专题15直线与圆（4知识点+3重难点+12技巧+4易错）-【上好课】2025年高考数学一轮复习知识清单

专题15 直线与圆 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 知识点2 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2． ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 知识点3 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 重难点01 与直线有关的最值问题 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短; 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 【典例1】（23-24高三上·山东济宁·月考）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是 . 【典例2】（23-24高三上·重庆·零诊）（多选）已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（     ） A．P在直线l上，则的最小值为 B．直线l上一点使最大 C．当最小时的方程是 D．当最小时的方程是 重难点02 与圆有关的最值问题 求解与圆有关的最值问题步骤 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解． 【典例1】（23-24高三上·北京顺义·期中）过直线上一动点，向圆：引两条切线，、为切点，则圆上的动点到直线距离的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·江苏苏州·月考）已知点，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为 . 【典例3】（23-24高三上·湖北荆州·月考）已知，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，当取到最小值时，点坐标为 . 重难点03 隐圆问题及其应用 1、隐圆问题的几大类型 （1）类型一：到定点的距离等于定长； （2）类型二：到两定点距离的平方和为定值； （3）类型三：到两定点的夹角为直角； （4）类型四：对角互补、数量积定值； （5）类型五：阿波罗尼斯圆 2、阿波罗尼斯圆 “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点，的距离之比为正数的点的轨迹是为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆． 【典例1】（23-24高三下·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·江西宜春·月考）若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ． 一、直线的倾斜角与斜率范围的求法 1、求倾斜角的取值范围的一般步骤 （1）求出斜率k＝tan α的取值范围． （2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在． 2、斜率取值范围的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可． 【典例1】（23-24高三上·云南曲靖·月考）若直线的倾斜角的取值范围是 . 【典例2】（23-24高三上·四川雅安·期中）若直线l：经过直线在第一象限上的点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、求解直线方程的两种方法 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程 【典例1】（23-24高三上·福建福州·月考）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程． 【典例2】（23-24高三上·福建莆田·月考）已知的三个顶点分别为. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)已知平行四边形，求点的坐标. 三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 【典例1】（23-24高三上·江西南昌·月考）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·江苏·月考）已知直线则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．非充分也非必要 四、两条直线的交点与距离问题 1、求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【典例1】（23-24高三上·河北衡水·月考）已知斜率均为负的直线与直线平行，则两条直线之间的距离为 ． 【典例2】（23-24高三上·江苏淮安·月考）已知直线满足：原点到它的距离为，点到它的距离为，请写出满足条件的直线的一个方程： . 五、对称问题的求解方法 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【典例1】（23-24高三上·重庆九龙坡·月考）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 【典例2】（23-24高三上·陕西榆林·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 六、求圆的方程的两种方法 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【典例1】（23-24高三上·陕西榆林·模拟预测）圆心在x轴的正半轴上，半径为8，且与直线相切的圆的方程为 ． 【典例2】（23-24高三上·宁夏银川·月考）已知，则外接圆的方程为 ． 七、求与圆有关的轨迹问题的方法 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 【典例1】（23-24高三上·青海西宁·期中）已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为 ． 【典例2】（23-24高三上·山东烟台·月考）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ． 八、解决有关弦长问题的常用方法及结论 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|． 【典例1】（23-24高三上·四川成都·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 【典例2】（23-24高三上·江苏盐城·月考）（多选）若直线与圆相交于两点，则长度可能等于（    ） A．2 B．4 C． D．5 九、求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 【典例1】（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ． 【典例2】（23-24高三上·江苏南京·月考）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角（锐角或直角）的余弦值为（    ） A． B． C． D．6 十、圆与圆的位置关系问题 可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）集合法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系． 【典例1】（23-24高三下·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【典例2】（23-24高三上·河北保定·月考）（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 十一、两圆的公共弦问题 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 【典例1】（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·浙江金华·月考）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 十二、两圆的公切线问题 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 【典例1】（23-24高三上·山东济宁·期末）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【典例2】（23-24高三下·江西·月考）已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 易错点1 误解“截距”和“距离”的关系 点拨：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，对此考生应高度重视。 【典例1】（23-24高三上·安徽六安·月考）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 【典例2】（23-24高三下·河南开封·模拟预测）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（    ） A．2 B． C． D． 易错点2 平行线间的距离公式使用不当 点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解． 【典例1】（23-24高三上·江苏扬州·月考）已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为 . 【典例2】（23-24高三上·辽宁沈阳·期中）若直线：与：平行，则，间的距离是 ． 易错点3 忽视斜率不存在的情况 点拨： (1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解． (2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在． 【典例1】（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（23-24高三上·江西·期中）（多选）已知直线，直线，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得平行于 易错点4 遗漏方程表示圆的充要条件 点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解． 【典例1】（23-24高三下·河南洛阳·模拟预测）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（23-24高三下·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 直线与圆 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 知识点2 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2． ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 知识点3 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 重难点01 与直线有关的最值问题 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短; 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 【典例1】（23-24高三上·山东济宁·月考）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是 . 【答案】4 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是4. 【典例2】（23-24高三上·重庆·零诊）（多选）已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（     ） A．P在直线l上，则的最小值为 B．直线l上一点使最大 C．当最小时的方程是 D．当最小时的方程是 【答案】BC 【解析】对于A：设点关于直线l的对称点为， 则，解得 ， 当三点共线时取最小值.A错误； 对于B：，当三点共线时取最大值， 又，即， 联立，解得， 即直线l上一点使最大，B正确； 对于C：设， 当时，，当时，， 即， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，即，C正确； 对于D：， 当且仅当，即时等号成立， 此时，即，D错误.故选：BC. 重难点02 与圆有关的最值问题 求解与圆有关的最值问题步骤 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解． 【典例1】（23-24高三上·北京顺义·期中）过直线上一动点，向圆：引两条切线，、为切点，则圆上的动点到直线距离的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，点在直线上，设，则， 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点、在以为直径的圆上， 又由，则以为直径的圆的方程是， 圆的方程为， 联立两个圆的方程可得：直线的方程为，即， 因为，所以，代入直线的方程， 得，即， 当且，即，时该方程恒成立，所以直线过定点， 点到直线距离的最大值即为点，之间的距离加上圆的半径， 即点到直线距离的最大值为． 动点到直线距离的最大值为，故选：B 【典例2】（23-24高三上·江苏苏州·月考）已知点，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 又由点，可得点在直线上的动点， 因为点O是坐标原点，点Q是圆上的动点， 则， 如图所示，设点关于直线的对称点为， 可得，解得，即， 设直线与直线的交点为， 则直线的方程为，联立方程组，解得， 即，则， 当点与重合时，此时，则， 此时取得最大值，最大值为， 所以，即的最大值为. 故答案为：. 【典例3】（23-24高三上·湖北荆州·月考）已知，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，当取到最小值时，点坐标为 . 【答案】 【解析】如图所示： 设，则， ， ， 取， 则，当且仅当三点共线时，取等号， 此时，直线AB的方程为， 令，得，所以， 故答案为： . 重难点03 隐圆问题及其应用 1、隐圆问题的几大类型 （1）类型一：到定点的距离等于定长； （2）类型二：到两定点距离的平方和为定值； （3）类型三：到两定点的夹角为直角； （4）类型四：对角互补、数量积定值； （5）类型五：阿波罗尼斯圆 2、阿波罗尼斯圆 “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点，的距离之比为正数的点的轨迹是为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆． 【典例1】（23-24高三下·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，则，， 所以， 所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3． 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得， 即的取值范围是．故选：A． 【典例2】（23-24高三上·江西宜春·月考）若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题意得设，， 所以，则， 由于是圆上的点， 所以， 所以，解得，即， 所以，如图， 所以的最大值为， 故答案为：. 一、直线的倾斜角与斜率范围的求法 1、求倾斜角的取值范围的一般步骤 （1）求出斜率k＝tan α的取值范围． （2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在． 2、斜率取值范围的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可． 【典例1】（23-24高三上·云南曲靖·月考）若直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【解析】设直线倾斜角为，当时直线斜率不存在，此时倾斜角为； 当时，斜率为，直线 化为斜截式为， ，因为且， 所以， 即，所以； 综上有：. 【典例2】（23-24高三上·四川雅安·期中）若直线l：经过直线在第一象限上的点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线与坐标轴交于点，，直线l恒过点， 所以，所以．故选：A 二、求解直线方程的两种方法 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程 【典例1】（23-24高三上·福建福州·月考）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1， 直线方程为，即， 由，解得， 所以点的坐标是. （2）由点在直线上，设点， 于是边的中点在直线上， 因此，解得，即得点， 直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 【典例2】（23-24高三上·福建莆田·月考）已知的三个顶点分别为. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)已知平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设线段的中点，且， 则边的垂直平分线的斜率， 由直线的点斜式可得， 化简可得. （2）由四边形为平行四边形，且，则， 又，则. 三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 【典例1】（23-24高三上·江西南昌·月考）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，直线，，且， ，即． 则， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8，故选：B． 【典例2】（23-24高三上·江苏·月考）已知直线则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．非充分也非必要 【答案】C 【解析】若,则， 所以两个直线的斜率 且不重合，所以. 若，则，解得， 当时，，两个直线重合，舍去. 故. 所以“”是“”的充分必要条件.故选：C 四、两条直线的交点与距离问题 1、求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【典例1】（23-24高三上·河北衡水·月考）已知斜率均为负的直线与直线平行，则两条直线之间的距离为 ． 【答案】/ 【解析】因为斜率均为负的直线与直线平行， 所以同号，且，解得：， 所以直线与直线， 所以这两条直线之间的距离为. 故答案为：. 【典例2】（23-24高三上·江苏淮安·月考）已知直线满足：原点到它的距离为，点到它的距离为，请写出满足条件的直线的一个方程： . 【答案】（答案不唯一，） 【解析】当直线的斜率不存在时，设的方程为，于是，且，显然无解， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 于是，整理得，消去常数项得， 即有或，由解得或， 而方程组无解，因此或， 所以直线的方程为或. 故答案为： 五、对称问题的求解方法 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【典例1】（23-24高三上·重庆九龙坡·月考）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 【答案】 【解析】由直线化为， 令，解得，于是此直线恒过点． 设点P关于直线的对称点为， 则，解得，∴． 故答案为： 【典例2】（23-24高三上·陕西榆林·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【答案】或 【解析】    直线交轴于点，交轴于点， 设直线的方程为，则关于直线的对称点在轴上， 所以，则的中点在直线上，所以①， 又②，联立①②可得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 六、求圆的方程的两种方法 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【典例1】（23-24高三上·陕西榆林·模拟预测）圆心在x轴的正半轴上，半径为8，且与直线相切的圆的方程为 ． 【答案】 【解析】根据题意，设圆心为坐标为 因为圆的半径为8，且与直线相切， 则圆心到直线的距离， 解得或（舍），则圆的坐标为， 所求圆的方程为 故答案为： 【典例2】（23-24高三上·宁夏银川·月考）已知，则外接圆的方程为 ． 【答案】 【解析】设圆的方程为， 则，解得， 所以外接圆的方程为. 故答案为：. 七、求与圆有关的轨迹问题的方法 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 【典例1】（23-24高三上·青海西宁·期中）已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解. 【解析】依题意，设，由，得， 即，整得得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 【典例2】（23-24高三上·山东烟台·月考）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ． 【答案】． 【解析】设，则，设， 由为的角平分线，可得，即有， 可得,，即，， 可得，， 则，即为． 故答案为：． 八、解决有关弦长问题的常用方法及结论 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|． 【典例1】（23-24高三上·四川成都·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 【答案】或 【解析】由题意可知圆心，半径，显然横轴与圆相切， 不妨设，由点到直线的距离公式可知C到l的距离为 或， 所以的方程为：或. 故答案为：或. 【典例2】（23-24高三上·江苏盐城·月考）（多选）若直线与圆相交于两点，则长度可能等于（    ） A．2 B．4 C． D．5 【答案】BCD 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 又由直线恒过定点，且点在圆的内部，可得， 当直线时，此时直线与圆相交，截得的弦长最短， 此时， 当直线过圆心时，此时截得的弦长最长，此时， 所以弦长的取值范围为，结合选项，选项B、C、D符合题意.故选：BCD. 九、求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 【典例1】（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ． 【答案】（或写为） 【解析】因为，所以，点在圆上，直线的斜率为， 由圆的几何性质可知，，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，则，故. 即直线的倾斜角为（或）. 故答案为：（或写为）. 【典例2】（23-24高三上·江苏南京·月考）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角（锐角或直角）的余弦值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【解析】圆即，其圆心，半径， 则过向这个圆作两条切线，切点为，如图： 又， 则， 所以.故选：B. 十、圆与圆的位置关系问题 可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）集合法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系． 【典例1】（23-24高三下·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【解析】圆：，所以圆心，半径为. 由点到直线距离公式得：，且，所以. 又圆的圆心，半径为：1. 所以，. 由，所以两圆内含.故选：D 【典例2】（23-24高三上·河北保定·月考）（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 【答案】ABC 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 若和外离，则，解得或，故A正确； 若和外切，则，解得，故B正确； 当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当时，，则和相交，故D错误.故选：ABC． 十一、两圆的公共弦问题 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 【典例1】（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则，； 由，则，； 所以，两圆相交， 将两圆作差得，所以公共线方程.故选：B 【典例2】（23-24高三下·浙江金华·月考）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交， 圆与圆的公共弦所在的直线方程为： ，即， 圆的圆心到公共弦的距离： ，圆的半径， 公共弦长．故选：B． 十二、两圆的公切线问题 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 【典例1】（23-24高三上·山东济宁·期末）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】根据题意，圆，即， 其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， 两圆的圆心距， 因此两圆外切；则圆与圆的公切线有3条．故选：C． 【典例2】（23-24高三下·江西·月考）已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 【答案】 【解析】的圆心和半径分别为， 的圆心和半径分别为， 由于， 因此两圆外切，有3条公切线， 作出两圆的位置关系图如下： 由图可知：外公切线一条平行于轴，斜率为0，一条斜率为负， 而内公切线的斜率为正，故斜率最大， 由于,故内公切线的斜率为, 故答案为： 易错点1 误解“截距”和“距离”的关系 点拨：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，对此考生应高度重视。 【典例1】（23-24高三上·安徽六安·月考）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 【答案】或 【解析】过点的直线在两坐标轴上的截距相等，所以直线的斜率存在且不为零， 设直线方程为， 令，得到；令，得到， 所以，解得或， 所以直线方程为或． 故答案为：或. 【典例2】（23-24高三下·河南开封·模拟预测）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线经过点，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则.故选：D 易错点2 平行线间的距离公式使用不当 点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解． 【典例1】（23-24高三上·江苏扬州·月考）已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为 . 【答案】 【解析】已知两直线平行, 则，解得或， 当时，两直线方程相同，舍去， 当时，，， 则两直线间距离为. 故答案为： 【典例2】（23-24高三上·辽宁沈阳·期中）若直线：与：平行，则，间的距离是 ． 【答案】 【解析】因为两直线平行可得且，解之得， 所以，， 故两直线的距离为. 故答案为：. 易错点3 忽视斜率不存在的情况 点拨： (1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解． (2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在． 【典例1】（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，，解得或． 当时，与重合，不符合； 当时，与不重合，符合， 故“”是“”的充要条件．故选：C 【典例2】（23-24高三上·江西·期中）（多选）已知直线，直线，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得平行于 【答案】ABC 【解析】对于A，当时，，， ，解得，故交点为，即A正确； 对于B，，恒过定点，， ，解得，，也过定点，故B正确； 对于C，当时，与不垂直， 当时，由可得，解得，故C正确； 对于D，由可得，解得或， 当时，，，两直线重合，不符合题意， 当时，，，两直线重合，不符合题意，故D错误； 故选：ABC. 易错点4 遗漏方程表示圆的充要条件 点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解． 【典例1】（23-24高三下·河南洛阳·模拟预测）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为方程，即表示圆， 等价于0，解得或. 故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.故选：A 【典例2】（23-24高三下·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】圆的标准方程为， 由于点在圆外， 所以，解得， 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$