12.2第4课时 因式分解的方法（分组分解法）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪教版2024）

12.2 第4课时 因式分解的方法（分组分解法） 知识点一 分组分解法 1. 分组分解法 如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组,利用分组可以进行多项式的局部分解然后,综合起来,再从总体上用捉取公因式法和公式法或十字相乘法继续进行分解,直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做. 2.分组原则 (1)分组后能直接提取公因式,多见四项多项式. (2)分组后能直接运用公式法,多见四项多项式2-2分组. (3)分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式1-3分组. 题型一、因式分解的判断 解题技巧提炼 因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 1．下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 2．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·上海青浦·期中） 多项式的因式（填“是”或“不是”） 题型二、2＋2型分组分解法 解题技巧提炼 2＋2型分组分解法一般有两类． 第1类：每2项都可以提取公因式，然后再将括号内的多项式进行二次提取公因式. 第2类：其中2项可以进行平方差. 4．（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式： 5．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 6．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 8．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：. 9．分解因式：． 10．（21-22九年级下·上海徐汇·期中）因式分解： ． 11．（22-23七年级上·上海·期末）分解因式： ． 12．分解因式： ． 13．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 14．（23-24七年级上·上海崇明·期末）分解因式：． 15．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：； 题型三、1＋3型分组分解 解题技巧提炼 1＋3型分组分解法一般题型特征． 出现二次三项式，先将三项完全平方，再进行平方差分解因式. 16．因式分解： ． 17．因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab． 18．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 19．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解∶ 20．（22-23七年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 21．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：． 22．（22-23七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 23．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：； 题型四、3＋2型分组分解 解题技巧提炼 3＋2型分组分解法一般题型特征． 出现二次三项式，先将三项十字相乘，再进行提取公因式分解因式. 24．分解因式： ． 25．（22-23七年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 26．（22-23七年级上·上海青浦·期中）分解因式： 题型五、3＋3型分组分解 解题技巧提炼 3＋3型分组分解法一般题型特征． 出现两个二次三项式，且都可以进行完全平方，再将它们平方差分解因式. 27．因式分解： 28．因式分解： 题型六、1＋2＋3型分组分解 解题技巧提炼 1＋2＋3型分组分解法一般题型特征． 其中两项可以进行提取公因式，其中三项是二次三项式，最后在整体思想十字相乘分解因式. 29．如果因式分解的结果为 ． 30．因式分解： ． 题型七、拆项法分组分解 解题技巧提炼 拆项法：在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 31．因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 32．因式分解： . 33．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 34．分解因式： 题型八、高次型分组分解 解题技巧提炼 高次问题一般转化成降次进行因式分解． 35．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式： ． 36．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 题型九、利用分组分解求字母的值 解题技巧提炼 先将式子进行分组分解因式分解，再代值求解． 37.已知，求m，n的值． 38．已知，且，求的值． 39．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知a，b，c三个数两两不等，且有，试求m的值． 题型十、判断三角形形状问题 解题技巧提炼 判断三角形形状问题一般先分组分解构造成A×B＝0的方程，解的A＝0或者B＝0，从而得到边长的关系． 40．已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 41．（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状． （2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？ 42．已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由， 43．的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 题型十一、最值问题 解题技巧提炼 最值问题一般先配成完全平方，根据非负性求最值． 44．求多项式的最小值； 45．已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 46．若为实数且满足，，求的最小值． 47．当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 题型十二、分组分解的综合应用 解题技巧提炼 综合问题要全面运用分组分解的方法，找到解题突破口进而求出结果． 48．（23-24七年级上·上海·期末）多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 49．当时，代数式 50．若、、为非零实数，且，求证：． 题型十三、分组分解的探究题 解题技巧提炼 探究归纳题要将例子介绍的原理看清楚，理解透，再对照方法求出变式题． 51．整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形． 例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解． 又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解． 有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解． 甲： （分成两组） （分别提公因式） 乙： （分成两组） （运用公式） 请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解 问题一：因式分解： （1）； （2）． 问题二：探究 对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系． 52．观察猜想： 如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空： 说理验证： 事实上，我们也可以用如下方法进行变形： 于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解． 尝试运用： 例题把分解因式． 解：． 请利用上述方法将下列多项式分解因式： （1）； （2）． 53．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）下面是多项式x3+y3因式分解的部分过程，． 解：原式＝x3+x2y﹣x2y+y3（第一步） ＝（x3+x2y）﹣（x2y﹣y3）（第二步） ＝x2（x+y）﹣y（x2﹣y2）（第三步） ＝x2（x+y）﹣y（x+y）（x﹣y）（第四步） ＝　 　． 阅读以上解题过程，解答下列问题： （1）在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 　 　．（至少写出两种方法） （2）在横线继续完成对本题的因式分解． （3）请你尝试用以上方法对多项式8x3﹣1进行因式分解． 54．请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+64 （2）x4+4y4； （3）x2﹣2ax﹣b2+2ab． 55．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法． 例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 (1)试用“分组分解法”因式分解： (2)已知四个实数，，，，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示、、（直接写出答案即可）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2 第4课时 因式分解的方法（分组分解法） 知识点一 分组分解法 1. 分组分解法 如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组,利用分组可以进行多项式的局部分解然后,综合起来,再从总体上用捉取公因式法和公式法或十字相乘法继续进行分解,直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法. 2.分组原则 (1)分组后能直接提取公因式,多见四项多项式. (2)分组后能直接运用公式法,多见四项多项式2-2分组. (3)分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式1-3分组. 题型一、因式分解的判断 解题技巧提炼 因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 1．下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的方法分别判断即可． 【详解】解：A．，正确； B．，正确； C．，正确； D．，原式分解不彻底，故不正确； 故选D． 2．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 3．（22-23七年级上·上海青浦·期中） 多项式的因式（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】假设是多项式的因式，则只需将多项式进行分组，可写成，此时两两一组分解因式即可得到结果． 【详解】， ， ， ， ∴是多项式的因式． 故答案为：是 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握分组分解法是解题的关键． 题型二、2＋2型分组分解法 解题技巧提炼 2＋2型分组分解法一般有两类． 第1类：每2项都可以提取公因式，然后再将括号内的多项式进行二次提取公因式. 第2类：其中2项可以进行平方差. 4．（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把原式分为两组，再分别提取公因式，化为，再提取公因式即可． 【详解】解： 5．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】先分组,然后根据提公因式法可进行求解． 【详解】解： ； 【点睛】本题主要考查因式分解的提公因式法，先分组后提取公因式是解题的关键． 6．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解和分组进行因式分解； 先对原式进行变形，分组提公因式即可． 【详解】解：原式 ． 7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解因式是解本题的关键；本题先分成2组分别提公因式x，再进一步的提公因式分解因式即可． 【详解】解： ； 8．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：. 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．先分组提公因式，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 9．分解因式：． 【答案】 【分析】利用加法的结合律和交换律，把整式的第一项和第三项，第四项和第二项分组，提取公因式后再利用公式． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握分组分解法、提取公因式法和公式法是解决本题的关键．解决本题亦可第一与第四、第二与第三项分组． 10．（21-22九年级下·上海徐汇·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用分解分组法，得，再进行提公因式，得，即可作答． 【详解】解： 故答案为：． 11．（22-23七年级上·上海·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】前两项一组，提取公因式x，后两项一组，提取公因式a，然后两组之间再提取公因式整理即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 12．分解因式： ． 【答案】 【分析】把多项式分成两部分，分别利用公式法和提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的分组分解法，熟练运用公式法和提取公因式法，把多项式的每一项正确分组是解决问题的关键． 13．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】先将多项式进行分组，然后分别进行因式分解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分组分解法因式分解．正确将多项式进行分组是解题的关键． 14．（23-24七年级上·上海崇明·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式，进一步提取公因式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ． 15．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：； 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 题型三、1＋3型分组分解 解题技巧提炼 1＋3型分组分解法一般题型特征． 出现二次三项式，先将三项完全平方，再进行平方差分解因式. 16．因式分解： ． 【答案】 【分析】先分组，然后根据公式法因式分解． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键． 17．因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab． 【答案】 【分析】先分组，再逆用完全平方公式、平方差公式进行因式分解． 【详解】解：1﹣a2﹣4b2+4ab ＝1﹣（a2+4b2﹣4ab） ＝1﹣（a﹣2b）2 ＝（1+a﹣2b）[1﹣（a﹣2b）] ＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）． 【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、逆用完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 18．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】． 【分析】此题考查了分组分解法分解因式，直接将后三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案，解题的关键是熟练掌握分组分解法分解因式，公式法因式分解及其应用． 【详解】解：原式， ， ， ． 19．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解∶ 【答案】 【分析】先分组，再利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 20．（22-23七年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】先把前3项利用利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 21．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练的分组是解本题的关键． 【详解】解： ． 22．（22-23七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 23．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：； 【答案】 【分析】本题租用考查了分解因式，先分组得到，进而提取公因式得到，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 题型四、3＋2型分组分解 解题技巧提炼 3＋2型分组分解法一般题型特征． 出现二次三项式，先将三项十字相乘，再进行提取公因式分解因式. 24．分解因式： ． 【答案】 【分析】先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，然后提出公因式，即可求解． 【详解】解：原式， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 25．（22-23七年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】先将原式进行分组，再进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是先将原式进行分组，熟练掌握用提取公因式，完全平方公式和十字相乘进行因式分解的方法． 26．（22-23七年级上·上海青浦·期中）分解因式： 【答案】 【分析】分组分解法，十字相乘法，提取公因式法分解因式． 【详解】 =． 【点睛】本题考查了分组分解法，十字相乘法，提取公因式法分解因式，熟练掌握分解方法是解题的关键． 题型五、3＋3型分组分解 解题技巧提炼 3＋3型分组分解法一般题型特征． 出现两个二次三项式，且都可以进行完全平方，再将它们平方差分解因式. 27．因式分解： 【答案】 【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则求解，再分组，利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可得到结论． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查因式分解，涉及到整式乘法运算、分组分解因式和公式法分解因式，根据代数式结构特征准确分组，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解决问题的关键． 28．因式分解： 【答案】 【分析】先根据完全平方公式进行分组，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解： 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，因式分解—分组分解法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 题型六、1＋2＋3型分组分解 解题技巧提炼 1＋2＋3型分组分解法一般题型特征． 其中两项可以进行提取公因式，其中三项是二次三项式，最后在整体思想十字相乘分解因式. 29．如果因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】把当成一个整体，再因式分解即可． 【详解】原式 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键． 30．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要查了多项式的因式分解．先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 题型七、拆项法分组分解 解题技巧提炼 拆项法：在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 31．因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则． （1）根据例1的思路计算即可； （2）根据例2的思路计算即可； （3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解． 【详解】（1）解： （2） （3） 当时，最小值为． 32．因式分解： . 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法进行因式分解成为解题的关键. 将分成，然后各组分别因式分解，最后提取公因式即可. 【详解】解： 故答案为： 33．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据分组分解法和提取公因式法进行分解即可，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ． 34．分解因式： 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用分组分解即可得到答案； 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查提取公式式法因式分解及分组分解法，解题的关键是提取公因式后正确的分组． 题型八、高次型分组分解 解题技巧提炼 高次问题一般转化成降次进行因式分解． 35．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法成为解题的关键． 先将分组成，然后再运用提取公因式、公式法求解即可． 【详解】解： ． 36．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 题型九、利用分组分解求字母的值 解题技巧提炼 先将式子进行分组分解因式分解，再代值求解． 37． 已知，求m，n的值． 【答案】m的值为，n的值为3 【详解】解：， ， 即， ，， 解得：，， 的值为，的值为3． 38．已知，且，求的值． 【答案】 【分析】将两多项式相减得到a，b，c的关系，代入等式求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴； 【点睛】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组． 39．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知a，b，c三个数两两不等，且有，试求m的值． 【答案】或 【分析】，得，移项后因式分解得到，由a，b，c三个数两两不等，则，得到①，同理可得②，③，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c三个数两两不等， ∴， ∴①， 同理可得②，③， 当时， ①＋②＋③得，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时， ∵a，b，c三个数两两不等， ∴a，b，c三个数中至少一个不是0， 设， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上可知，m的值为或． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是基础，分类讨论是解题的关键． 题型十、判断三角形形状问题 解题技巧提炼 判断三角形形状问题一般先分组分解构造成A×B＝0的方程，解的A＝0或者B＝0，从而得到边长的关系． 40．已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 【答案】为等腰三角形，理由见解析． 【分析】运用分组分解法判断出，进而得到结论； 本题考查了因式分解的应用，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵，，是的三边， ∴， ∴为等腰三角形． 41．（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状． （2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？ 【答案】（1）三角形是等腰三角形；（2）是等边三角形 【分析】本题考查因式分解的应用； （1）把通过因式分解求值即可； （2）通过把配方后根据非负数的性质判断即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴这个三角形是等腰三角形． （2）∵， ∴． ∴， 即． ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形． 42．已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由， 【答案】是等腰三角形 【分析】利用分组法分解因式，然后得出，即可判断三角形的形状． 【详解】是等腰三角形．理由如下： ， ， ，，是的三边， ， ， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深刻理解题干中的分组分解法是解题关键． 43．的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析． 【分析】根据“”分法分解因式，得出或，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查因式分解，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题． 题型十一、最值问题 解题技巧提炼 最值问题一般先配成完全平方，根据非负性求最值． 44．求多项式的最小值； 【答案】 【详解】解：原式 ， ∵ 多项式 有最小值，最小值是； 45．已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 【答案】C 【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大， ∴当时，； 当时，， ∴的最大值为76， 故选：C． 【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式． 46．若为实数且满足，，求的最小值． 【答案】 【分析】先将利用分组分解法因式分解，再将已知条件整体代入，化为完全平方式，最后根据非负数的性质确定的最小值． 【详解】解：由题 ∴ ∵ ∴，当且仅当时取等号 经验证当时满足 综上，的最小值为． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，分组分解法因式分解，二元一次方程组，非负数的性质，整体代入是解题的关键． 47．当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) 【详解】解：原式， ， ∵， ∴ ∴当时，二次三项式取得最小值，最小值为． 题型十二、分组分解的综合应用 解题技巧提炼 综合问题要全面运用分组分解的方法，找到解题突破口进而求出结果． 48．（23-24七年级上·上海·期末）多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解得到分组后的公因式是，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴必须与一组， ∴ ， 故答案为： 49．当时，代数式 【答案】 【分析】原式先提取x，再分组，利用因式分解，代入数值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握分组分解法以及提公因式法分解因式是解题的关键． 50．若、、为非零实数，且，求证：． 【分析】根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查分组分解法，阅读材料，理解分组分解因式的思想方法是解决问题的关键． 题型十三、分组分解的探究题 解题技巧提炼 探究归纳题要将例子介绍的原理看清楚，理解透，再对照方法求出变式题． 51．整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形． 例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解． 又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解． 有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解． 甲： （分成两组） （分别提公因式） 乙： （分成两组） （运用公式） 请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解 问题一：因式分解： （1）； （2）． 问题二：探究 对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系． 【答案】问题一：因式分解：（1）（2）；问题二：探究的数量关系． 【分析】问题一：因式分解：（1）按系数成比分组提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理为即可； （2）按完全平方公式分组，然后利用公式变形为再利用平方差公式因式分解即可； 问题二：探究∶先求，再求，由，可得，合并同类项，由，对任意有理数x、y都成立，可得即可． 【详解】解：问题一：因式分解： （1） =， = =， =； （2） = = = =； 问题二：探究， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，对任意有理数x、y都成立， ∴， ∴m，n的数量关系． 【点睛】本题考查分组因式分解的方法，新定义实数运算，利用因式分解与多项式乘法之间关系，掌握分组因式分解的方法，利用因式分解与多项式乘法之间关系，构造恒等式找出m与n关系是解题关键． 52．观察猜想： 如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空： 说理验证： 事实上，我们也可以用如下方法进行变形： 于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解． 尝试运用： 例题把分解因式． 解：． 请利用上述方法将下列多项式分解因式： （1）； （2）． 【答案】x+p；x+q；x（x+p）+q（x+p）；x+p；x+q；（1）（x-3）（x-4）；（2）（y2+y+9）（y+2）（y-1）． 【分析】由矩形的面积公式可以求得x2+px+qx+pq=（x+p）（x+q）； 利用分组的方法可以先分组然后提公因式法可以分解因式为：x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）； （1）根据x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）的形式的分解即可； （1）把y2+y看作一个整体，同理分解即可． 【详解】解：由矩形的面积公式得：（x+p）（x+q）； 故答案为：x+p；x+q； 根据分组分解法得：x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）； 故答案为：x（x+p）+q（x+p）；x+p；x+q； （1） =（x-3）（x-4）； （2） =（y2+y+9）（y2+y-2） =（y2+y+9）（y+2）（y-1）． 故答案为：（x+p）（x+q）；x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）； 【点睛】本题是一道因式分解的试题，考查了十字相乘法在实际问题中的运用，分组分解法的运用．在分解因式时，要分解到不能再分解为止． 53．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）下面是多项式x3+y3因式分解的部分过程，． 解：原式＝x3+x2y﹣x2y+y3（第一步） ＝（x3+x2y）﹣（x2y﹣y3）（第二步） ＝x2（x+y）﹣y（x2﹣y2）（第三步） ＝x2（x+y）﹣y（x+y）（x﹣y）（第四步） ＝　 　． 阅读以上解题过程，解答下列问题： （1）在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 　 　．（至少写出两种方法） （2）在横线继续完成对本题的因式分解． （3）请你尝试用以上方法对多项式8x3﹣1进行因式分解． 【答案】（1）提公因式法，公式法，分组分解法；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意可得因式分解的方法为提公因式法，公式法，分组分解法； （2）根据第四步的结果提公因式法因式分解即可； （3）根据题中的多项式x3+y3因式分解方法求解即可． 【详解】（1）因式分解的方法为提公因式法，公式法，分组分解法； 故答案为：提公因式法，公式法 （2）原式＝x2（x+y）﹣y（x+y）（x﹣y）（第四步） 故答案为： （3） 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 54．请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+64 （2）x4+4y4； （3）x2﹣2ax﹣b2+2ab． 【答案】（1）（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）；（2）（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；（3）（x﹣b）（x+b﹣2a） 【分析】（1）根据苏菲•热门的做法，将原式配上16x2后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （2）根据苏菲•热门的做法，将原式配上4x2y2后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （3）先分组，再利用提公因式法因式分解． 【详解】解：（1）原式＝x4+16x2+82﹣16x2 ＝（x2+8）2﹣（4x）2 ＝（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）； （2）原式＝x4+4y4+4x2y2﹣4x2y2 ＝（x2+2y2）2﹣（2xy）2 ＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）； （3）原式＝（x2﹣b2）+（﹣2ax+2ab） ＝（x+b）（x﹣b）﹣2a（x﹣b） ＝（x﹣b）（x+b﹣2a）． 【点睛】本题考查了添项法凑公式因式分解，用公式法因式分解，分组分解法，掌握因式分解的方法是解题的关键． 55．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法． 例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 (1)试用“分组分解法”因式分解： (2)已知四个实数，，，，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示、、（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． （1）根据因式分解分组分解法分解即可； （2）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①当时，得，， ， ； ②当时， ，，，， ， 即， ， ， ， ， 由得，得，， ，即， ， ， ， ， 又由，，得，即， ，即， 或， ，或， 又，则， ，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$