精品解析：浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2024—2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024学年第一学期九年级数学学科课堂作业试题卷 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 抛物线 的顶点坐标是 （ ） A. B. C. D. 2. 不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，若，，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，，是上的三点，若，则的度数是( ) A B. C. D. 5. 若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2＋4x﹣1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2 6. 如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）． A B. C. D. 8. 如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 如图所示，二次函数的图象与x轴负半轴相交于A、B两点， 是二次函数图象上一点，且为等边三角形，则a的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在“探索二次函数系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（ ） A 1 B. C. 2 D. 3 二．填空题（共6小题，每小题3分） 11. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是 __________． 12. 小明观察某个红绿灯口，发现红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，当他下次到达该路口时，遇到红灯的概率是______． 13. 如图，是的弦，半径于点C，为直径，，，则线段的长为_______． 14. 如图，桥洞的拱形是抛物线，其顶部离水面的距离为，水面宽为，以水平向右方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，当点为原点时，抛物线表达式是，若选取点为坐标原点，则抛物线的表达式为 _____． 15. 二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，那么m应满足条件 ________． 16. 如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 __________． 三．解答题（共8小题） 17. 随着课后服务的全面展开，某校组织了丰富多彩的社团活动．炯炯和露露分别打算从以下四个社团：A．足球，B．艺术，C．文学，D．棋艺中，选择一个社团参加． （1）炯炯选择足球的概率为________． （2）用画树状图或列表的方法求炯炯和露露选择同一个社团的概率． 18. 如图，已知二次函数的图象过，和三点． （1）求二次函数及直线的函数关系式． （2）直接写出不等式的解集． 19. 如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）． （1）在图1中画出格点外接圆的圆心，并保留作图痕迹． （2）在图2中找到一个格点，使得． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 综合实践 草莓种植大棚的设计 生活 背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 建立 模型 如图，已知某草莓园的种植大棚横截面由抛物线和矩形，其中点为抛物线的顶点，大棚最高处离地面，宽，．现以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 任务一 求抛物线解析式． 任务二 已知，照明灯到地面的距离均为，求灯之间的水平距离． 22. 已知，在和中，，，． （1）如图，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系 ； （2）如图，将绕点旋转，当点落在边上时，求证：； （3）当点共线时，请直接写出线段的长． 23. 已知二次函数． （1）当该抛物线过点． ①求该抛物线的解析式； ②当时，求y的范围． （2）若函数图象上有两个不同的点，，且．求证：． 24. 已知，四边形内接于，延长交于点P，且． （1）若， ①求证：． ②当时，求的度数（用含n的代数式表示）． （2）若，的半径为3，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期九年级数学学科课堂作业试题卷 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 抛物线 的顶点坐标是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据的顶点为直接求解即可得到答案； 【详解】解：抛物线的顶点为：， 故选：B． 2. 不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用白球的个数除以球的总数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，它是白球的概率是， 故选：C． 3. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，若，，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质．根据题意，易得，利用平角的定义求出，即可．掌握旋转角是对应点与旋转中心所形成的夹角，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点恰好落在的延长线上， ∴， 即：旋转角为； 故选：D． 4. 如图，点，，是上的三点，若，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．根据圆周角定理即可得出，进而根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 根据题意可知． ∵ ∴ 故选：A． 5. 若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2＋4x﹣1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出自变量为-4，-3和1所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵当x=-4时，y1=x2+4x-1=16-16-1=-1； 当x=-3时，y2=x2+4x-1=9-12-1=-4； 当x=1时，y3=x2+4x-1=1+4-1=4； ∴y2＜y1＜y3， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 6. 如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，然后利用勾股定理求出，最终可求得的长，根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， 则种植区的最大深度为9 故选：． 7. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律“上加下减，左加右减”成为解题的关键． 直接运用平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是． 故选D． 8. 如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】三个正方形的共用顶点即为圆的圆心，也是等边三角形的重心；可设等边三角形的边长为2x，作等边三角形的高，再根据三角形重心的性质即可得到正方形的对角线的长；进而可求得等边三角形和正方形的面积，即可得到它们的面积比． 【详解】解：如图，设圆的圆心为O，过A作AD⊥BC于于D，则AD必过点O，且AO=2OD； △ABC的边长为2x，则BD=x，，， ∴正方形边长为，面积为，三个正方形的面积和为， △ABC的面积为， ∴等边三角形与三个正方形的面积和的比值为． 故选A． 【点睛】本题考查的是等边三角形及正方形的性质、三角形重心的性质找到等边三角形和正方形边长的比例关系是解答本题的关键． 9. 如图所示，二次函数的图象与x轴负半轴相交于A、B两点， 是二次函数图象上一点，且为等边三角形，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形、二次函数的图像和性质，解题的关键是利用数形结合思想，及等边三角形的性质确定二次函数的顶点，建立等式． 先根据等边三角形的性质求出的值，并确定Q为二次函数的顶点，再结合求出，得出Q，A，B的坐标，再将Q，A，B代入解析式得方程组，计算即可求出a的值． 【详解】解：过点Q作，垂足为D， ∵为等边三角形， ∴，，， ∴Q为二次函数的顶点， ∵， ∴， ∴， ， ， 将Q，A，B代入解析式得 解得： 故选：B． 10. 在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式及求函数值等知识；数形结合是解题的关键．首先确定抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，只有经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大，然后用待定系数法求出函数解析式，求出当时的函数值即可． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点， ∴抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图，经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大， 把代入，得， 解得， ∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为， 当时，， 故的最大值等于2， 二．填空题（共6小题，每小题3分） 11. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．对于二次函数，令，解得，即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，则有， 所以，该函数图象与轴的交点坐标为． 故答案为：． 12. 小明观察某个红绿灯口，发现红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，当他下次到达该路口时，遇到红灯的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键． 【详解】解：∵红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒， ∴遇到红灯的概率是， 故答案为：． 13. 如图，是的弦，半径于点C，为直径，，，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定与性质、垂径定理的应用，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，先根据勾股定理列式计算，得出半径，根据分别是，的中点，得出，即可利用勾股定理作答． 【详解】解：连接，如图 ∵是的弦，半径于点， ∴ 中， 解得 ∵分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵为直径 ∴ 在， 故答案为：． 14. 如图，桥洞的拱形是抛物线，其顶部离水面的距离为，水面宽为，以水平向右方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，当点为原点时，抛物线表达式是，若选取点为坐标原点，则抛物线的表达式为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出点的坐标，根据函数的顶点式即可求解． 【详解】解：当点为原点时，，解得， ∴， 当选取点为坐标原点时，顶点坐标为，此时值不变， 抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，掌握函数的顶点式是解题的关键． 15. 二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，那么m应满足条件 ________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与坐标轴有两个公共点， ∴①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解； ①当二次函数的图象与轴有1个公共点时， ， 解得； ②当二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点时， 则， 解得：， 综上所述，m的值为或3， 故答案为：或3． 16. 如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 __________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据弧与圆周角关系可得，再由点E恰好是翻折后的的中点，得到，则，如图所示，连接，在上截取，连接，则，证明都是等腰直角三角形，得到，设，则，则，据此可得． 【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是， ∴， ∵点E恰好是翻折后的的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图所示，连接，在上截取，连接， ∴， ∵的度数为， ∴ ∴， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，折叠的性质，等边对等角，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，证明是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17. 随着课后服务的全面展开，某校组织了丰富多彩的社团活动．炯炯和露露分别打算从以下四个社团：A．足球，B．艺术，C．文学，D．棋艺中，选择一个社团参加． （1）炯炯选择足球的概率为________． （2）用画树状图或列表的方法求炯炯和露露选择同一个社团的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题的关键是根据题意画出树状图或列表，再由概率公式求解． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中炯炯和露露选同一个社团的有4种结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共有四个社团：足球，艺术，文学，棋艺中，足球是其中一个社团， 炯炯选择足球的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中炯炯和露露选择同一个社团的结果有4种， ∴炯炯和露露选择同一个社团的概率为． 18. 如图，已知二次函数的图象过，和三点． （1）求二次函数及直线的函数关系式． （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）图象法，找到抛物线在直线下方时，自变量的取值范围即可． 利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 小问1详解】 解：∵抛物线过，和三点， ∴设抛物线的解析式为：，把，代入，得：， 解得：， ∴； 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴． 【小问2详解】 由图象可知：的解集为：或． 19. 如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）． （1）在图1中画出格点外接圆的圆心，并保留作图痕迹． （2）在图2中找到一个格点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图、三角形的外接圆与外心、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为外接圆的圆心； （2）由图可得，取格点，使，且，则，即． 【小问1详解】 如图1，点即为所求； 【小问2详解】 如图2，点即为所求． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、圆周角的性质及圆内接四边形的性质，勾股定理； （1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 证明：，， 四边形内接于， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， 设， ， ， 解得： ． 21. 综合实践 草莓种植大棚的设计 生活 背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 建立 模型 如图，已知某草莓园的种植大棚横截面由抛物线和矩形，其中点为抛物线的顶点，大棚最高处离地面，宽，．现以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 任务一 求抛物线的解析式． 任务二 已知，照明灯到地面的距离均为，求灯之间的水平距离． 【答案】任务一：；任务二：． 【解析】 【分析】任务一：由题意得抛物线的顶点为，然后利用待定系数法求解即可； 任务二：当时，即，解方程求出的值，求出的横坐标即可； 本题考查了二次函数的应用，读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． 【详解】解：任务一：由题意得抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 又∵抛物线过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 任务二：当时，即， 解得：， ∴的横坐标分别为，， ∴， 答：两灯间的水平距离为． 22. 已知，在和中，，，． （1）如图，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系 ； （2）如图，将绕点旋转，当点落在边上时，求证：； （3）当点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（）利用证明，，，再根据三角形外角的性质可证； （）连接，证明可得，，进而可得，再由勾股定理即可求证； （）分两种情况画出图形，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理解答即可求解． 小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， 如图，设交于点，交于点， ∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分两种情况： ①如图，过作于点，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，同理可得，， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 已知二次函数． （1）当该抛物线过点． ①求该抛物线的解析式； ②当时，求y的范围． （2）若函数图象上有两个不同的点，，且．求证：． 【答案】（1）①；② （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，二次函数与一元二次方程，本题解题关键在于准确理解题意、灵活运用二次函数的性质、学会代数运算能力和逻辑推理能力，以及综合分析能力。 （1）直接将点代入求解即可； （2）首先把抛物线的解析式转化为了顶点式，然后根据抛物线的开口方向、顶点坐标以及给定的x的取值范围，求出了y的取值范围， （3）把，代入抛物线表示出，再根据，可得，再根据图象，即可得出结论。 【小问1详解】 ①解：将代入二次函数的解析式， ∴． ∴． ∴二次函数的解析式． ②解：抛物线顶点式为， 抛物线开口向上，顶点为， 当时，；当时，。 因此，在区间时，y的取值范围为。 【小问2详解】 证明：∵点，，是函数图象上两点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A，B是图象上不同两点， ∴， ∴． 24. 已知，四边形内接于，延长交于点P，且． （1）若， ①求证：． ②当时，求的度数（用含n的代数式表示）． （2）若，的半径为3，求的最大值． 【答案】（1）①见解析；② （2）104 【解析】 【分析】（1）①根据等腰三角形性质证，在用等弧所对圆周角相等证明，即可得证； ②由①的结论可以求得，，利用三角形外角定理可证，根据等腰三角形可求得； （2）过A点作的垂线构建直角三角形，根据勾股定理求得，在中根据勾股定理即可得，圆上两点间的线段直径最大，即可求解． 【小问1详解】 ①证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 解：②∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴； 【小问2详解】 解：过点A作于点E，如图，设， ∵， ∴， 由勾股定理得： ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∵直径是圆中最长的弦， ∴当为直径时，取最大值， ∵的半径为3， ∴当时，的最大值为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角性质、勾股定理、圆周角的定理等．当圆中出现同弧或等弧时，常常利用弧所对的圆周角或圆心角，通过相等的弧把角联系起来．利用勾股定理首先要找到或构建直角三角形是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$