树苗；如果每人种7棵树，那么还差33棵树苗，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个班共有x名同学，依题意有 ， 解得， 棵． 故答案为：303． 4．为响应国家号召，某单位组织所有员工分x组去接种新冠疫苗加强针．若每组50人，则只有一组缺15人；若每组45人，则余下10人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据人数不变即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意，可列方程为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，解题的关键是正确列出一元一次方程． 5．小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同冰箱：型常规冰箱每台售价元，日耗电量为千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为千瓦时，现在型冰箱可打折出售．每年按天计算，电价为每千瓦时元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同总费用买冰箱的费用总用电费用？ (3)若两种冰箱的使用期都为年，那么型冰箱需要打几折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 【答案】(1)元，元 (2)年 (3)折 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）根据题意计算出两种冰箱一年的用电费用即可； （2）设使用x年时，两种冰箱用去的总费用相同，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （3）设需要打y折才能使购买两种冰箱的总费用一样，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：型冰箱：元， 型冰箱：元； （2）解：设使用年时，两种冰箱用去的总费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：使用年时，两种冰箱用去的总费用相同； （3）解：设需要打折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 根据题意得：， 解得：， 答：需要打折． 考点十一 几何问题（共5题） 1．有A，B两种规格的长方形纸板，如图1，无重合无缝隙的拼成如图2所示的正方形，已知该正方形的周长为，A长方形的宽为，则B长方形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设长方形的宽是，则长方形的长是，大正方形的边长为，根据大正方形周长为，列出方程求解即可． 【详解】解：设长方形的宽是，则长方形的长是，大正方形的边长为， 该正方形的周长为， ， 解得：． 长方形的宽是，则长方形的长是， B长方形的面积：． 故选：D． 2．如图，正方形的一边长减少后，得到一个长方形（图中阴影部分），若长方形的周长为，求正方形的边长．设正方形的边长为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程解几何问题，根据长方形边长与正方形边长的关系列式即可求解，掌握一元一次方程的实际运用是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴, 故选：C． 3．如图，长方形中，厘米，厘米，平行四边形的一边交于G，若梯形的面积为64平方厘米，则长为 ． 【答案】8厘米 【分析】本题考查了梯形的面积公式，一元一次方程的实际运用，解题的关键是设未知数，找准等量关系，建立方程求解．根据图形可得，设的长度为厘米，则有，解出方程即可． 【详解】解：由图可知：长方形和平行四边形底边和高相同，故它们面积相同， ，平方厘米，， ， 设的长度为厘米， 则 ， 即长为4 厘米， 则厘米， 故答案为：8厘米． 4．如图所示，一个长方体体容器里装满了果汁，长方体的长为，宽为，高为，用果汁将旁边的圆柱体玻璃杯倒满后按原来位置摆放，已知杯子的内径为，高为，这时长方体容器内的果汁高度是 （结果保留）    【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用体积不变建立方程是关键．设倒入杯子的果汁在长方体容器内的高度为，根据：长方体容器里倒入杯子里果汁的体积玻璃杯里果汁的体积，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设倒入杯子的果汁在长方体容器内的高度为，依题意得： ， 解得：， ∴这时长方体容器内的果汁高度为：． 故答案为：． 5．如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 【答案】(1)P，Q出发4秒相遇 (2)P，Q两点之间的距离为 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据追及问题列方程求解即可； （2）先求得动点P到达点C时所用的时间，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：P，Q出发4秒相遇； （2）解：动点P到达点C时用时：， ， ， 答：P，Q两点之间的距离为． 考点十二 行程、工程问题（共5题） 1．甲乙共同登同一座山，甲每分登高10米，并且先出发30分钟，乙每分登高15米，两人同时登上山顶，则山高是（   ）米 A．900 B．1000 C．800 D．600 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确设出未知数找到等量关系列出方程求解是解题的关键．设这座山高x米，根据时间路程速度结合两人同时到达列出方程求解即可． 【详解】解：设这座山高x米， 由题意，得， 解得， ∴这座山高900米． 故选：A． 2．甲、乙两人在的环形跑道上跑步，甲每分钟跑，乙每分钟跑，若他们从同一地点同时同向出发，则他们第一次相遇于（   ） A．时 B．时 C．时 D．时 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设他们第一次相遇的时间为，根据两人第一次相遇时甲比乙多跑列出方程求解即可． 【详解】解：设他们第一次相遇的时间为， 由题意得，， 解得， ∴他们第一次相遇于时， 故选：B． 3．整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做， 列方程是 【答案】 【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元一次方程，设全部工作量是1，由一个人做要30小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这部分共有x人，根据本题中的等量关系“这部分人4小时的工作量+增加2人后所有人5小时的工作量=全部工作量”即可得方程 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 4．做一项工作，甲的工作效率等于乙、丙二人工作效率的和，丙的工作效率与甲、乙二人工作效率的和的比是；如果三人合作需10天完成，那么乙单独完成此项工作需要 天． 【答案】30 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先计算出甲的工作效率和丙的工作效率，再设乙单独完成此项工作需要天，根据甲的工作效率等于乙、丙二人工作效率的和，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：三人合作需10天完成，甲的工作效率等于乙、丙二人工作效率的和， 甲的工作效率为：， 丙的工作效率与甲、乙二人工作效率的和的比是， 丙的工作效率为：， 设乙单独完成此项工作需要天， 由题意得：， 解得：， 故答案为：30． 5．一项工程，由甲队承租，需工期80天，工程费用100万元，由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元．为了节省工期和工程费用，实际施工时，甲乙两队合做若干天后撤出一个队，由另一个队继续做到工程完成．结算时，共支出工程费用86.5万元，那么甲乙两队合做了多少天？ 【答案】甲、乙两队合作了26天 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解决此题的关键． 甲队工作天完成的工作量甲队完成整个工程需要的费用乙队整个工期完成的工作量乙队完成整个工程需要的费用． 【详解】解：设甲队工作天，则甲队完成的工作量为，乙队完成的工作量为， 由题意得，， 解这个方程可得：． 乙队工作的天数：（天）， ∵， ∴撤出的一个队是甲队， 则甲队工作的天数就是甲、乙两队合作的天数， 答：甲、乙两队合作了26天． 考点十三 数字、和差倍分问题（共5题） 1．小明同学在本子上写出了三个连续的正整数a，b，c，并求出了它们的和为81，则这三个数中间的数b是（    ） A．27 B．25 C．23 D．80 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．根据题意可知，，是三个连续的正整数，因此，，再根据，可知，即，求解即可． 【详解】解：，，是三个连续的正整数， ，， ， ，即， ， 故选：A 2．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，借助幻方，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，可得，，再利用第三行和第一行的数字之和相等，可得，第三列与对角线上的3个数之和相等列出方程，解之即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 3．(和差问题)豆豆和苗苗各有一盒玻璃球，共有108颗，豆豆给了苗苗10颗，豆豆剩下的玻璃球比苗苗还多8颗，原来苗苗有 颗玻璃球． 【答案】40 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设苗苗有颗玻璃球，则豆豆有颗玻璃球，结合“豆豆给了苗苗10颗，豆豆剩下的玻璃球比苗苗还多8颗”，列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设设苗苗有颗玻璃球，则豆豆有颗玻璃球 ∴ 解得 ∴苗苗有40颗玻璃球 故答案为：40 4．七年级学生分别到中山公园和华侨公园念馆参观，共人，到中山公园的人数是到华侨公园人数的2倍多人．设到中山公园的人数为人，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题与一元一次方程，由题意可得到华侨公园的人数为，据此即可求解； 【详解】解：由题意得到华侨公园的人数为， ∴ 故答案为：． 5．某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1200只，这两种节能灯的进货单价、销售单价如下表： 类型 进货单价（元） 销售单价（元） 甲型 25 30 乙型 45 60 (1)如果进货款恰好为46000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ (2)超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为，请问乙型节能灯需打几折？ 【答案】(1)400只 (2)九折 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯只，根据甲乙两种灯的总进价为46000元列出一元一次方程，解方程即可； （2）设乙型节能灯需打a折，根据利润售价进价，列出a的一元一次方程，求出a的值即可． 【详解】（1）解：设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯只． 由题意，得， 解得． 答：可以购进甲型节能灯400只； （2）解：设乙型节能灯需打a折， 则， 解得． 答：乙型节能灯需打九折． 考点十四 水电费问题（共5题） 1．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过立方米，按每立方米元收费；如果超过立方米，超过部分按每立方米元收费．已知某用户月份的煤气费平均每立方米元，那么月份该用户应交煤气费(　　) A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，判断出煤气量在60立方米以上是解决本题的突破点；得到煤气费的等量关系是解决本题的关键．月份的煤气费平均每立方米元，那么煤气一定超过立方米，等量关系为：超过米的立方数所用的立方数，把相关数值代入即可求得所用煤气的立方米数，乘以即为煤气费． 【详解】解：设月份用了煤气立方， 则， 解得：， 元， 故选：B． 2．为了节约用水，某市规定，每户居民每月用水不超过，按每立方米2元收费，超过，则超过部分按每立方米4元收费，某户居民5月份交水费72元．该居民5月份实际用水（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先可判断该户村民实际用水超过20立方米，设实际用水为x，根据共交水费72元，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设实际用水为x立方米， 由题意得，实际用水量超过20立方米， ， 解得：． 即该户居民九月份实际用水28立方米． 故选：C 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，涉及了阶级收费分问题，注意分段表示每部分所花费的钱数，利用方程思想解出答案． 3．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨元；当超过4吨时，超过部分每吨元．某月甲、乙两户共缴水费元，用水量之比是，甲、乙两户所缴的水费相差 元． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据水费元列出方程，解方程求出甲、乙两户的用水量，即可求出应缴水费，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙两户用水量分别为吨、吨，依题意得： ， 整理得：， 解得：， ∴甲、乙两户用水量分别为吨、吨， ∴甲用户应缴水费（元）， 乙用户应缴水费（元）， ∴甲、乙两户所缴的水费相差： （元）， 故答案为：9． 4．我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过，每立方米收费3元；若用水超过，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费89元，则他家该月用水 ． 【答案】26 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是要认真审题确定等量关系． 设小明家3月份用水，先求出用水量为时应交水费，与89比较后即可得出，再根据题意得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明家3月份用水， 当用水量为时， 应交水费为（元）． ∵， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：他家该月用水． 故答案为：26． 5．某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 【答案】(1)； (2)当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用及列代数式，理解题意，列出代数式是解题关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得用“亲情卡”要收费元；用“校园卡”要收费元， 故答案为：； （2）根据题意得： 解得： 答：当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样． 考点十五 其他问题（共5题） 1．某市推行农村合作医疗制度后，农民每年每人只需拿出 120元钱就可以享受的合作医疗如下表： 住院费 不超过元部分 元 元 元元 元元 超过元 报销率 某人住院费报销了805元，则花费了（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用．解题时首先计算表中在各个住院的费用段报销的最大数额，从而确定这个人住院费的范围，然后根据报销的方法，列出方程解决即可． 【详解】解：报销金额为：元、元、元，元元元元，元元，所以花费总钱数小于元且大于元． 设可报销率为的住院费花去了元， ∴， 解得， ∴住院费报销了元，则花费的总钱数为：元． 故选． 2．某学校为了表彰暑假自主学习标兵，决定购买一批奖品，分别是40支钢笔，40个笔记本，一共支付800元，若钢笔的单价是笔记本的4倍，则购买6支钢笔的费用是 （    ） A．4元 B．16元 C．24元 D．96元 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设笔记本单价为元，则钢笔的单价为元，依题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设笔记本单价为元，则钢笔的单价为元， 依题意得， 解得， 则， 所以购买6支钢笔的费用是（元）， 故选：D． 3．七年级学生去某处旅游，如果每辆汽车坐45人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出1辆汽车．则七年级共有 名学生． 【答案】240 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有辆车，根据学生人数一定，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有辆车，由题意，得： ， 解得：； ∴学生人数为：； 故答案为：240． 4．袁老师、张老师、唐老师三人分别买了以下商品： 袁老师 张老师 唐老师 2支口红和4支洗面奶 6支洗面奶 6支口红 每支口红比每支洗面奶贵9元，袁老师比张老师多花 元，唐老师比袁老师多花 元． 【答案】 18 36 【分析】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出袁老师、张老师及唐老师所花钱数是解题的关键．设每支洗面奶的价格为元，则每只口红的价格为元，袁老师需花费元，张老师需花费元，唐老师需花费元，作差后，即可求出袁老师比张老师多花的钱数及唐老师比袁老师多花的钱数． 【详解】解：设每支洗面奶的价格为元，则每只口红的价格为元． 袁老师需花费元 张老师需花费元，唐老师需花费元 所以袁老师比张老师多花（元） 唐老师比袁老师多花（元） 袁老师比张老师多花18元，唐老师比袁老师多花36元． 故答案为：18，36． 5．用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元一次方程，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键． （1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案； （2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解； （3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题． 【详解】（1）解：由图知，第1个图形中有个圆形棋子， 第2个图形中有个圆形棋子， 第3个图形中有个圆形棋子， 第4个图形中有个圆形棋子， ，依此类推， 第6个图形中有个圆形棋子， 故答案为：21． （2）解：由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： 由题知，，解得，不为整数． 2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$