精品解析：广东省佛山市南海中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段考试数学试卷

南海中学2024～2025学年度第一学期高一年级数学科 第一次阶段考考试 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意率项：1.答卷前，考生务必填写答题卷上的相关信息. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效 4.请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内） 1. 已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以图中阴影部分表示或. 故选：A. 2. 已知函数，则下列命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】结合解一元二次不等式，以及全称和特称命题真假的判断，即可得答案. 【详解】对于，即，解得或， 故，，，，AB选项中命题为真命题，C中命题为假命题， 由，解得，则，，D中命题为真命题， 故选：C 3. 已知集合，，集合，则集合M的子集的个数为（ ） A. 2 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由补集交集的运算先求出集合，然后求解集合M的子集的个数即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以集合M的子集的个数为个. 故选：B 4. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解. 【详解】由，解得； 由，解得； 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（ ） A. 3人 B. 2人 C. 1人 D. 4人 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形即可得到方程，解出即可. 【详解】设这三项比赛都参加的有人，则，解得． 故选：C. 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若a>b，c>d，则ac>bd B. 若ac>bc，则a<b C. 若a>b，c>d，则a﹣c>b﹣d D. 若，则a<b 【答案】D 【解析】 【分析】运用不等式的性质，结合特殊值法，对选项注逐一判断正误即可. 【详解】选项A中，若，时，则成立，否则，若，则，显然错误，故选项A错误； 选项B中，若，，则能推出，否则，若，则，显然错误，故选项B错误； 选项C中，若，则，显然错误，故选项C错误； 选项D中，若，显然，由不等式性质知不等式两边同乘以一个正数，不等式不变号，即. 故选：D 7. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合，根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】依题意，，， 由是的充分不必要条件，得集合真包含于集合， 所以，即. 故选：A 8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和列不等式. 【详解】由图形可知：，， 在中，由勾股定理可得：， ，，. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，部分选对得部分分数，选错不得分） 9. 已知集合，．若，则实数m的值为（       ） A. 0 B. 1 C. -3 D. 3 【答案】AD 【解析】 【分析】根据并集结果得到，从而讨论得到或或，根据集合中元素的互异性排除不合要求的结果. 【详解】因为，所以． 因为，，所以或， 解得或或； 当时，，，符合题意； 当时，集合不满足集合元素的互异性，不符合题意； 当时，，，符合题意； 综上，或. 故选：AD 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的解集为或 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得的两个根为1和3，且，利用韦达定理得，再逐个分析判断即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以的两个根为1和3，且， 由韦达定理得，得， 因为，所以A正确， 因为，所以B正确， 不等式可化为，因为，所以，得， 所以的解集为，所以C正确， 不等式可化为，因为， 所以，即，得， 所以不等式的解集为，所以D错误. 故选：ABC. 11. 若a，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式依次判断即得. 【详解】由a，，，可得， 对于A，，当且仅当，即取等号，所以，同理，故，故A错误； 对于B，∵，当且仅当，即时取等号， ∴，即的最大值为，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，故C正确； 对于D，由题可得，， ∴， 而，当且仅当，即时取等号， ∴，即的最大值是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题，则是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称命题，即可得. 【详解】由全称量词命题的否定形式知： 命题的否定为. 故答案为： 13. 设集合，，若且，则的取值范围________. 【答案】 【解析】 【分析】根据且，列不等式组求的取值范围. 【详解】因为，且， 所以，解得，， 因此的取值范围为, 故答案为：. 14. 若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为___________． 【答案】， 【解析】 【分析】不等式化为，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m的范围. 【详解】可化为， 该不等式的解集中恰有3个正整数， 不等式的解集为，且； 故答案为：，． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合、，由可得出关于的等式，进而可求得实数的值； （2）求得集合，由可得出实数所满足的不等式组，进而可解得实数的取值范围. 【详解】（1），， ，且， 所以，，解得； （2），，则或. 又，所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查利用集合的运算结果求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题. 16. （1）若，求的取值范围； （2）若，，且，求的最小值 【答案】（1）；（2）6 【解析】 【分析】（1），通过和两类情况讨论即可； （2）可以化为直接利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）， 当时，，当且仅当时取等号， 的取值范围； 当时，， 当且仅当时取等号，的取值范围； 综上，M的取值范围为； （2）可以化为，容易得出， ， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为6. 17. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由如下： 方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 采用方案二，花费更少，理由略； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 18. 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）； （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）把代入，再解一元二次不等式. （2）利用一元二次型不等式恒成立，求出的范围. （3）分类求解含参的不等式即得. 【小问1详解】 当时，函数，由，得，解得， 所以的解集为. 【小问2详解】 对于任意，不等式恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 当时，不等式， 当时，解得；当时，解得或；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． （1）求集合的生成集； （2）若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； （3）若集合，的生成集为，求证． 【答案】（1） （2）或或 （3），， ， ， ，即， ，又，所以， 综上可得． 【解析】 【分析】（1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可； （3），，根据作差法得出，结合，即可证明． 【小问1详解】 由题可知： ①当时，， ②当时，， ③当，或时，， 所以． 【小问2详解】 ①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或（舍去）． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海中学2024～2025学年度第一学期高一年级数学科 第一次阶段考考试 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意率项：1.答卷前，考生务必填写答题卷上的相关信息. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效 4.请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内） 1. 已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 已知函数，则下列命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，集合，则集合M的子集的个数为（ ） A. 2 B. 8 C. 6 D. 5 4. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 5. 高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（ ） A. 3人 B. 2人 C. 1人 D. 4人 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若a>b，c>d，则ac>bd B. 若ac>bc，则a<b C. 若a>b，c>d，则a﹣c>b﹣d D. 若，则a<b 7. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，部分选对得部分分数，选错不得分） 9. 已知集合，．若，则实数m的值为（       ） A. 0 B. 1 C. -3 D. 3 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的解集为或 11. 若a，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题，则是__________． 13. 设集合，，若且，则的取值范围________. 14. 若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）若，求的取值范围； （2）若，，且，求的最小值 17. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 18. 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 19. 定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． （1）求集合的生成集； （2）若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； （3）若集合，的生成集为，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $