第三单元乘法·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】-2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 15 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024年 10 月 19 日 2 / 15 目 录 【课内精选一】乘法的基础应用 ............................................................................................ 3 【课内精选二】乘法的进阶应用 ............................................................................................ 4 【奥数拓展一】最值问题（一） ............................................................................................ 5 【奥数拓展二】最值问题（二） ............................................................................................ 5 【奥数拓展三】最值问题（三） ............................................................................................ 6 【奥数拓展四】行程问题初步（一） .................................................................................... 7 【奥数拓展五】行程问题初步（二） .................................................................................... 8 【奥数拓展六】行程问题进阶（一） .................................................................................... 9 【奥数拓展七】行程问题进阶（二） .................................................................................... 9 【奥数拓展八】火车过桥问题（一） .................................................................................. 10 【奥数拓展九】火车过桥问题（二） .................................................................................. 11 【奥数拓展十】相遇问题（一） .......................................................................................... 12 【奥数拓展十一】相遇问题（二） ...................................................................................... 13 【奥数拓展十二】流水行船问题（一） .............................................................................. 14 【奥数拓展十三】流水行船问题（二） .............................................................................. 14 3 / 15 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第三单元乘法·思维素养篇·第二部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】乘法的基础应用。 研究表明，1公顷的森林在生长季节每月大约可吸收 24吨二氧化碳。山水相依、 湖城合璧，被森林和湿地浸润包围的杭州市森林面积高达 120万公顷，森林覆盖 率位居全国省会、副省级城市首位。杭州市的森林一个月大约可吸收多少万吨二 氧化碳？ 【专项训练】 1．服装厂收到学校定制 3700套校服的订单，要求 14天完成交货。该服装厂每 天可生产 264套校服，他们能按时完成并交货吗？ 2．甜甜家到学校大约有 3000米，如果她骑车的速度是 240米/分，她从家到学 校骑车 15分钟能到吗？ 3．动物园的一头大象一天要吃 32千克食物，饲养员准备了 5吨食物，够这头大 象吃 150天吗？ 4 / 15 【课内精选二】乘法的进阶应用。 垃圾回收站原来处理 1吨垃圾需要 578元，现在改进了机器，处理 1吨垃圾只需 要 430元。改进机器后，处理 39吨垃圾可以节约多少钱？ 【专项训练】 1．服装厂生产一批服装，原计划 12天完成，实际每天比计划多做 40套，因此 比计划提前 3天完成。这批校服共多少套？ 2．丽丽一家四口在购买烟花爆竹时用了 316元，照这样计算，春节期间全市 720 万人在放烟花爆竹上将花费多少钱？对此结果你有何感想？ 3．新年临近，“中国结”十分畅销。某超市一天就卖出 78个“双鱼结”、122个“平 安如意”结。两种“中国结”一共售出多少元？ 5 / 15 【奥数拓展一】最值问题（一）。 用一根长 18米的铁丝围成一个边长为整米数的长方形，当长与宽是多少米时， 面积最大?面积最大多少平方米? 【专项训练】 1. 一个长方形的周长是 48厘米且边长为整厘米数，面积最大是多少平方厘米? 最小是多少平方厘米? 2. 两个两位数的和为 36，它们的乘积最大是多少?最小是多少? 3. 将 10、20、30、40、50这 5个数分成两组，先计算每组所有数的和，再将和 相乘，那么乘积最大是多少? 【奥数拓展二】最值问题（二）。 有一块边长是整米数，大小为 36平方米的长方形草地，四周围上了栅栏，栅栏 最少长多少米? 6 / 15 【专项训练】 1. 有一个边长是整分米数的长方形，面积是 75平方分米，周长最长是多少分米? 2. 一个面积为 100平方米的长方形，周长最短是多少米? 3. a、b、c 是 3 个大于零的整数，已知 a×b×c=20，a+b+c 的结果最大是多少? 最小是多少? 【奥数拓展三】最值问题（三）。 用 12张长 3厘米，宽 2厘米的长方形纸片拼成一个实心的大长方形，大长方形 的周长最长是多少?最短是多少? 【专项训练】 1. 用 6张长 6厘米，宽 5厘米的长方形纸片拼成一个实心的大长方形，大长方 形的周长最短是多少厘米? 2. 一个四位数每一位上的数字乘积是 48，每一位上的数字和最大是多少?最小是 多少? 7 / 15 3. 用 7张长 4厘米，宽 3厘米的长方形纸片拼成一个大长方形，大长方形的周 长最短是多少? 【奥数拓展四】行程问题初步（一）。 小明家距离学校 900米，原计划 7点 30分从家出发步行去学校，7点 50分可到 达.实际每分钟要比原来多走 15米，实际到达学校的时间是几点几分? 【专项训练】 1. 小明家与超市相距 1800米.上午 8点，小明从家出发去超市，每分钟走 60米， 8点 10分，小明妈妈也从家出发去超市，结果两人同时到达了超市，小明妈妈 每分钟要走多少米? 2. 甲、乙两车从 A城市出发开往 B城市.甲车每小时行 80千米，行 15小时可到 达，乙车每小时行 100千米，如果两车要同时到达 B城市，甲车要比乙车提前 几小时出发? 3. 一辆卡车从工厂出发去港口送货，每小时行 78千米，行了 2小时后离全程的 中点还差 24千米，工厂与港口相距多少千米? 8 / 15 【奥数拓展五】行程问题初步（二）。 汽车从甲地到乙地，需要先行一段上坡路，再行一段下坡路，共用 5小时，共行 了 240千米，已知：上坡车速为每小时 30千米，下坡车速为每小时 60千米，那 么汽车原路返回需要几小时? 【专项训练】 1. 如图，从 A到 B是 1200米的下坡路，从 B到 C是 400米平路，从 C到 D是 600米上坡路.小李散步，下坡时，每分钟走 60米，上坡时，每分钟走 40米，平 路时，每分钟走 50米，小李从 A到 D,再从 D返回 A，需要多少分钟? 2. 龟兔赛跑，全程 800米，乌龟每分钟爬 4米，兔子每分钟跑 160米.兔子自以 为跑的快，在途中睡了一觉，结果反而比乌龟晚到 1分钟，兔子在途中睡了多少 分钟? 3. 小胖锻炼身体，从甲地走 1200米的上坡路到达乙地，再从乙地走 600米的下 坡路到达丙地，最后再原路返回甲地.已知：从甲地到丙地共走了 50分钟，从丙 地返回甲地共走了 40分钟，小胖走下坡路段的速度是上坡的 2倍，上坡时，小 胖每分钟走多少米? 9 / 15 【奥数拓展六】行程问题进阶（一）。 一辆汽车从甲地开往乙地，出发 2小时后，离乙地还有 480千米，出发 5小时后， 离乙地还有 210千米，甲、乙两地相距多少千米? 【专项训练】 1. 小雅爸爸开车从上海去宁波，出发时，轿车里程表显示的里程表显示的千米 数 26875，开了 3小时后，显示的数据是 27160,到达目的地时，显示的数据是 27350， 小雅爸爸从上海到宁波开了几小时? 2. 小雅练习毛笔字，写了 12分钟后，还差 45个字没写完，写了 21分钟后，还 差 9个字没写，小雅每分钟写的字一样多，小雅要写多少个字? 3. 小雅和姐姐一起包饺子，两人同时开工，5 分钟后还差 60个没完成，8 分钟 后还差 24个没完成，再包几分钟就能完工了? 【奥数拓展七】行程问题进阶（二）。 一辆汽车从甲地开往乙地，原计划需要行驶 6小时，实际每小时比计划多行 25 千米，结果 4小时就到达了乙地，甲、乙两地相距多少千米? 10 / 15 【专项训练】 1. 小明爬山，从山脚到山顶用时 36分钟，然后原路返回到山脚用了 27分钟.已 知：下山比上山每分钟多走 20米，小明爬山走了多少米? 2. 小强从学校出发步行回家，走了 18分钟后，走的米数比全程的一半少 300米， 再继续步行 30分钟就能到家了，小强回家走了多少米? 3. 小莉从山脚沿山路走了 1小时，这时距山顶还差 600米；到达山顶后原路返 回，从山顶用了 50分钟到达了山脚.已知下山速度是上山速度的 2倍，这条山路 长多少米? 【奥数拓展八】火车过桥问题（一）。 一列长 150米的火车，以每秒 30米的速度通过一座长 120米的大桥，需要多少 秒? 【专项训练】 1. 一辆卡车以每秒 15米的速度过一座长 240米的隧道，从车头进隧道到车尾离 开隧道用了 18秒，卡车长多少米? 11 / 15 2. 一列长 260米的火车，通过一座长 300米的铁桥需要 28秒，这列火车每秒行 多少米? 3. 一座铁桥长 1200米，一列长 600米的火车开过路旁一信号杆需要 15秒，它 通过这座铁桥需要多少秒? 【奥数拓展九】火车过桥问题（二）。 (1)一列车通过一条长 360米的隧道用时 24秒，通过一条长 216米的隧道用时 16 秒，这列车长多少米? (2)一座铁桥长 960 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥 共用 100秒，整列火车完全在桥上的时间为 60秒，计算火车的速度和车长。 【专项训练】 1. 一列火车通过 530 米的桥需 40 秒钟，以同样的速度穿过 380 米的山洞需 30 秒钟，这列火车长多少米? 12 / 15 2. 一个车队以 5米/秒的速度缓缓通过一座长 200米的大桥，共用 118秒，已知 每辆车长 12米，两车间隔 15米，这个车队共有多少辆车? 3. 一列火车通过一座长 430米的大桥用了 30秒，它通过一条长 2180米长的隧 道时，速度提高了一倍，结果只用了 50秒，这列火车长多少米? 【奥数拓展十】相遇问题（一）。 下午 3点，小明放学回家，妈妈从家出发去学校接小明.小明家与学校之间距离 1200米，小明每分钟步行 45米，妈妈每分钟步行 75米，两人相遇时，离家有 多少米? 【专项训练】 1. 一辆客车与一辆货车分别同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行 68 千米，比货车每小时多行 12千米，3小时两车相遇，甲、乙两个城市的路程是 多少千米? 2. 甲、乙两车分别从相距 120千米的 A、B两城同时出发，相对而行，已知甲 车到达 B城需 3小时，乙车到达 A城需 6小时，两车出发后多长时间相遇? 13 / 15 3. 早晨 7:30，小王、小李分别从相距 3600米的两地同时出发，相对而行，8:10 在途中相遇。已知小李比小王每分钟多行 10米，小李每分钟行多少米? 【奥数拓展十一】相遇问题（二）。 甲、乙两车同时从相距 480千米的两地相向而行，甲车每小时行 45千米，乙车 每小时行 60千米，行驶了 30分钟后，甲车因故障停了 1小时，之后继续行驶， 两车相遇时，甲车行了多少千米? 【专项训练】 1. 兄弟两人分别从相距 1580米的 A、B两地同时出发，相向而行，哥哥每分钟 走 70米，弟弟每分钟走 50米，途中哥哥休息了 5分钟，弟弟休息了 7分钟，相 遇时，哥哥与弟弟各走了多少分钟? 2. 客车和轿车分别从 A、B两地同时出发，相对而行，4小时后相遇，客车每小 时行 60千米，轿车行完全程需要 7小时，A、B两地相距多少千米? 3. A、B两地相距 600米.甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发，相向而行， 甲每分钟行 70米，乙每分钟行 80米，甲有一只狗，每分钟行 400米，狗与甲同 时出发，狗遇到乙后就折回；狗再遇到甲后，又调头向乙跑……如此不断往返， 直至甲、乙相遇，狗跑了多少路? 14 / 15 【奥数拓展十二】流水行船问题（一）。 一艘船在静水中的速度是 30千米/时，如果水流速度为 2千米/时，这艘船顺水 2 小时能航行多少千米?逆水 3小时能航行多少千米? 【专项训练】 1. 某船在静水中的速度是每小时 24千米，水流速度是每小时 3千米，船逆水航 行 2小时能行多少千米?顺水航行 4小时能行多少千米? 2. 192千米长的运河，水速是 4千米/时，一艘静水速度为 28千米/时的客船， 逆水航行通过这条运河，需要几小时? 3. 货船顺水行 320千米需要 8小时，水速每小时 15千米，它逆水每小时行多少 千米?如果逆水行这段路程，需要几小时? 【奥数拓展十三】流水行船问题（二）。 (1)甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3小时后 相遇。已知水流速度是 5千米/时.相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米? 15 / 15 (2)一艘轮船顺流航行 140千米，逆流航行 80千米共用 15小时；顺流航行 60千 米，逆流航行 120千米也用 15小时，水流的速度是多少? 【专项训练】 1. 甲、乙两个码头相距 48千米，一艘船从甲码头出发顺流而下去乙码头，需航 行 3小时，返回时因雨后涨水，用 8小时才回到甲码头，平时水速为 4千米/时， 涨水后水速增加多少? 2. A、B两港相距 256千米，甲、乙两船分别在 A港和 B港，在静水中，甲船每 小时行 20千米，乙船每小时行 16千米，水速为每小时 3千米，现乙船从 B 港 顺水而下驶向 A港，出发 4小时后，甲船从 A港出发驶向 B港，出发几小时后 与乙船相遇? 3. 轮船第一次顺水航行 42千米，逆水航行 8千米，共用 11小时；第二次用相 同的时间，顺水航行了 24千米，逆水航行了 14千米，求轮船在静水中的速度和 水流速度。 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年10月19日 目 录 【课内精选一】乘法的基础应用 3 【课内精选二】乘法的进阶应用 4 【奥数拓展一】最值问题（一） 7 【奥数拓展二】最值问题（二） 8 【奥数拓展三】最值问题（三） 9 【奥数拓展四】行程问题初步（一） 9 【奥数拓展五】行程问题初步（二） 10 【奥数拓展六】行程问题进阶（一） 11 【奥数拓展七】行程问题进阶（二） 12 【奥数拓展八】火车过桥问题（一） 13 【奥数拓展九】火车过桥问题（二） 14 【奥数拓展十】相遇问题（一） 14 【奥数拓展十一】相遇问题（二） 15 【奥数拓展十二】流水行船问题（一） 16 【奥数拓展十三】流水行船问题（二） 17 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第三单元乘法·思维素养篇·第二部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】乘法的基础应用。 研究表明，1公顷的森林在生长季节每月大约可吸收24吨二氧化碳。山水相依、湖城合璧，被森林和湿地浸润包围的杭州市森林面积高达120万公顷，森林覆盖率位居全国省会、副省级城市首位。杭州市的森林一个月大约可吸收多少万吨二氧化碳？ 【答案】2880万吨 【分析】 本题就是求120万个24吨是多少吨，根据整数乘法的意义，用24乘120即可解答。 【详解】24×120＝2880（万吨） 答：杭州市的森林一个月大约可吸收2880万吨二氧化碳。 【专项训练】 1．服装厂收到学校定制3700套校服的订单，要求14天完成交货。该服装厂每天可生产264套校服，他们能按时完成并交货吗？ 【答案】不能 【分析】 工作效率×工作时间＝工作总量，已知服装厂每天可生产264套校服，用每天生产的数量264乘14，求出14天能生产多少套校服，如果14天生产的数量小于3700，就不能完成，如果14天生产的等于3700或大于3700，他们能按时完成并交货；据此解答。 【详解】 264×14＝3696（套） 3696＜3700 答：他们不能按时完成并交货。 2．甜甜家到学校大约有3000米，如果她骑车的速度是240米/分，她从家到学校骑车15分钟能到吗？ 【答案】能 【分析】路程＝速度×时间，用她骑车的速度乘15，求出15分钟她能骑行的路程，再与她家到学校的距离进行比较即可解答。 【详解】24015＝3600（米） 36003000（米），所以15分钟能到。 答：她从家到学校骑车15分钟能到。 3．动物园的一头大象一天要吃32千克食物，饲养员准备了5吨食物，够这头大象吃150天吗？ 【答案】够 【分析】一头大象一天要吃32千克食物，150天能吃150个32千克，即32×150，然后再根据1吨＝1000千克，与5吨进行比较解答。 【详解】32×150＝4800（千克） 5吨＝5000千克 4800千克＜5000千克 答：够这头大象吃150天。 【课内精选二】乘法的进阶应用。 垃圾回收站原来处理1吨垃圾需要578元，现在改进了机器，处理1吨垃圾只需要430元。改进机器后，处理39吨垃圾可以节约多少钱？ 【答案】5772元 【分析】 根据题意，用原来处理1吨垃圾的价格减去改进后处理1吨垃圾的价格，578－430即可求出每吨垃圾能节约的钱数，再乘39即可求出处理39吨垃圾可以节约多少钱，据此解答即可。 【详解】（578－430）×39 ＝148×39 ＝5772（元） 答：处理39吨垃圾可以节约5772元。 【专项训练】 1．服装厂生产一批服装，原计划12天完成，实际每天比计划多做40套，因此比计划提前3天完成。这批校服共多少套？ 【答案】1440套 【分析】 根据题意，实际每天比计划多做40套，提前3天完成，则实际12－3＝9（天）天对应多做了40×9＝360（套）。提前三天完成，多做的套数即为原计划三天完成的套数，用360÷3即可求出原计划每天做的套数，再乘12天即可求出这批校服共多少套。 【详解】 40×（12－3）÷3×12 ＝40×9÷3×12 ＝360÷3×12 ＝120×12 ＝1440（套） 答：这批校服共1440套。 2．丽丽一家四口在购买烟花爆竹时用了316元，照这样计算，春节期间全市720万人在放烟花爆竹上将花费多少钱？对此结果你有何感想？ 【答案】56880万元；感想见详解 【分析】 丽丽家购买烟花爆竹的费用除以丽丽家的人数，等于平均每人购买烟花爆竹的费用，再乘全市的人数，即等于全市放烟花爆竹的费用，然后根据这个事情说出合理的想法即可。 【详解】316÷4×720 ＝79×720 ＝56880（万元） 答：放烟花爆竹上将花费56880万元，56880万元是一个很大的金额，我们要勤俭节约，避免不必要的浪费。 3．新年临近，“中国结”十分畅销。某超市一天就卖出78个“双鱼结”、122个“平安如意”结。两种“中国结”一共售出多少元？ 【答案】5000元 【分析】总价＝单价×数量，“双鱼结”的单价乘卖出的“双鱼结”个数，可以算出“双鱼结”卖了（25×78）元；“平安如意”结的单价乘卖出的“平安如意”结个数，可以算出“平安如意”结卖了（25×122）元。两种“中国结”卖出的钱数相加，即可算出两种“中国结”一共售出多少元。 【详解】25×78＝1950（元） 25×122＝3050（元） 1950＋3050＝5000（元） 答：两种“中国结”一共售出5000元。 【奥数拓展一】最值问题（一）。 用一根长18米的铁丝围成一个边长为整米数的长方形，当长与宽是多少米时，面积最大?面积最大多少平方米? 解析：如表所示 通过列表枚举，我们可以发现：当长方形的长与宽的差越小，面积则越大；当长方形的长与宽的差越大，面积则越小，所以当长方形的长与宽是4米与5米(或5米与4米)时，面积最大，面积最大是20 m² 【专项训练】 1. 一个长方形的周长是48厘米且边长为整厘米数，面积最大是多少平方厘米?最小是多少平方厘米? 解析： 长方形长与宽的和为48÷2=24(cm)，24=12+12，面积最大为12×12=144(cm²)；24=1+23，面积最小为1×23=23(cm²) 2. 两个两位数的和为36，它们的乘积最大是多少?最小是多少? 解析： 36=18+18，两个两位数的积最大是18×18=324；36=10+26，乘积最小是10×26=260。 3. 将10、20、30、40、50这5个数分成两组，先计算每组所有数的和，再将和相乘，那么乘积最大是多少? 解析： 5个数的和为10+20+30+40+50=150，要使乘积最大，两组数的和分别为70与80.因为70=20＋50=30+40，80=10+30+40=10+20+50，所以乘积最大为 70×80=5600。 【奥数拓展二】最值问题（二）。 有一块边长是整米数，大小为36平方米的长方形草地，四周围上了栅栏，栅栏最少长多少米? 解析：如图所示， 观察表格中的数据，可以知道栅栏最少长24米，并且可以发现，在面积相等的情况下，当长方形的长与宽的差越小，周长则越小；当长方形的长与宽的差越大，周长则越大。 【专项训练】 1. 有一个边长是整分米数的长方形，面积是75平方分米，周长最长是多少分米? 解析： 75=75×1，当长方形的长为75分米，宽为1分米时，周长最长，是(75+1)×2=152(dm)。 2. 一个面积为100平方米的长方形，周长最短是多少米? 解析：100=10×10，当长方形的长与宽都为10米时，周长最短，是10×4=40(m)。 3. a、b、c是3个大于零的整数，已知a×b×c=20，a+b+c的结果最大是多少?最小是多少? 解析： 20=1×1×20=1×2×10=1×4×5=2×2×5，a+b+c的和最大为1+1+20=22，最小为2+2+5=9。 【奥数拓展三】最值问题（三）。 用12张长3厘米，宽2厘米的长方形纸片拼成一个实心的大长方形，大长方形的周长最长是多少?最短是多少? 解析： 大长方形的面积为3×2×12=72(cm²)，要使拼成的长方形周长最长，那么长方形长与宽的差应尽可能大，72=36×2，当长为36厘米，宽为2厘米时，周长最长，是(36+2)×2=76(cm)；要使拼成的长方形周长最短，那么长方形长与宽的差应尽可能小，72=9×8，当长为9厘米，宽为8厘米时，周长最短，是(9+8)×2=34(cm)。 【专项训练】 1. 用6张长6厘米，宽5厘米的长方形纸片拼成一个实心的大长方形，大长方形的周长最短是多少厘米? 解析： 大长方形的面积为6×5×6=180(cm²)，180 =15×12，当长为15厘米，宽为12厘米时，周长最短，周长是(15+12)×2=54(cm)。 2. 一个四位数每一位上的数字乘积是48，每一位上的数字和最大是多少?最小是多少? 解析： 48=1×1×6×8=1×2×3×8=1×2×4×6=2×2×2×6=2×2×3×4，因为 1+1+6+8=16，1+2+3+8=14，1+2+4＋6=13，2+2+2+6=12，2+2+3+4=11，所以每一位上的数字和最大是16，最小是11。 3. 用7张长4厘米，宽3厘米的长方形纸片拼成一个大长方形，大长方形的周长最短是多少? 解析： 大长方形的面积为4×3×7=84(cm²)，84=12×7，当长为12厘米，宽为7厘米时，周长最短，周长是(12+7)×2= 38(cm)。 【奥数拓展四】行程问题初步（一）。 小明家距离学校900米，原计划7点30分从家出发步行去学校，7点50分可到达.实际每分钟要比原来多走15米，实际到达学校的时间是几点几分? 解析： 从家到学校，原计划每分钟走900÷(50—30)=45(米)，实际每分钟走45+15=60(米)，从家到学校实际走了900÷60=15(分钟)，30+15=45(分)，实际到达学校的时间是7点45分。 【专项训练】 1. 小明家与超市相距1800米.上午8点，小明从家出发去超市，每分钟走60米，8点10分，小明妈妈也从家出发去超市，结果两人同时到达了超市，小明妈妈每分钟要走多少米? 解析： 小明从家到超市需要1800÷60=30(分钟)，小明妈妈从家到超市需要30－10=20(分钟)，小明妈妈每分钟走1800÷20=90(米)。 2. 甲、乙两车从A城市出发开往B城市.甲车每小时行80千米，行15小时可到达，乙车每小时行100千米，如果两车要同时到达B城市，甲车要比乙车提前几小时出发? 解析： A、B两城市相距80×15=1200(千米)，乙车到达B城市需要1200÷100=12(小时)，甲车需要提前15－12=3(小时)出发。 3. 一辆卡车从工厂出发去港口送货，每小时行78千米，行了2小时后离全程的中点还差24千米，工厂与港口相距多少千米? 解析：全程的一半长78×2+24=180(千米)，工厂与港口相距180×2=360(千米)。 【奥数拓展五】行程问题初步（二）。 汽车从甲地到乙地，需要先行一段上坡路，再行一段下坡路，共用5小时，共行了240千米，已知：上坡车速为每小时30千米，下坡车速为每小时60千米，那么汽车原路返回需要几小时? 解析： 对于同一段坡路，如果从甲地到乙地走的是上坡，那么从乙地返回甲地，行的就是下坡，因此汽车从甲地到乙地，再从乙地返回甲地，共行了240千米的上坡路与240千米的下坡路，那么汽车往返一次共用时240÷30+240÷60=12(小时)，汽车原路返回需要12－5=7(小时)。 【专项训练】 1. 如图，从A到B是1200米的下坡路，从B到C是400米平路，从C到D是600米上坡路.小李散步，下坡时，每分钟走60米，上坡时，每分钟走40米，平路时，每分钟走50米，小李从A到D,再从D返回A，需要多少分钟? 解析： 小李从A到D,再从D返回A，上坡、下坡都走了1200+600=1800(米)，则往返上下坡所需的总时间为1800÷60+1800÷40=75(分钟)，往返平路需要400×2÷50=16(分钟)，往返共用时75+16=91(分钟)。 2. 龟兔赛跑，全程800米，乌龟每分钟爬4米，兔子每分钟跑160米.兔子自以为跑的快，在途中睡了一觉，结果反而比乌龟晚到1分钟，兔子在途中睡了多少分钟? 解析：兔子跑完全程应该用800÷160=5(分钟)，实际用了800÷4+1=201(分钟)，所以兔子睡了201－5=196(分钟)。 3. 小胖锻炼身体，从甲地走1200米的上坡路到达乙地，再从乙地走600米的下坡路到达丙地，最后再原路返回甲地.已知：从甲地到丙地共走了50分钟，从丙地返回甲地共走了40分钟，小胖走下坡路段的速度是上坡的2倍，上坡时，小胖每分钟走多少米? 解析： 小胖从甲地到丙地，再从丙地返回甲地，共走了1200+600=1800(米)的上坡路与1800米的下坡路，共走了40+50=90(分钟)，由于下坡速度是上坡速度的2倍，所以走上坡的时间是走下坡时间的2倍，那么，上坡共走了90÷(1+2)×2=60(分钟)，上坡速度为1800÷60=30(米/分)。 【奥数拓展六】行程问题进阶（一）。 一辆汽车从甲地开往乙地，出发2小时后，离乙地还有480千米，出发5小时后，离乙地还有210千米，甲、乙两地相距多少千米? 解析； 从题意可知，汽车行驶2小时，还需行480千米到达乙地；汽车行驶5小时，还需行210千米就能达到乙地，比较前后两次的时间与剩余行驶的路程，可以发现汽车5－2=3(小时)行驶了480－210=270(千米)，那么汽车每小时行驶270÷3=90(千米)，所以甲、乙两地相距90×2+480=660(千米)。 【专项训练】 1. 小雅爸爸开车从上海去宁波，出发时，轿车里程表显示的里程表显示的千米数26875，开了3小时后，显示的数据是27160,到达目的地时，显示的数据是27350，小雅爸爸从上海到宁波开了几小时? 解析： 小雅爸爸驾车速度为每小时(27160－26875)÷3=95(千米)，小雅爸爸从上海到宁波开了(27350－26875)÷95=475÷95=5(小时)。 2. 小雅练习毛笔字，写了12分钟后，还差45个字没写完，写了21分钟后，还差9个字没写，小雅每分钟写的字一样多，小雅要写多少个字? 解析：小雅每分钟写(45－9)÷(21－12)=4(个)，需要写4×12+45=93(个)。 3. 小雅和姐姐一起包饺子，两人同时开工，5分钟后还差60个没完成，8分钟后还差24个没完成，再包几分钟就能完工了? 解析：两人每分钟包(60－24)÷(8－5)=12(个)饺子，还需再包24÷12=2(分钟)。 【奥数拓展七】行程问题进阶（二）。 一辆汽车从甲地开往乙地，原计划需要行驶6小时，实际每小时比计划多行25千米，结果4小时就到达了乙地，甲、乙两地相距多少千米? 解析： 将实际4小时行驶的路程与原计划4小时行驶的路程进行比较，可以发现：实际4小时行驶的路程要比原计划4小时多行了25×4=100(千米)，这100千米恰好是原计划6－4=2(小时)行驶的路程，所以原计划每小时行100÷2=50(千米)，甲、乙两地相距50×6=300(千米)。 【专项训练】 1. 小明爬山，从山脚到山顶用时36分钟，然后原路返回到山脚用了27分钟.已知：下山比上山每分钟多走20米，小明爬山走了多少米? 解析： 小明上山每分钟走27×20÷(36－27)=60(米)，小明爬山共走了60×36×2=4320(米)。 2. 小强从学校出发步行回家，走了18分钟后，走的米数比全程的一半少300米，再继续步行30分钟就能到家了，小强回家走了多少米? 解析： 小强回家共走了18+30=48(分钟)，走完全程的一半需要48÷2=24(分钟)，小强每分钟的步行速度是300÷(24－18)=50(米)，小强回家走了48×50=2400(米)。 3. 小莉从山脚沿山路走了1小时，这时距山顶还差600米；到达山顶后原路返回，从山顶用了50分钟到达了山脚.已知下山速度是上山速度的2倍，这条山路长多少米? 解析： 由于下山是上山速度的2倍，所以下山走50分钟，上山需要走50×2=100(分钟)，那么上山走600米就需要40分钟，这条山路长600÷40×100 =1500(米)。 【奥数拓展八】火车过桥问题（一）。 一列长150米的火车，以每秒30米的速度通过一座长120米的大桥，需要多少秒? 解析： 火车从车头上桥，到车尾离桥，共行驶了150+120=270(米)，如下图所示，根据“时间=路程÷速度”，可知：火车过桥的时间为270÷30=9(秒)。 【专项训练】 1. 一辆卡车以每秒15米的速度过一座长240米的隧道，从车头进隧道到车尾离开隧道用了18秒，卡车长多少米? 解析：卡车长15×18－240=30(米)。 2. 一列长260米的火车，通过一座长300米的铁桥需要28秒，这列火车每秒行多少米? 解析：火车的速度为(260+300)÷28=20(米/秒) 3. 一座铁桥长1200米，一列长600米的火车开过路旁一信号杆需要15秒，它通过这座铁桥需要多少秒? 解析：火车的速度为600÷15=40(米/秒)，火车通过铁桥需要(1200+600)÷40=45(秒)。 【奥数拓展九】火车过桥问题（二）。 (1)一列车通过一条长360米的隧道用时24秒，通过一条长216米的隧道用时16秒，这列车长多少米? 解析： 列车24秒行驶的米数=360米＋车长，列车16秒行驶的米数=216米十车长，比较这两个等式，可得：列车每秒钟行(360－216)÷(24－16)=18(米)，这列车长18×24－360=72(米)。 (2)一座铁桥长960米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用100秒，整列火车完全在桥上的时间为60秒，计算火车的速度和车长。 解析：火车每秒钟行960×2÷(100+60)=12(米)，火车长960－12×60=240(米)。 【专项训练】 1. 一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟，这列火车长多少米? 解析：速度为(530－380)÷(40－30)=15(米/秒)，车长40×15－530=70(米)。 2. 一个车队以5米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用118秒，已知每辆车长12米，两车间隔15米，这个车队共有多少辆车? 解析：车队长118×5－200=390(米)，车辆数为(390+15)÷(12+15)=15(辆) 3. 一列火车通过一座长430米的大桥用了30秒，它通过一条长2180米长的隧道时，速度提高了一倍，结果只用了50秒，这列火车长多少米? 解析： 如果通过隧道时速度没有提高，那么将需要50×2=100(秒)，所以火车原来的速度为(2180－430)÷(100－30)=25(米/秒)，火车的长度为25×30－430=320(米)。 【奥数拓展十】相遇问题（一）。 下午3点，小明放学回家，妈妈从家出发去学校接小明.小明家与学校之间距离1200米，小明每分钟步行45米，妈妈每分钟步行75米，两人相遇时，离家有多少米? 解析： 因为两人都从3点同时出发，所以相遇时，他们的步行时间是相同的，由于两人每分钟共行75+45=120(米)，那么两人合走1200米就需要1200÷120=10(分钟)；也就是说两人各自走了10分钟在途中相遇，两人在途中相遇时，离家有多远，这一段路程实际就是小明妈妈10分钟步行的米数，即75×10=750(米)。 【专项训练】 1. 一辆客车与一辆货车分别同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行68千米，比货车每小时多行12千米，3小时两车相遇，甲、乙两个城市的路程是多少千米? 解析：(68－12+68)×3=124×3=372(千米) 2. 甲、乙两车分别从相距120千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需3小时，乙车到达A城需6小时，两车出发后多长时间相遇? 解析：120÷(120÷3+120÷6)=2(小时) 3. 早晨7:30，小王、小李分别从相距3600米的两地同时出发，相对而行，8:10在途中相遇。已知小李比小王每分钟多行10米，小李每分钟行多少米? 解析： 相遇时间为30+10=40(分钟)，速度和为3600÷40=90(米/分)，小李的步行速度为(90+10)÷2=50(米/分) 【奥数拓展十一】相遇问题（二）。 甲、乙两车同时从相距480千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行60千米，行驶了30分钟后，甲车因故障停了1小时，之后继续行驶，两车相遇时，甲车行了多少千米? 解析： 由于甲车出现故障停留了1小时，可理解为乙车先行了1小时后，甲车再出发，那么两车相遇的时间为(480－60×1)÷(45+60)=4(小时),相遇时，甲车行了45×4=180(千米)。 【专项训练】 1. 兄弟两人分别从相距1580米的A、B两地同时出发，相向而行，哥哥每分钟走70米，弟弟每分钟走50米，途中哥哥休息了5分钟，弟弟休息了7分钟，相遇时，哥哥与弟弟各走了多少分钟? 解析： 弟弟比哥哥多休息7－5=2(分钟)，可看作哥哥先走2分钟，相遇时，弟弟走了(1580－70×2)÷(70＋50)=12(分钟)，哥哥走了12+2 =14(分钟) 2. 客车和轿车分别从A、B两地同时出发，相对而行，4小时后相遇，客车每小时行60千米，轿车行完全程需要7小时，A、B两地相距多少千米? 解析： 客车4小时行驶的路程轿车需行驶7－4=3(小时)，轿车每小时行驶60×4÷3=80(千米)，A、B两地相距(60+80)×4 =560(千米) 3. A、B两地相距600米.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行80米，甲有一只狗，每分钟行400米，狗与甲同时出发，狗遇到乙后就折回；狗再遇到甲后，又调头向乙跑……如此不断往返，直至甲、乙相遇，狗跑了多少路? 解析：由于狗和甲、乙是同时出发的，所以狗跑的时问应该和甲、乙所用时间相同，因为甲、乙相遇所用时间：600÷(70+80)=4(分)，所以狗跑的路程为4×400=1600(米) 【奥数拓展十二】流水行船问题（一）。 一艘船在静水中的速度是30千米/时，如果水流速度为2千米/时，这艘船顺水2小时能航行多少千米?逆水3小时能航行多少千米? 解析： 因为船的顺水速度=船在静水中的速度+水速，所以船的顺水速度为30+2=32(千米/时)，顺水2小时能航行32×2=64(千米)，船的逆水速度=船在静水中的速度－水速，这艘船的逆水速度为30－2=28(千米/时)，船逆水航行3小时能航行28×3=84(千米)，(30+2)×2=64(千米)，(30—2)×3=84(千米)。 答：这艘船顺水航行2小时行64千米，逆水航行3小时行84千米。 【专项训练】 1. 某船在静水中的速度是每小时24千米，水流速度是每小时3千米，船逆水航行2小时能行多少千米?顺水航行4小时能行多少千米? 解析： 船逆水航行2小时能行(24－3)×2=42(千米)，顺水航行4小时能行(24+3)×4=108(千米) 2. 192千米长的运河，水速是4千米/时，一艘静水速度为28千米/时的客船，逆水航行通过这条运河，需要几小时? 解析：V逆=28－4=24(千米/时)，192÷24 =8(小时) 3. 货船顺水行320千米需要8小时，水速每小时15千米，它逆水每小时行多少千米?如果逆水行这段路程，需要几小时? 解析： V顺=320÷8=40(千米/时)，v船=40－15=25(千米/时) V逆=25－15=10(千米/时)，t逆=320÷10=32(小时) 【奥数拓展十三】流水行船问题（二）。 (1)甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3小时后相遇。已知水流速度是5千米/时，相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米?解析： 假设：甲船在顺流航行，乙船在逆流航行，由于甲船速度=船速＋水速，乙船速度=船速－水速，那么,甲船比乙船每小时多行了的路程为：(船速＋水速)－(船速－水速)=2×水速=2×5=10(千米)，3小时的距离差为10×3=30(千米)。 (2)一艘轮船顺流航行140千米，逆流航行80千米共用15小时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用15小时，水流的速度是多少? 解析： 两次航行都用15小时，而第一次比第二次顺流多行140－60=80(千米)，逆流少行120－80=40(千米)，这表明顺流行80千米与逆流行40千米所用的时间相等，即顺流速度是逆流速度的80÷40=2倍，将第一次航行看成是15小时顺流航行，那么可行140+80×2=300(千米)，由此可知：顺流速度为300÷15=20(千米/时)，逆流速度为20÷2=10(千米/时)，水流速度为(20－10)÷2=5(千米/时)。 【专项训练】 1. 甲、乙两个码头相距48千米，一艘船从甲码头出发顺流而下去乙码头，需航行3小时，返回时因雨后涨水，用8小时才回到甲码头，平时水速为4千米/时，涨水后水速增加多少? 解析： 平时：v顺=48÷3=16(千米/时)，v船=16－4=12(千米/时)，v逆=12-4 =8(千米/时)；涨水时：v逆=48÷8=6(千米/时)，v水=V船－v逆=12－6=6(千米/时)，水速增加：6－4=2(千米/时) 2. A、B两港相距256千米，甲、乙两船分别在A港和B港，在静水中，甲船每小时行20千米，乙船每小时行16千米，水速为每小时3千米，现乙船从B港顺水而下驶向A港，出发4小时后，甲船从A港出发驶向B港，出发几小时后与乙船相遇? 解析： 甲船出发时，两船相距256－(16+3)×4=180(千米)，相遇时间为180÷(20+16)=5(小时) 3. 轮船第一次顺水航行42千米，逆水航行8千米，共用11小时；第二次用相同的时间，顺水航行了24千米，逆水航行了14千米，求轮船在静水中的速度和水流速度。 解析： v顺÷v逆=(42－24)÷(14－8)=3，v顺=(42+8×3)÷11=6(千米/时)， v逆=8÷(11－42÷6)=2(千米/时)，v船=(6+2)÷2=4(千米/时)， v水=(6－2)÷2=2(千米/时) 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 18 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024年 10 月 19 日 2 / 18 目 录 【课内精选一】乘法的基础应用 ............................................................................................ 3 【课内精选二】乘法的进阶应用 ............................................................................................ 4 【奥数拓展一】最值问题（一） ............................................................................................ 7 【奥数拓展二】最值问题（二） ............................................................................................ 8 【奥数拓展三】最值问题（三） ............................................................................................ 9 【奥数拓展四】行程问题初步（一） .................................................................................... 9 【奥数拓展五】行程问题初步（二） .................................................................................. 10 【奥数拓展六】行程问题进阶（一） .................................................................................. 11 【奥数拓展七】行程问题进阶（二） .................................................................................. 12 【奥数拓展八】火车过桥问题（一） .................................................................................. 13 【奥数拓展九】火车过桥问题（二） .................................................................................. 14 【奥数拓展十】相遇问题（一） .......................................................................................... 14 【奥数拓展十一】相遇问题（二） ...................................................................................... 15 【奥数拓展十二】流水行船问题（一） .............................................................................. 16 【奥数拓展十三】流水行船问题（二） .............................................................................. 17 3 / 18 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第三单元乘法·思维素养篇·第二部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】乘法的基础应用。 研究表明，1公顷的森林在生长季节每月大约可吸收 24吨二氧化碳。山水相依、 湖城合璧，被森林和湿地浸润包围的杭州市森林面积高达 120万公顷，森林覆盖 率位居全国省会、副省级城市首位。杭州市的森林一个月大约可吸收多少万吨二 氧化碳？ 【答案】2880万吨 【分析】 本题就是求 120万个 24吨是多少吨，根据整数乘法的意义，用 24乘 120即可解 答。 【详解】24×120＝2880（万吨） 答：杭州市的森林一个月大约可吸收 2880万吨二氧化碳。 【专项训练】 1．服装厂收到学校定制 3700套校服的订单，要求 14天完成交货。该服装厂每 天可生产 264套校服，他们能按时完成并交货吗？ 【答案】不能 【分析】 工作效率×工作时间＝工作总量，已知服装厂每天可生产 264套校服，用每天生 产的数量 264乘 14，求出 14天能生产多少套校服，如果 14天生产的数量小于 3700，就不能完成，如果 14天生产的等于 3700或大于 3700，他们能按时完成 并交货；据此解答。 【详解】 4 / 18 264×14＝3696（套） 3696＜3700 答：他们不能按时完成并交货。 2．甜甜家到学校大约有 3000米，如果她骑车的速度是 240米/分，她从家到学 校骑车 15分钟能到吗？ 【答案】能 【分析】路程＝速度×时间，用她骑车的速度乘 15，求出 15分钟她能骑行的路 程，再与她家到学校的距离进行比较即可解答。 【详解】24015＝3600（米） 3600＞3000（米），所以 15分钟能到。 答：她从家到学校骑车 15分钟能到。 3．动物园的一头大象一天要吃 32千克食物，饲养员准备了 5吨食物，够这头大 象吃 150天吗？ 【答案】够 【分析】一头大象一天要吃 32千克食物，150天能吃 150个 32千克，即 32×150， 然后再根据 1吨＝1000千克，与 5吨进行比较解答。 【详解】32×150＝4800（千克） 5吨＝5000千克 4800千克＜5000千克 答：够这头大象吃 150天。 【课内精选二】乘法的进阶应用。 垃圾回收站原来处理 1吨垃圾需要 578元，现在改进了机器，处理 1吨垃圾只需 要 430元。改进机器后，处理 39吨垃圾可以节约多少钱？ 【答案】5772元 【分析】 根据题意，用原来处理 1吨垃圾的价格减去改进后处理 1吨垃圾的价格，578－ 430即可求出每吨垃圾能节约的钱数，再乘 39即可求出处理 39吨垃圾可以节约 多少钱，据此解答即可。 【详解】（578－430）×39 5 / 18 ＝148×39 ＝5772（元） 答：处理 39吨垃圾可以节约 5772元。 【专项训练】 1．服装厂生产一批服装，原计划 12天完成，实际每天比计划多做 40套，因此 比计划提前 3天完成。这批校服共多少套？ 【答案】1440套 【分析】 根据题意，实际每天比计划多做 40套，提前 3天完成，则实际 12－3＝9（天） 天对应多做了 40×9＝360（套）。提前三天完成，多做的套数即为原计划三天完 成的套数，用 360÷3即可求出原计划每天做的套数，再乘 12天即可求出这批校 服共多少套。 【详解】 40×（12－3）÷3×12 ＝40×9÷3×12 ＝360÷3×12 ＝120×12 ＝1440（套） 答：这批校服共 1440套。 2．丽丽一家四口在购买烟花爆竹时用了 316元，照这样计算，春节期间全市 720 万人在放烟花爆竹上将花费多少钱？对此结果你有何感想？ 【答案】56880万元；感想见详解 【分析】 丽丽家购买烟花爆竹的费用除以丽丽家的人数，等于平均每人购买烟花爆竹的费 用，再乘全市的人数，即等于全市放烟花爆竹的费用，然后根据这个事情说出合 理的想法即可。 【详解】316÷4×720 ＝79×720 ＝56880（万元） 6 / 18 答：放烟花爆竹上将花费 56880万元，56880万元是一个很大的金额，我们要勤 俭节约，避免不必要的浪费。 3．新年临近，“中国结”十分畅销。某超市一天就卖出 78个“双鱼结”、122个“平 安如意”结。两种“中国结”一共售出多少元？ 【答案】5000元 【分析】总价＝单价×数量，“双鱼结”的单价乘卖出的“双鱼结”个数，可以算出“双 鱼结”卖了（25×78）元；“平安如意”结的单价乘卖出的“平安如意”结个数，可以 算出“平安如意”结卖了（25×122）元。两种“中国结”卖出的钱数相加，即可算出 两种“中国结”一共售出多少元。 【详解】25×78＝1950（元） 25×122＝3050（元） 1950＋3050＝5000（元） 答：两种“中国结”一共售出 5000元。 7 / 18 【奥数拓展一】最值问题（一）。 用一根长 18米的铁丝围成一个边长为整米数的长方形，当长与宽是多少米时， 面积最大?面积最大多少平方米? 解析：如表所示 通过列表枚举，我们可以发现：当长方形的长与宽的差越小，面积则越大；当长 方形的长与宽的差越大，面积则越小，所以当长方形的长与宽是 4米与 5米(或 5米与 4米)时，面积最大，面积最大是 20 m² 【专项训练】 1. 一个长方形的周长是 48厘米且边长为整厘米数，面积最大是多少平方厘米? 最小是多少平方厘米? 解析： 长方形长与宽的和为 48÷2=24(cm)，24=12+12，面积最大为 12×12=144(cm²)； 24=1+23，面积最小为 1×23=23(cm²) 2. 两个两位数的和为 36，它们的乘积最大是多少?最小是多少? 解析： 36=18+18，两个两位数的积最大是 18×18=324；36=10+26，乘积最小是 10×26=260。 3. 将 10、20、30、40、50这 5个数分成两组，先计算每组所有数的和，再将和 8 / 18 相乘，那么乘积最大是多少? 解析： 5 个数的和为 10+20+30+40+50=150，要使乘积最大，两组数的和分别为 70 与 80.因为 70=20＋50=30+40，80=10+30+40=10+20+50，所以乘积最大为 70×80=5600。 【奥数拓展二】最值问题（二）。 有一块边长是整米数，大小为 36平方米的长方形草地，四周围上了栅栏，栅栏 最少长多少米? 解析：如图所示， 观察表格中的数据，可以知道栅栏最少长 24米，并且可以发现，在面积相等的 情况下，当长方形的长与宽的差越小，周长则越小；当长方形的长与宽的差越大， 周长则越大。 【专项训练】 1. 有一个边长是整分米数的长方形，面积是 75平方分米，周长最长是多少分米? 解析： 75=75×1，当长方形的长为 75分米，宽为 1分米时，周长最长，是(75+1)×2=152(dm)。 2. 一个面积为 100平方米的长方形，周长最短是多少米? 解析：100=10×10，当长方形的长与宽都为 10米时，周长最短，是 10×4=40(m)。 3. a、b、c 是 3 个大于零的整数，已知 a×b×c=20，a+b+c 的结果最大是多少? 最小是多少? 解析： 20=1×1×20=1×2×10=1×4×5=2×2×5， a+b+c 的和最大为 1+1+20=22，最小为 9 / 18 2+2+5=9。 【奥数拓展三】最值问题（三）。 用 12张长 3厘米，宽 2厘米的长方形纸片拼成一个实心的大长方形，大长方形 的周长最长是多少?最短是多少? 解析： 大长方形的面积为 3×2×12=72(cm²)，要使拼成的长方形周长最长，那么长方形 长与宽的差应尽可能大，72=36×2，当长为 36厘米，宽为 2厘米时，周长最长， 是(36+2)×2=76(cm)；要使拼成的长方形周长最短，那么长方形长与宽的差应尽 可能小，72=9×8，当长为 9厘米，宽为 8厘米时，周长最短，是(9+8)×2=34(cm)。 【专项训练】 1. 用 6张长 6厘米，宽 5厘米的长方形纸片拼成一个实心的大长方形，大长方 形的周长最短是多少厘米? 解析： 大长方形的面积为 6×5×6=180(cm²)，180 =15×12，当长为 15厘米，宽为 12 厘米时，周长最短，周长是(15+12)×2=54(cm)。 2. 一个四位数每一位上的数字乘积是 48，每一位上的数字和最大是多少?最小是 多少? 解析： 48=1×1×6×8=1×2×3×8=1×2×4×6=2×2×2×6=2×2×3×4，因为 1+1+6+8=16，1+2+3+8=14，1+2+4＋6=13，2+2+2+6=12，2+2+3+4=11，所以每 一位上的数字和最大是 16，最小是 11。 3. 用 7张长 4厘米，宽 3厘米的长方形纸片拼成一个大长方形，大长方形的周 长最短是多少? 解析： 大长方形的面积为 4×3×7=84(cm²)，84=12×7，当长为 12厘米，宽为 7厘米时， 周长最短，周长是(12+7)×2= 38(cm)。 【奥数拓展四】行程问题初步（一）。 小明家距离学校 900米，原计划 7点 30分从家出发步行去学校，7点 50分可到 10 / 18 达.实际每分钟要比原来多走 15米，实际到达学校的时间是几点几分? 解析： 从家到学校，原计划每分钟走900÷(50—30)=45(米)，实际每分钟走45+15=60(米)， 从家到学校实际走了 900÷60=15(分钟)，30+15=45(分)，实际到达学校的时间是 7点 45分。 【专项训练】 1. 小明家与超市相距 1800米.上午 8点，小明从家出发去超市，每分钟走 60米， 8点 10分，小明妈妈也从家出发去超市，结果两人同时到达了超市，小明妈妈 每分钟要走多少米? 解析： 小明从家到超市需要 1800÷60=30(分钟)，小明妈妈从家到超市需要 30－10=20(分 钟)，小明妈妈每分钟走 1800÷20=90(米)。 2. 甲、乙两车从 A城市出发开往 B城市.甲车每小时行 80千米，行 15小时可到 达，乙车每小时行 100千米，如果两车要同时到达 B城市，甲车要比乙车提前 几小时出发? 解析： A、B两城市相距 80×15=1200(千米)，乙车到达 B城市需要 1200÷100=12(小时)， 甲车需要提前 15－12=3(小时)出发。 3. 一辆卡车从工厂出发去港口送货，每小时行 78千米，行了 2小时后离全程的 中点还差 24千米，工厂与港口相距多少千米? 解析：全程的一半长 78×2+24=180(千米)，工厂与港口相距 180×2=360(千米)。 【奥数拓展五】行程问题初步（二）。 汽车从甲地到乙地，需要先行一段上坡路，再行一段下坡路，共用 5小时，共行 了 240千米，已知：上坡车速为每小时 30千米，下坡车速为每小时 60千米，那 么汽车原路返回需要几小时? 解析： 对于同一段坡路，如果从甲地到乙地走的是上坡，那么从乙地返回甲地，行的就 是下坡，因此汽车从甲地到乙地，再从乙地返回甲地，共行了 240千米的上坡路 与 240千米的下坡路，那么汽车往返一次共用时 240÷30+240÷60=12(小时)，汽 11 / 18 车原路返回需要 12－5=7(小时)。 【专项训练】 1. 如图，从 A到 B是 1200米的下坡路，从 B到 C是 400米平路，从 C到 D是 600米上坡路.小李散步，下坡时，每分钟走 60米，上坡时，每分钟走 40米，平 路时，每分钟走 50米，小李从 A到 D,再从 D返回 A，需要多少分钟? 解析： 小李从 A到 D,再从 D返回 A，上坡、下坡都走了 1200+600=1800(米)，则往返 上 下 坡 所 需 的 总 时 间 为 1800÷60+1800÷40=75( 分 钟 ) ， 往 返 平 路 需 要 400×2÷50=16(分钟)，往返共用时 75+16=91(分钟)。 2. 龟兔赛跑，全程 800米，乌龟每分钟爬 4米，兔子每分钟跑 160米.兔子自以 为跑的快，在途中睡了一觉，结果反而比乌龟晚到 1分钟，兔子在途中睡了多少 分钟? 解析：兔子跑完全程应该用 800÷160=5(分钟)，实际用了 800÷4+1=201(分钟)， 所以兔子睡了 201－5=196(分钟)。 3. 小胖锻炼身体，从甲地走 1200米的上坡路到达乙地，再从乙地走 600米的下 坡路到达丙地，最后再原路返回甲地.已知：从甲地到丙地共走了 50分钟，从丙 地返回甲地共走了 40分钟，小胖走下坡路段的速度是上坡的 2倍，上坡时，小 胖每分钟走多少米? 解析： 小胖从甲地到丙地，再从丙地返回甲地，共走了 1200+600=1800(米)的上坡路与 1800米的下坡路，共走了 40+50=90(分钟)，由于下坡速度是上坡速度的 2倍， 所以走上坡的时间是走下坡时间的 2倍，那么，上坡共走了 90÷(1+2)×2=60(分钟)， 上坡速度为 1800÷60=30(米/分)。 【奥数拓展六】行程问题进阶（一）。 一辆汽车从甲地开往乙地，出发 2小时后，离乙地还有 480千米，出发 5小时后， 离乙地还有 210千米，甲、乙两地相距多少千米? 12 / 18 解析； 从题意可知，汽车行驶 2小时，还需行 480千米到达乙地；汽车行驶 5小时，还 需行 210千米就能达到乙地，比较前后两次的时间与剩余行驶的路程，可以发现 汽车 5－ 2=3(小时 )行驶了 480－ 210=270(千米 )，那么汽车每小时行驶 270÷3=90(千米)，所以甲、乙两地相距 90×2+480=660(千米)。 【专项训练】 1. 小雅爸爸开车从上海去宁波，出发时，轿车里程表显示的里程表显示的千米 数 26875，开了 3小时后，显示的数据是 27160,到达目的地时，显示的数据是 27350， 小雅爸爸从上海到宁波开了几小时? 解析： 小雅爸爸驾车速度为每小时(27160－26875)÷3=95(千米)，小雅爸爸从上海到宁波 开了(27350－26875)÷95=475÷95=5(小时)。 2. 小雅练习毛笔字，写了 12分钟后，还差 45个字没写完，写了 21分钟后，还 差 9个字没写，小雅每分钟写的字一样多，小雅要写多少个字? 解析：小雅每分钟写(45－9)÷(21－12)=4(个)，需要写 4×12+45=93(个)。 3. 小雅和姐姐一起包饺子，两人同时开工，5 分钟后还差 60个没完成，8 分钟 后还差 24个没完成，再包几分钟就能完工了? 解析：两人每分钟包(60－24)÷(8－5)=12(个)饺子，还需再包 24÷12=2(分钟)。 【奥数拓展七】行程问题进阶（二）。 一辆汽车从甲地开往乙地，原计划需要行驶 6小时，实际每小时比计划多行 25 千米，结果 4小时就到达了乙地，甲、乙两地相距多少千米? 解析： 将实际 4小时行驶的路程与原计划 4小时行驶的路程进行比较，可以发现：实际 4小时行驶的路程要比原计划 4小时多行了 25×4=100(千米)，这 100千米恰好是 原计划 6－4=2(小时)行驶的路程，所以原计划每小时行 100÷2=50(千米)，甲、乙 两地相距 50×6=300(千米)。 【专项训练】 1. 小明爬山，从山脚到山顶用时 36分钟，然后原路返回到山脚用了 27分钟.已 13 / 18 知：下山比上山每分钟多走 20米，小明爬山走了多少米? 解析： 小明上山每分钟走 27×20÷(36－27)=60(米)，小明爬山共走了 60×36×2=4320(米)。 2. 小强从学校出发步行回家，走了 18分钟后，走的米数比全程的一半少 300米， 再继续步行 30分钟就能到家了，小强回家走了多少米? 解析： 小强回家共走了 18+30=48(分钟)，走完全程的一半需要 48÷2=24(分钟)，小强每 分钟的步行速度是 300÷(24－18)=50(米)，小强回家走了 48×50=2400(米)。 3. 小莉从山脚沿山路走了 1小时，这时距山顶还差 600米；到达山顶后原路返 回，从山顶用了 50分钟到达了山脚.已知下山速度是上山速度的 2倍，这条山路 长多少米? 解析： 由于下山是上山速度的 2倍，所以下山走 50分钟，上山需要走 50×2=100(分钟)， 那么上山走 600米就需要 40分钟，这条山路长 600÷40×100 =1500(米)。 【奥数拓展八】火车过桥问题（一）。 一列长 150米的火车，以每秒 30米的速度通过一座长 120米的大桥，需要多少 秒? 解析： 火车从车头上桥，到车尾离桥，共行驶了 150+120=270(米)，如下图所示，根据 “时间=路程÷速度”，可知：火车过桥的时间为 270÷30=9(秒)。 【专项训练】 1. 一辆卡车以每秒 15米的速度过一座长 240米的隧道，从车头进隧道到车尾离 开隧道用了 18秒，卡车长多少米? 解析：卡车长 15×18－240=30(米)。 2. 一列长 260米的火车，通过一座长 300米的铁桥需要 28秒，这列火车每秒行 多少米? 解析：火车的速度为(260+300)÷28=20(米/秒) 14 / 18 3. 一座铁桥长 1200米，一列长 600米的火车开过路旁一信号杆需要 15秒，它 通过这座铁桥需要多少秒? 解析：火车的速度为 600÷15=40(米/秒)，火车通过铁桥需要(1200+600)÷40=45(秒)。 【奥数拓展九】火车过桥问题（二）。 (1)一列车通过一条长 360米的隧道用时 24秒，通过一条长 216米的隧道用时 16 秒，这列车长多少米? 解析： 列车 24秒行驶的米数=360米＋车长，列车 16秒行驶的米数=216米十车长，比 较这两个等式，可得：列车每秒钟行(360－216)÷(24－16)=18(米)，这列车长 18×24 －360=72(米)。 (2)一座铁桥长 960 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥 共用 100秒，整列火车完全在桥上的时间为 60秒，计算火车的速度和车长。 解析：火车每秒钟行 960×2÷(100+60)=12(米)，火车长 960－12×60=240(米)。 【专项训练】 1. 一列火车通过 530 米的桥需 40 秒钟，以同样的速度穿过 380 米的山洞需 30 秒钟，这列火车长多少米? 解析：速度为(530－380)÷(40－30)=15(米/秒)，车长 40×15－530=70(米)。 2. 一个车队以 5米/秒的速度缓缓通过一座长 200米的大桥，共用 118秒，已知 每辆车长 12米，两车间隔 15米，这个车队共有多少辆车? 解析：车队长 118×5－200=390(米)，车辆数为(390+15)÷(12+15)=15(辆) 3. 一列火车通过一座长 430米的大桥用了 30秒，它通过一条长 2180米长的隧 道时，速度提高了一倍，结果只用了 50秒，这列火车长多少米? 解析： 如果通过隧道时速度没有提高，那么将需要 50×2=100(秒)，所以火车原来的速度 为(2180－430)÷(100－30)=25(米/秒)，火车的长度为 25×30－430=320(米)。 【奥数拓展十】相遇问题（一）。 下午 3点，小明放学回家，妈妈从家出发去学校接小明.小明家与学校之间距离 1200米，小明每分钟步行 45米，妈妈每分钟步行 75米，两人相遇时，离家有 15 / 18 多少米? 解析： 因为两人都从 3点同时出发，所以相遇时，他们的步行时间是相同的，由于两人 每分钟共行 75+45=120(米)，那么两人合走 1200米就需要 1200÷120=10(分钟)； 也就是说两人各自走了 10分钟在途中相遇，两人在途中相遇时，离家有多远， 这一段路程实际就是小明妈妈 10分钟步行的米数，即 75×10=750(米)。 【专项训练】 1. 一辆客车与一辆货车分别同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行 68 千米，比货车每小时多行 12千米，3小时两车相遇，甲、乙两个城市的路程是 多少千米? 解析：(68－12+68)×3=124×3=372(千米) 2. 甲、乙两车分别从相距 120千米的 A、B两城同时出发，相对而行，已知甲 车到达 B城需 3小时，乙车到达 A城需 6小时，两车出发后多长时间相遇? 解析：120÷(120÷3+120÷6)=2(小时) 3. 早晨 7:30，小王、小李分别从相距 3600米的两地同时出发，相对而行，8:10 在途中相遇。已知小李比小王每分钟多行 10米，小李每分钟行多少米? 解析： 相遇时间为 30+10=40(分钟)，速度和为 3600÷40=90(米/分)，小李的步行速度为 (90+10)÷2=50(米/分) 【奥数拓展十一】相遇问题（二）。 甲、乙两车同时从相距 480千米的两地相向而行，甲车每小时行 45千米，乙车 每小时行 60千米，行驶了 30分钟后，甲车因故障停了 1小时，之后继续行驶， 两车相遇时，甲车行了多少千米? 解析： 由于甲车出现故障停留了 1小时，可理解为乙车先行了 1小时后，甲车再出发， 那么两车相遇的时间为 (480－ 60×1)÷(45+60)=4(小时 ),相遇时，甲车行了 45×4=180(千米)。 【专项训练】 16 / 18 1. 兄弟两人分别从相距 1580米的 A、B两地同时出发，相向而行，哥哥每分钟 走 70米，弟弟每分钟走 50米，途中哥哥休息了 5分钟，弟弟休息了 7分钟，相 遇时，哥哥与弟弟各走了多少分钟? 解析： 弟弟比哥哥多休息 7－5=2(分钟)，可看作哥哥先走 2分钟，相遇时，弟弟走了(1580 －70×2)÷(70＋50)=12(分钟)，哥哥走了 12+2 =14(分钟) 2. 客车和轿车分别从 A、B两地同时出发，相对而行，4小时后相遇，客车每小 时行 60千米，轿车行完全程需要 7小时，A、B两地相距多少千米? 解析： 客车 4小时行驶的路程轿车需行驶 7－4=3(小时)，轿车每小时行驶 60×4÷3=80(千 米)，A、B两地相距(60+80)×4 =560(千米) 3. A、B两地相距 600米.甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发，相向而行， 甲每分钟行 70米，乙每分钟行 80米，甲有一只狗，每分钟行 400米，狗与甲同 时出发，狗遇到乙后就折回；狗再遇到甲后，又调头向乙跑……如此不断往返， 直至甲、乙相遇，狗跑了多少路? 解析：由于狗和甲、乙是同时出发的，所以狗跑的时问应该和甲、乙所用时间相 同，因为甲、乙相遇所用时间：600÷(70+80)=4(分 )，所以狗跑的路程为 4×400=1600(米) 【奥数拓展十二】流水行船问题（一）。 一艘船在静水中的速度是 30千米/时，如果水流速度为 2千米/时，这艘船顺水 2 小时能航行多少千米?逆水 3小时能航行多少千米? 解析： 因为船的顺水速度=船在静水中的速度+水速，所以船的顺水速度为 30+2=32(千 米/时)，顺水 2小时能航行 32×2=64(千米)，船的逆水速度=船在静水中的速度－ 水速，这艘船的逆水速度为 30－2=28(千米/时)，船逆水航行 3 小时能航行 28×3=84(千米)，(30+2)×2=64(千米)，(30—2)×3=84(千米)。 答：这艘船顺水航行 2小时行 64千米，逆水航行 3小时行 84千米。 【专项训练】 1. 某船在静水中的速度是每小时 24千米，水流速度是每小时 3千米，船逆水航 17 / 18 行 2小时能行多少千米?顺水航行 4小时能行多少千米? 解析： 船逆水航行 2 小时能行 (24－ 3)×2=42(千米 )，顺水航行 4 小时能行 (24+3)×4=108(千米) 2. 192千米长的运河，水速是 4千米/时，一艘静水速度为 28千米/时的客船， 逆水航行通过这条运河，需要几小时? 解析：V逆=28－4=24(千米/时)，192÷24 =8(小时) 3. 货船顺水行 320千米需要 8小时，水速每小时 15千米，它逆水每小时行多少 千米?如果逆水行这段路程，需要几小时? 解析： V顺=320÷8=40(千米/时)，v船=40－15=25(千米/时) V逆=25－15=10(千米/时)，t逆=320÷10=32(小时) 【奥数拓展十三】流水行船问题（二）。 (1)甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3小时后 相遇。已知水流速度是 5千米/时，相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米? 解析： 假设：甲船在顺流航行，乙船在逆流航行，由于甲船速度=船速＋水速，乙船速 度=船速－水速，那么,甲船比乙船每小时多行了的路程为：(船速＋水速)－(船速 －水速)=2×水速=2×5=10(千米)，3小时的距离差为 10×3=30(千米)。 (2)一艘轮船顺流航行 140千米，逆流航行 80千米共用 15小时；顺流航行 60千 米，逆流航行 120千米也用 15小时，水流的速度是多少? 解析： 两次航行都用 15小时，而第一次比第二次顺流多行 140－60=80(千米)，逆流少 行 120－80=40(千米)，这表明顺流行 80千米与逆流行 40千米所用的时间相等， 即顺流速度是逆流速度的 80÷40=2倍，将第一次航行看成是 15小时顺流航行， 那么可行 140+80×2=300(千米)，由此可知：顺流速度为 300÷15=20(千米/时)，逆 流速度为 20÷2=10(千米/时)，水流速度为(20－10)÷2=5(千米/时)。 【专项训练】 1. 甲、乙两个码头相距 48千米，一艘船从甲码头出发顺流而下去乙码头，需航 18 / 18 行 3小时，返回时因雨后涨水，用 8小时才回到甲码头，平时水速为 4千米/时， 涨水后水速增加多少? 解析： 平时：v顺=48÷3=16(千米/时)，v船=16－4=12(千米/时)，v逆=12-4 =8(千米/时)； 涨水时：v逆=48÷8=6(千米/时)，v水=V船－v逆=12－6=6(千米/时)，水速增加： 6－4=2(千米/时) 2. A、B两港相距 256千米，甲、乙两船分别在 A港和 B港，在静水中，甲船每 小时行 20千米，乙船每小时行 16千米，水速为每小时 3千米，现乙船从 B 港 顺水而下驶向 A港，出发 4小时后，甲船从 A港出发驶向 B港，出发几小时后 与乙船相遇? 解析： 甲船出发时，两船相距 256－(16+3)×4=180(千米)，相遇时间为 180÷(20+16)=5(小 时) 3. 轮船第一次顺水航行 42千米，逆水航行 8千米，共用 11小时；第二次用相 同的时间，顺水航行了 24千米，逆水航行了 14千米，求轮船在静水中的速度和 水流速度。 解析： v顺÷v逆=(42－24)÷(14－8)=3，v顺=(42+8×3)÷11=6(千米/时)， v逆=8÷(11－42÷6)=2(千米/时)，v船=(6+2)÷2=4(千米/时)， v水=(6－2)÷2=2(千米/时) 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年10月19日 目 录 【课内精选一】乘法的基础应用 3 【课内精选二】乘法的进阶应用 4 【奥数拓展一】最值问题（一） 5 【奥数拓展二】最值问题（二） 5 【奥数拓展三】最值问题（三） 6 【奥数拓展四】行程问题初步（一） 7 【奥数拓展五】行程问题初步（二） 8 【奥数拓展六】行程问题进阶（一） 9 【奥数拓展七】行程问题进阶（二） 9 【奥数拓展八】火车过桥问题（一） 10 【奥数拓展九】火车过桥问题（二） 11 【奥数拓展十】相遇问题（一） 12 【奥数拓展十一】相遇问题（二） 13 【奥数拓展十二】流水行船问题（一） 14 【奥数拓展十三】流水行船问题（二） 14 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第三单元乘法·思维素养篇·第二部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】乘法的基础应用。 研究表明，1公顷的森林在生长季节每月大约可吸收24吨二氧化碳。山水相依、湖城合璧，被森林和湿地浸润包围的杭州市森林面积高达120万公顷，森林覆盖率位居全国省会、副省级城市首位。杭州市的森林一个月大约可吸收多少万吨二氧化碳？ 【专项训练】 1．服装厂收到学校定制3700套校服的订单，要求14天完成交货。该服装厂每天可生产264套校服，他们能按时完成并交货吗？ 2．甜甜家到学校大约有3000米，如果她骑车的速度是240米/分，她从家到学校骑车15分钟能到吗？ 3．动物园的一头大象一天要吃32千克食物，饲养员准备了5吨食物，够这头大象吃150天吗？ 【课内精选二】乘法的进阶应用。 垃圾回收站原来处理1吨垃圾需要578元，现在改进了机器，处理1吨垃圾只需要430元。改进机器后，处理39吨垃圾可以节约多少钱？ 【专项训练】 1．服装厂生产一批服装，原计划12天完成，实际每天比计划多做40套，因此比计划提前3天完成。这批校服共多少套？ 2．丽丽一家四口在购买烟花爆竹时用了316元，照这样计算，春节期间全市720万人在放烟花爆竹上将花费多少钱？对此结果你有何感想？ 3．新年临近，“中国结”十分畅销。某超市一天就卖出78个“双鱼结”、122个“平安如意”结。两种“中国结”一共售出多少元？ 【奥数拓展一】最值问题（一）。 用一根长18米的铁丝围成一个边长为整米数的长方形，当长与宽是多少米时，面积最大?面积最大多少平方米? 【专项训练】 1. 一个长方形的周长是48厘米且边长为整厘米数，面积最大是多少平方厘米?最小是多少平方厘米? 2. 两个两位数的和为36，它们的乘积最大是多少?最小是多少? 3. 将10、20、30、40、50这5个数分成两组，先计算每组所有数的和，再将和相乘，那么乘积最大是多少? 【奥数拓展二】最值问题（二）。 有一块边长是整米数，大小为36平方米的长方形草地，四周围上了栅栏，栅栏最少长多少米? 【专项训练】 1. 有一个边长是整分米数的长方形，面积是75平方分米，周长最长是多少分米? 2. 一个面积为100平方米的长方形，周长最短是多少米? 3. a、b、c是3个大于零的整数，已知a×b×c=20，a+b+c的结果最大是多少?最小是多少? 【奥数拓展三】最值问题（三）。 用12张长3厘米，宽2厘米的长方形纸片拼成一个实心的大长方形，大长方形的周长最长是多少?最短是多少? 【专项训练】 1. 用6张长6厘米，宽5厘米的长方形纸片拼成一个实心的大长方形，大长方形的周长最短是多少厘米? 2. 一个四位数每一位上的数字乘积是48，每一位上的数字和最大是多少?最小是多少? 3. 用7张长4厘米，宽3厘米的长方形纸片拼成一个大长方形，大长方形的周长最短是多少? 【奥数拓展四】行程问题初步（一）。 小明家距离学校900米，原计划7点30分从家出发步行去学校，7点50分可到达.实际每分钟要比原来多走15米，实际到达学校的时间是几点几分? 【专项训练】 1. 小明家与超市相距1800米.上午8点，小明从家出发去超市，每分钟走60米，8点10分，小明妈妈也从家出发去超市，结果两人同时到达了超市，小明妈妈每分钟要走多少米? 2. 甲、乙两车从A城市出发开往B城市.甲车每小时行80千米，行15小时可到达，乙车每小时行100千米，如果两车要同时到达B城市，甲车要比乙车提前几小时出发? 3. 一辆卡车从工厂出发去港口送货，每小时行78千米，行了2小时后离全程的中点还差24千米，工厂与港口相距多少千米? 【奥数拓展五】行程问题初步（二）。 汽车从甲地到乙地，需要先行一段上坡路，再行一段下坡路，共用5小时，共行了240千米，已知：上坡车速为每小时30千米，下坡车速为每小时60千米，那么汽车原路返回需要几小时? 【专项训练】 1. 如图，从A到B是1200米的下坡路，从B到C是400米平路，从C到D是600米上坡路.小李散步，下坡时，每分钟走60米，上坡时，每分钟走40米，平路时，每分钟走50米，小李从A到D,再从D返回A，需要多少分钟? 2. 龟兔赛跑，全程800米，乌龟每分钟爬4米，兔子每分钟跑160米.兔子自以为跑的快，在途中睡了一觉，结果反而比乌龟晚到1分钟，兔子在途中睡了多少分钟? 3. 小胖锻炼身体，从甲地走1200米的上坡路到达乙地，再从乙地走600米的下坡路到达丙地，最后再原路返回甲地.已知：从甲地到丙地共走了50分钟，从丙地返回甲地共走了40分钟，小胖走下坡路段的速度是上坡的2倍，上坡时，小胖每分钟走多少米? 【奥数拓展六】行程问题进阶（一）。 一辆汽车从甲地开往乙地，出发2小时后，离乙地还有480千米，出发5小时后，离乙地还有210千米，甲、乙两地相距多少千米? 【专项训练】 1. 小雅爸爸开车从上海去宁波，出发时，轿车里程表显示的里程表显示的千米数26875，开了3小时后，显示的数据是27160,到达目的地时，显示的数据是27350，小雅爸爸从上海到宁波开了几小时? 2. 小雅练习毛笔字，写了12分钟后，还差45个字没写完，写了21分钟后，还差9个字没写，小雅每分钟写的字一样多，小雅要写多少个字? 3. 小雅和姐姐一起包饺子，两人同时开工，5分钟后还差60个没完成，8分钟后还差24个没完成，再包几分钟就能完工了? 【奥数拓展七】行程问题进阶（二）。 一辆汽车从甲地开往乙地，原计划需要行驶6小时，实际每小时比计划多行25千米，结果4小时就到达了乙地，甲、乙两地相距多少千米? 【专项训练】 1. 小明爬山，从山脚到山顶用时36分钟，然后原路返回到山脚用了27分钟.已知：下山比上山每分钟多走20米，小明爬山走了多少米? 2. 小强从学校出发步行回家，走了18分钟后，走的米数比全程的一半少300米，再继续步行30分钟就能到家了，小强回家走了多少米? 3. 小莉从山脚沿山路走了1小时，这时距山顶还差600米；到达山顶后原路返回，从山顶用了50分钟到达了山脚.已知下山速度是上山速度的2倍，这条山路长多少米? 【奥数拓展八】火车过桥问题（一）。 一列长150米的火车，以每秒30米的速度通过一座长120米的大桥，需要多少秒? 【专项训练】 1. 一辆卡车以每秒15米的速度过一座长240米的隧道，从车头进隧道到车尾离开隧道用了18秒，卡车长多少米? 2. 一列长260米的火车，通过一座长300米的铁桥需要28秒，这列火车每秒行多少米? 3. 一座铁桥长1200米，一列长600米的火车开过路旁一信号杆需要15秒，它通过这座铁桥需要多少秒? 【奥数拓展九】火车过桥问题（二）。 (1)一列车通过一条长360米的隧道用时24秒，通过一条长216米的隧道用时16秒，这列车长多少米? (2)一座铁桥长960米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用100秒，整列火车完全在桥上的时间为60秒，计算火车的速度和车长。 【专项训练】 1. 一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟，这列火车长多少米? 2. 一个车队以5米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用118秒，已知每辆车长12米，两车间隔15米，这个车队共有多少辆车? 3. 一列火车通过一座长430米的大桥用了30秒，它通过一条长2180米长的隧道时，速度提高了一倍，结果只用了50秒，这列火车长多少米? 【奥数拓展十】相遇问题（一）。 下午3点，小明放学回家，妈妈从家出发去学校接小明.小明家与学校之间距离1200米，小明每分钟步行45米，妈妈每分钟步行75米，两人相遇时，离家有多少米? 【专项训练】 1. 一辆客车与一辆货车分别同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行68千米，比货车每小时多行12千米，3小时两车相遇，甲、乙两个城市的路程是多少千米? 2. 甲、乙两车分别从相距120千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需3小时，乙车到达A城需6小时，两车出发后多长时间相遇? 3. 早晨7:30，小王、小李分别从相距3600米的两地同时出发，相对而行，8:10在途中相遇。已知小李比小王每分钟多行10米，小李每分钟行多少米? 【奥数拓展十一】相遇问题（二）。 甲、乙两车同时从相距480千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行60千米，行驶了30分钟后，甲车因故障停了1小时，之后继续行驶，两车相遇时，甲车行了多少千米? 【专项训练】 1. 兄弟两人分别从相距1580米的A、B两地同时出发，相向而行，哥哥每分钟走70米，弟弟每分钟走50米，途中哥哥休息了5分钟，弟弟休息了7分钟，相遇时，哥哥与弟弟各走了多少分钟? 2. 客车和轿车分别从A、B两地同时出发，相对而行，4小时后相遇，客车每小时行60千米，轿车行完全程需要7小时，A、B两地相距多少千米? 3. A、B两地相距600米.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行80米，甲有一只狗，每分钟行400米，狗与甲同时出发，狗遇到乙后就折回；狗再遇到甲后，又调头向乙跑……如此不断往返，直至甲、乙相遇，狗跑了多少路? 【奥数拓展十二】流水行船问题（一）。 一艘船在静水中的速度是30千米/时，如果水流速度为2千米/时，这艘船顺水2小时能航行多少千米?逆水3小时能航行多少千米? 【专项训练】 1. 某船在静水中的速度是每小时24千米，水流速度是每小时3千米，船逆水航行2小时能行多少千米?顺水航行4小时能行多少千米? 2. 192千米长的运河，水速是4千米/时，一艘静水速度为28千米/时的客船，逆水航行通过这条运河，需要几小时? 3. 货船顺水行320千米需要8小时，水速每小时15千米，它逆水每小时行多少千米?如果逆水行这段路程，需要几小时? 【奥数拓展十三】流水行船问题（二）。 (1)甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3小时后相遇。已知水流速度是5千米/时.相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米? (2)一艘轮船顺流航行140千米，逆流航行80千米共用15小时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用15小时，水流的速度是多少? 【专项训练】 1. 甲、乙两个码头相距48千米，一艘船从甲码头出发顺流而下去乙码头，需航行3小时，返回时因雨后涨水，用8小时才回到甲码头，平时水速为4千米/时，涨水后水速增加多少? 2. A、B两港相距256千米，甲、乙两船分别在A港和B港，在静水中，甲船每小时行20千米，乙船每小时行16千米，水速为每小时3千米，现乙船从B港顺水而下驶向A港，出发4小时后，甲船从A港出发驶向B港，出发几小时后与乙船相遇? 3. 轮船第一次顺水航行42千米，逆水航行8千米，共用11小时；第二次用相同的时间，顺水航行了24千米，逆水航行了14千米，求轮船在静水中的速度和水流速度。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$