精品解析：江苏省南通市海门区多校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024—2025学年度第一学期九月限时训练 九年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 二次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 3. 将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 5. 如图中，， ，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，则的长为( ) A. 2 B. 3 C. D. 2 6. 如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 36° 7. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象的对称轴为．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③；④；⑤若，是方程的两根，则方程的两根m，满足；其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共8小题，满分30分） 11. 如图所示的风车，绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角至少为____． 12. 已知二次函数，当时，y随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）． 13. 已知分别是一元二次方程的两个实数根，则________，_______________． 14. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 15. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 16. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______________． 17. 已知二次函数中，当时，的最小值是______． 18. 已知二次函数的图象上有两个点，若，则的取值范围是______． 三、解答题（共8小题，满分90分） 19. 解下列一元二次方程 （1） （2） 20. 作图题 （1）若将向右平移个单位长度得到，请在图上标出； （2）若将绕点逆时针旋转得到，请在图上标出； （3）通过旋转可以使其与重合，请用尺规作图确定旋转中心M（保留作图痕迹），并标出M点； 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 22. 二次函数（、为实数）的图象经过点，点． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标． （2）当时，求该二次函数的最大值与最小值． 23. 如图，在正方形中，F是延长线上一点，且可旋转得到． （1）旋转中心为： ．旋转方向为： ；旋转角度为： ． （2）求证：是等腰直角三角形 24. 已知关于x的二次函数， （1）若二次函数的图象与x轴没有交点，求k的取值范围； （2）若和是抛物线上两点，且，求实数m的取值范围； （3）若和是抛物线上两点，试比较b和s的大小． 25. 顺风经销商为某工厂代销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销量是45吨，该经销商为了提高利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销量就会增加吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元．设每吨材料售价为（元），该经销商的月利润为（元）． （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销量； （2）求出与的二次函数关系式（不要求写出的取值范围）； （3）请将（2）中函数关系式配方成的形式，并写出当降价多少元时可使经销商获得最大利润，最大利润为多少元？ 26. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点 （1）求m的值及C点坐标； （2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由 （3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标(直接写出答案)； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期九月限时训练 九年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 二次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质．求出抛物线的图象和轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：， 即抛物线的顶点坐标是，在第二象限； 当时，， 解得：，， 即抛物线与轴的交点坐标是和，在轴的负半轴上，在原点， ， ∴抛物线的图象的开口向下， 即抛物线的图象过第二、三、四象限，不过第一象限． 故选：A． 2. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴；   故选：B ． 3. 将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查的是二次函数图象的平移．根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移2个单位， 则新抛物线的解析式为：， 故选：C． 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解，解题关键是熟练掌握二次函数图象与性质． 【详解】、的对称轴为轴，此选项说法错误，不符合题意； 、的顶点坐标为，此选项说法正确，符合题意； 、中，开口向下，则函数有最大值，此选项说法错误，不符合题意； 、中，开口向下，则函数有最大值，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 5. 如图中，， ，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，则的长为( ) A. 2 B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和勾股定理；先根据勾股定理求出，再根据旋转的性质可得，，从而求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中， ∵， ∴． ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，． ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选C． 6. 如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 36° 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与平行线的性质，三角形内角和定理．首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，，然后利用已知条件可以求出，然后利用三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转到，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 故选：B． 7. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为直线，开口向下， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 8. 二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质．根据二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，即可得到答案． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数的顶点坐标为， 二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反， 得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 9. 已知二次函数的图象的对称轴为．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称轴求出的值，然后求与在的范围内有交点问题，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解即可． 【详解】∵对称轴为直线，解得， ∴二次函数解析式为， ∵，，对称轴为 ∴抛物线开口向下， ∴当时， 当时，；当时，， ∴ ∴在时，， 则的解相当于与直线的交点， ∴， ∴． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③；④；⑤若，是方程的两根，则方程的两根m，满足；其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与轴的交点坐标与方程的解之间的关系，解题的关键是熟知函数的图象与系数的关系． ①由开口向下得到，由对称轴在轴右侧得到，由函数图象与轴的交点在轴的正半轴上得到，进而得到的正负情况； ②由函数图象可知当时，，进而可得当时，，然后问题可求解； ③由对称轴为得到，然后由当时，得到的正负； ④当时，，得到，当时，，得到，则，即，即可得到结论； ⑤由方程的根得到函数与轴的交点横坐标分别为，，进而由方程的两根为，即为函数与直线的交点横坐标，得到与、与之间的关系． 【详解】解：①开口向下，对称轴在轴右侧，函数图象与轴的交点在轴的正半轴上， ，，， ，故①错误，不符合题意； ②由图象可知：当时，， ∴当时，，即，故②正确，符合题意； ③对称轴为直线， ， ， 当时，， ，故③正确，符合题意； ④当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴．故④正确，符合题意． ⑤，是方程的两根， 与轴的两个交点的横坐标为，， 方程的两根为，， 函数与直线的交点的横坐标为，， 函数图象开口向下， ，， ，故⑤正确，符合题意， 正确的有②③④⑤个数有4个， 故选C 二、填空题（共8小题，满分30分） 11. 如图所示的风车，绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角至少为____． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【详解】风车绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角至少为， 故答案为：． 12. 已知二次函数，当时，y随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴两个因素决定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴，即可得出答案。 【详解】解：∵二次函数， ， ∴二次函数的图象开口向上， 且对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 故答案为：增大． 13. 已知分别是一元二次方程的两个实数根，则________，_______________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：分别是一元二次方程的两个实数根， ，， 故答案为：1，． 14. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【答案】11 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 15. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 【答案】10 【解析】 【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求． 【详解】在函数式中，令，得 ，解得，（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m． 故答案为10． 【点睛】本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当时，x的正值代表的是铅球最终离原点的距离． 16. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴交点问题；二次函数中，当时，，即所求解为二次函数中时所对应的的解． 【详解】观察图象可知，对称轴为直线，一个交点为， 则另一个交点坐标为 ∴一元二次方程的解是， 故答案为：，． 17. 已知二次函数中，当时，的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解，明确题意，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数， ∵， ∴当时，随的增大而减小， 则当时，时，有最小值，为， 故答案为：． 18. 已知二次函数的图象上有两个点，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，由，，可知分①当时，，此时，计算求解即可；②当时，此时；然后进行作答即可． 【详解】解：， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵，， ∴①当，即时， 当时，， 解得； ②当时，； 综上所述，的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分90分） 19. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ， ， 或， ，； 【小问2详解】 ； ， 或， ，． 20. 作图题 （1）若将向右平移个单位长度得到，请在图上标出； （2）若将绕点逆时针旋转得到，请在图上标出； （3）通过旋转可以使其与重合，请用尺规作图确定旋转中心M（保留作图痕迹），并标出M点； 【答案】（1） 如图所示，即为所求；   （2） 如图所示，即为所求；   （3） 如图所示，点即为所求 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质分别找到、、，连接，，即可得到答案； （2）根据旋转的性质分别找到、、，连接 ，， 即可得到答案； （3）连接，根据网格的特点找到的垂直平分线的交点，即为所求； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查平移，旋转及尺规作图作角平分线，解题的关键是掌握平移的性质、旋转的性质找到相应点． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：由题意,得 ， ∵无论k为何实数，， ∴， ∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，代入求出k的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由一元二次方程根与系数的关系得:，， ∵， ∴，即， 解得． 22. 二次函数（、为实数）的图象经过点，点． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标． （2）当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【答案】（1）该二次函数的解析式，顶点坐标为； （2）该二次函数的最大值为5，该二次函数的最小值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，利用二次函数图象上点的坐标特征，确定二次函数的极值和函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）根据的取值范围可知抛物线的顶点二次函数可取得最大值，再由二次函数的对称性和图象，即可得出找到最小值． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，， ，解得， 该二次函数的解析式， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：的顶点坐标为， 当时，函数的最大值为5， 根据二次函数的对称性，由图象可知： 当时，函数有最小值，最小值． 23. 如图，在正方形中，F是延长线上一点，且可旋转得到． （1）旋转中心为： ．旋转方向为： ；旋转角度为： ． （2）求证：是等腰直角三角形 【答案】（1）；逆时针旋转； （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ， ， 故是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用； （1）由题意可得：可以由绕着点，逆时针旋转得到； （2）由在正方形中，、分别是和的延长线上的点，且，利用，证得：，即可求解； 【小问1详解】 由题意可得：可以由绕着点，逆时针旋转得到； 故答案为：；逆时针旋转；； 【小问2详解】 略 24. 已知关于x的二次函数， （1）若二次函数的图象与x轴没有交点，求k的取值范围； （2）若和是抛物线上两点，且，求实数m的取值范围； （3）若和是抛物线上两点，试比较b和s的大小． 【答案】（1）k的取值范围为；（2）实数m的取值范围为；（3）当 时，b>s；当c=时，b=s；当c<时，b<s． 【解析】 【分析】（1）△≥0，且k＞0，即可求解； （2）抛物线的对称轴为直线，当n= q时，根据函数的对称性，则m=5，即可求解； （3）把B(c+1，b)和C(c，s)代入解析式，由b-s=2k(2c-1)，然后讨论即可． 【详解】解：（1），，， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴k的取值范围为； （2）∵抛物线的对称轴为， 当n= q时，根据函数的对称性，则m=， 又， ∴实数m的取值范围为； （3）∵B(c+1，b)和C(c，s)是抛物线上两点， ∴b=2k(c+1)2−4k(c+1)+k+1 =2kc2+4kc+2k-4kc-4k+k+1 =2kc2-k+1， s=2kc2−4kc+k+1， ∴b-s=4kc-2k=2k(2c-1)， 当2c-1>0即c>时，b>s； 当2c-1=0即c=时，b=s； 当2c-1<0即c<时，b<s． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 顺风经销商为某工厂代销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销量是45吨，该经销商为了提高利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销量就会增加吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元．设每吨材料售价为（元），该经销商的月利润为（元）． （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销量； （2）求出与的二次函数关系式（不要求写出的取值范围）； （3）请将（2）中函数关系式配方成的形式，并写出当降价多少元时可使经销商获得最大利润，最大利润为多少元？ 【答案】（1）当每吨售价是240元时，此时的月销售量吨； （2） （3）当降价元时可使经销商获得最大利润，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用.此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题. （1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加吨，列式计算解题. （2）月利润每吨售价每吨其它费用销售量，从而可得出与的函数关系式； （3）根据（2）的关系式，利用配方法可求出售价，据此求解即可. 【小问1详解】 解：由题意得：(吨)， ∴当每吨售价是240元时，此时的月销售量吨； 【小问2详解】 解：由题意： ； 【小问3详解】 解：， 当时，y有最大值9075； 此时降价：（元）， ∴当降价元时可使经销商获得最大利润，最大利润为元． 26. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点 （1）求m的值及C点坐标； （2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由 （3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标(直接写出答案)； 【答案】(1) (2) 存在, (3)点坐标为()或() 【解析】 【分析】将点坐标代入得到的值，再令得到点坐标； 点在直线上方的抛物线上，要使面积最大，则点的位置应在抛物线上且离直线的距离最远处，把直线向上平移和抛物线只有一个公共点时，此时的交点即为点的位置，然后根据二次函数的性质，求出值和点坐标. 连接交于点，根据菱形的性质得到几何关系，用中点坐标公式和系数与直线位置的特殊关系，确定点坐标并求出直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线解析式，即可求出点坐标. 【详解】解： 将点的坐标代入二次函数，即，解得，故二次函数解析式为，令，解得，故点坐标为; (2)存在， 理由：， 直线的解析式为， 当直线向上平移单位后和抛物线只有一个公共点时，面积最大， 整理得： ， 如图2、图3所示，连接交于点． 因为四边形是菱形，所以为的中点， 因为点的坐标分别为、，所以由中点坐标公式得点坐标为， 由(2)可知直线的解析式为， 由于，所以设直线的解析式为， 将代入，求得直线的解析式为， 将直线的解析式与抛物线解析式联立得： ，消去得：， 解得：， 将代入直线的解析式得， 将代入直线的解析式得， 故当四边形为菱形时，点坐标为()或(). 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值的确定和菱形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $