精品解析：广东省东莞市虎门外语学校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

虎门外语学校2024-2025学年度第一学期10月月考 高一数学试题 说明：全卷满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则集合A的真子集个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 3. 已知， 则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 5. 设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ） A. B. 或 C. D. 6. 设，为实数，甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）已知集合，则有（ ）. A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 11. 定义，则下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意的且 C. 若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 D. 若存在，使不等式成立，则实数的取值范围 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，则______. 13. 已知集合．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________． 14. 已知正数满足，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤） 15. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 16. 解关于x的不等式． （1）（）； （2）． 17. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 18. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； （3）若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虎门外语学校2024-2025学年度第一学期10月月考 高一数学试题 说明：全卷满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合韦恩图，根据集合的运算和表示法即可求解. 【详解】由题可知阴影部分表示的集合为：且，即. 故选：A. 2. 设集合，则集合A的真子集个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由题意列举出集合中的元素，再用真子集个数公式（为集合中元素个数）计算即可． 【详解】因为， 所以， 所以集合A的真子集个数是， 故选：B． 3. 已知， 则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的取值范围，求出的取值范围. 【详解】由题意得，所以． 故选：B. 4. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”. 故选：C. 5. 设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可. 【详解】有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件. 故选:D. 6. 设，为实数，甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】因为，推不出， 而， 所以甲是乙的必要不充分条件， 故选：B 7. 已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围. 【详解】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 8. 一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）已知集合，则有（ ）. A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接根据元素与集合、集合与集合之间的关系、子集的概念逐一判断每一选项即可. 【详解】对于A，由于空集是任何集合的子集，所以有，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，集合与集合之间的关系不能用“属于”符号来连接，故C错误；对于D，因为且，即且，所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确； 【详解】对于A，设，则，故A错误； 对于B，由不等式的性质可得，若，则，故B正确； 对于C，， 因为且，所以，所以，且， 所以，所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 11. 定义，则下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意的且 C. 若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 D. 若存在，使不等式成立，则实数的取值范围 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义计算判断A,B,先根据新定义计算不等式恒成立得出不等式即可判断C,先化简得出成立，结合基本不等式计算判断D. 【详解】对于A，，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，恒成立， 即a）恒成立，则，解得，故C错误； 对于D，由题可知存在，使得成立， 即成立，又，得的取值范围是，故D正确. 故选:ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集的意义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 已知集合．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________． 【答案】． 【解析】 【分析】化简集合，由条件可得，根据集合间的关系列不等式可求的取值范围. 【详解】不等式的解集为或， 所以或， 因为是的必要不充分条件， 所以， 所以或或， 所以或或， 所以或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知正数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得出，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意得，则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤） 15. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2）. （3）或. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用求解二次不等式的方法和求解分式不等式的方法求解即可. 【小问1详解】 由题设，解集为； 【小问2详解】 由，所以解集为. 【小问3详解】 由， 所以，解得：或. 16. 解关于x的不等式． （1）（）； （2）． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据两种情况，进行求解； （2）分，，，和，分类讨论，求出不等式的解集. 【小问1详解】 ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； 【小问2详解】 若，原不等式等价于，解得． 若，原不等式等价于， 解得或． 若，原不等式等价于， ①当时，，无解； ②当时，，解得， ③当时，，解得， 综上所述，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 17. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】（1）7； （2）①36；②. 【解析】 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题. 当且仅当，即时取等号； 【小问2详解】 ①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 18. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） （3） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； （3）将原式化为，分，，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可得到结果． 【小问1详解】 由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. 【小问2详解】 由对一切实数恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当时，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； （3）若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 【答案】（1）函数是函数在上的“L函数”，理由：对任意的，且， . 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”； （2） （3）证明：对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以. 此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 【解析】 【分析】（1）根据“L函数”定义判断即可； （2）根据数是函数在上的“L函数”得到对任意的恒成立，据此计算的取值范围即可； （3）对分和两种情况，根据“L函数”定义证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题关键在于对“L函数”定义的正确理解，据此计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $