精品解析：安徽省滁州市天长市实验中学教育集团10月2024-2025学年上学期10月月考九年级数学试题

2024秋季天长市实验中学教育集团 九年级数学第一次质量检测 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 观察下列每组图形，是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】A．两图形形状相同，是相似图形，故A正确； B．两图形形状不同，不是相似图形，故B错误； C．两图形形状不同，不是相似图形，故C错误； D．两图形形状不同，不是相似图形，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握形状相同的两个图形为相似图形，是解题的关键． 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，即反比例函数中，为定值依此判断即可． 【详解】解：反比例函数中，， A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、， ∴，，，不成比例线段，故选项不符合题意； B、， ∴，，，成比例线段，故选项符合题意； C、， ∴，，，不成比例线段，故选项不符合题意； D、 ∴，，，不成比例线段，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了顶点式 顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标，然后根据坐标特点即可判断，熟练掌握顶点式的性质，正确理解平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴顶点在第四象限， 故选：． 5. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴＝，BD≠BC， ∴≠，选项A不正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，EF=BD，＝， ∵≠， ∴≠，选项B不正确； ∵EF∥AB， ∴＝，选项C正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，=，CE≠AE， ∴≠，选项D不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关键． 6. 已知二次函数 （为常数，且 ）的图象上有三点，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用二次函数增减性比较函数值大小，涉及二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键．求出抛物线的对称轴为直线，得到关于对称的对称点为，再由二次函数 ，开口向下确定，当时，随的增大而减小，即可得到答案， 【详解】解：二次函数 （为常数，且 ）的对称轴为， 点的对称点为． ， 抛物线开口向下． 当时，随的增大而减小． ， ． 故选：B． 7. 菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y与x的图象大致（）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的面积公式，得出x、y的函数关系，再根据x的取值范围选出答案． 【详解】∵菱形的面积S= ∴，即y= 其中，x＞0 故选：C 【点睛】本题考查菱形面积公式的应用，注意在求解出x、y的关系后，还需要判断x的取值范围． 8. 如图，用总长度为的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与平行，则矩形框架的最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值是解题的关键．用含的代数式表示横档的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积． 【详解】解： 为米，则， ， 当 时，取得最大值4； 长方形框架的面积最大为． 故选：A 9. 如图，在中，D是的中点，点F在 上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【详解】解：过点D作，交于H， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 已知抛物线（a、b、c是常数， ）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当 时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点公式可得 ，结合 ，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， 即 ， ， ， 的值可正也可负， 不能确定 的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当 时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将 向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是46厘米，那么、两地的实际距离是_________千米． 【答案】 【解析】 【分析】根据成比例的线段，列出比例式，代入数据可直接得出实际距离． 【详解】解：根据题意，设实际距离为，, ∴ 解得：厘米千米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换． 12. 已知二次函数的图象和x轴有交点，则m的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】运用二次函数的定义及的取值特点列出不等式，解之即可． 【详解】解：二次函数的图象和轴有交点， ； ，又因为二次项系数； 且． 故答案为：且． 【点睛】此题考查了二次函数的定义与轴交点的判定，解题的关键是掌握抛物线与x轴的交点和判别式之间的关系． 13. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________秒才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式即可求解． 【详解】解：无人机着陆后滑行的距离指的是最大距离， ∴， ∴当时，无人机着陆后滑行的最大距离为米停下， 故答案为：  ． 14. “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以 为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点． （1）若，则点的坐标为________． （2）若点的坐标为，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）证明四边形是正方形，由是的中点，可得 ，，则，由，，可得，由 ，可得 ，同理，则，设，则，计算求出满足要求的解，进而可得结果； （2）由（1）可知，，则，可求，即，，． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∴ ，， ∴四边形是正方形， ∵是的中点， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵点是反比例函数（）图象上， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，， ∵坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点是反比例函数（）图象上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式等知识．熟练掌握全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知实数x，y，z满足，试求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，然后把所求式子中的x、y、z分别用含k的式子替换，最后约分即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∴ ． 16. 如图，抛物线 交轴于，两点，顶点为，求的面积． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是求解二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数的性质，求出点、、的坐标是解本题的关键． 先求出点、、的坐标，得出，即可求解； 【详解】解：把代入 得：， ， ， 把代入 得：， 解得：， ， ， ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100km/h时，行驶时间为1.5h；设小汽车匀速行驶的速度为v km/h，行驶的时间为t h． （1）求v关于t的函数表达式； （2）若小汽车匀速行驶的速度为60km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？ 【答案】（1） （2）小汽车速度为60km/h时，从乙地到甲地需要2.5h 【解析】 【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）把 代入（1）中的函数关系式中求值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 所以v与t的关系式为：； 【小问2详解】 解：当时，． 答：小汽车速度为60km/h时，从乙地到甲地需要2.5h． 【点睛】本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题的关键是根据时间、速度和路程的关系求解． 18. 二次函数的图象顶点坐标为，且过． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，求函数值的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数图象的增减性是解题的关键． （1）由抛物线顶点式表达式得：，将点代入上式即可求解； （2）根据的取值范围和函数图象增减性即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴设抛物线顶点式为：， ∵二次函数的图象过， 代入抛物线解析式得：， 解得：， 故二次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵，其中，对称轴为直线， ∴在对称轴直线左侧随的增大而减小，在对称轴直线右侧随的增大而增大， 又∵到直线的距离大于 到直线的距离，且当时，，当时， ， ∴当时，函数值的取值范围是． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交于点G，已知，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理先得到，进而得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） ， （2）当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利润为 ，则，转化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得：代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为 ， 当时，，解得：， ∴自变量的取值范围为：． 【小问2详解】 解：设利润为 ， 则， ∴当时，， 答：当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元． 六、（本题满分12分） 21. 已知线段 ，点是线段的黄金分割点（ ）， （1）求线段的长； （2）以为三角形的一边作 ，使得，连接 ，若 平分，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据黄金分割点的定义得出； （2）根据角平分线的性质得出P到、的距离相等，可得出，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点是线段的黄金分割点（ ）， ∴； 【小问2详解】 解：∵ 平分， ∴P到、的距离相等， ∴， 又由（1）， ∵ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查黄金分割点的定义，角平分线的性质等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用． 七、（本题满分12分） 22. 如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）设为线段上的一个动点（不与 重合），过点作 轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值． 【答案】（1）， （2）或 （3），4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式； （2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答． （3）根据题意，设，表示出即可求解． 【小问1详解】 ∵在反比例函数的图象上 ∴ ∴反比例函数的解析式为 ∵在反比例函数的图象上 ∴，解得： ∴ ∵在一次函数 的图象上 ∴，解得 ∴一次函数的解析式为 ； 【小问2详解】 根据图象可得不等式的解集为：或 ； 【小问3详解】 由（1）可知，， 设，则， ∴ ∴ ∴当 时，的面积最大为4， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“”形尺按图1摆放，水平宽的中点为，图象的顶点为，测得为厘米时，为厘米． 【猜想】 （1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得与的部分数据如表： … … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点．猜想：与的关系式是_______________； 【验证】 （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的与也存在类似的关系式，并针对二次函数 （）的情况进行了推理验证．请你补全下表中两种方法的推理过程； 方法1 方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点移到原点 的位置，则： ， ，，所以点的坐标为________；将点的坐标代入，得到与的关系式是_______________． 如图4，顶点的横坐标加个单位，纵坐标加个单位得到点的坐标，所以点的坐标为________； 将点的坐标代入 ，得到与的关系式是_______________． 【应用】 （3）已知轴且 ，两个二次函数 和 （）的图象都经过，两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求的值． 【答案】 （1）绘制函数图象如下： ； （2）方法1：，； 方法2：，；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握描点法画二次函数图象，二次函数图象和性质，二次函数的平移，是解本题的关键． （1）用描点连线法画函数图象，代入即得； （2）方法一，点，代入即得；：方法二，点代入 即得； （3）第一个二次函数：，可得，顶点距为8．根据两个二次函数图象的顶点的距离为10，第二个二次函数的图象，顶点在之上2，得 ，不合；故顶点在之下，到线段的距离18，得． 【详解】解：（1）以表中各组对应值为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，连线：用光滑的曲线顺次连接各点． 由题意得，点， 将点的坐标代入函数表达式得：； 故答案为：； （2）方案1：点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 故答案为：，； 方案2：点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 故答案为：，； （3）对于第一个二次函数：， 由， 得 ， 即该二次函数图象的顶点距的距离为8． 由题，两个二次函数图象的顶点的距离为10， 则对于第二个二次函数的图象， 其顶点在之上到的距离为2， 此时 ， 不符合题意； 故其顶点在之下，距线段的距离为 ， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024秋季天长市实验中学教育集团 九年级数学第一次质量检测 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 观察下列每组图形，是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 6. 已知二次函数 （为常数，且 ）的图象上有三点，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y与x的图象大致（）． A. B. C. D. 8. 如图，用总长度为的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与平行，则矩形框架的最大面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10. 已知抛物线（a、b、c是常数， ）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当 时， 随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是46厘米，那么、两地的实际距离是_________千米． 12. 已知二次函数的图象和x轴有交点，则m的取值范围是______． 13. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________秒才能停下来． 14. “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以 为原点的平面直角坐标系中，，分别是， 轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点． （1）若，则点的坐标为________． （2）若点的坐标为，则________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知实数x，y，z满足，试求的值． 16. 如图，抛物线 交轴于，两点，顶点为，求的面积． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100km/h时，行驶时间为1.5h；设小汽车匀速行驶的速度为v km/h，行驶的时间为t h． （1）求v关于t的函数表达式； （2）若小汽车匀速行驶的速度为60km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？ 18. 二次函数的图象顶点坐标为，且过． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，求函数值 的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交于点G，已知，，求的长． 20. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少? 六、（本题满分12分） 21. 已知线段 ，点是线段的黄金分割点（ ）， （1）求线段的长； （2）以为三角形的一边作 ，使得，连接 ，若 平分，求的长． 七、（本题满分12分） 22. 如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于两点，与 轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）设为线段上的一个动点（不与 重合），过点作 轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值． 八、（本题满分14分） 23. 在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“”形尺按图1摆放，水平宽的中点为，图象的顶点为，测得为厘米时，为厘米． 【猜想】 （1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得与的部分数据如表： … … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点．猜想：与的关系式是_______________； 【验证】 （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的与也存在类似的关系式，并针对二次函数 （）的情况进行了推理验证．请你补全下表中两种方法的推理过程； 方法1 方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点移到原点 的位置，则： ， ，，所以点的坐标为________；将点的坐标代入，得到与的关系式是_______________． 如图4，顶点的横坐标加个单位，纵坐标加个单位得到点的坐标，所以点的坐标为________； 将点的坐标代入 ，得到与的关系式是_______________． 【应用】 （3）已知轴且，两个二次函数 和 （）的图象都经过，两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $