精品解析：广东省佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年上九年级数学第一次学情评估试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. x 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 有一个角是的菱形是正方形 B. 平行四边形的对角相等 C. 平行四边形的对角线相等 D. 矩形的对角线相等且互相平分 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，矩形中，，E是的中点，，则长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 乌鲁木齐市林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 2 C. D. 5 8. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 某校图书馆四月份借出图书300本，统计员在统计数据时，发现四月份后图书馆借出的图书每个月都在增加，且四、五、六月份共借出图书1092本．设五、六月份借出的图书每个月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ 　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（ ） A. 34 B. 89 C. 74 D. 109 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的解为_____． 12. 线段a、b、c、d是成比例线段，cm，cm，cm，则d的长为 _____cm． 13. 如图，在矩形中，，点E为上一点，将沿折叠得到，使边落在矩形对角线上，若，则_________ ． 14. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，，是“递减数”；又如：四位数5324，，不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为________． 15. 若关于x的方程的两根满足（a，m，b均为常数，），则关于x的方程的两根满足的取值范围分别是 _________ ，_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程：． 17. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 20. 为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： ．甲、乙两班五个单项得分折线图： ．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分； （2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”） （3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率 21. 如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，试探究与的数量关系，并说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米. （1）花圃的面积为 （用含a的式子表示）； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元 23. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上九年级数学第一次学情评估试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．利用比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由可得，不合题意； B、由可得，不合题意； C、由可得，符合题意； D、由可得，不合题意； 故选：C． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. x 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程叫作一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：由一元二次方程的定义可知，“□”可以是， 故选：A． 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 有一个角是的菱形是正方形 B. 平行四边形的对角相等 C. 平行四边形的对角线相等 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质及特殊平行四边形的性质及判定，熟练掌握相关图形的性质及判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定以及正方形的判定定理进行分析判断． 【详解】解：A、有一个角是的菱形是正方形，故本选项的说法正确，不符合题意； B、平行四边形的对角相等，故本选项的说法正确，不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分，故本选项的说法错误，符合题意； D、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项的说法正确，不符合题意； 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 5. 如图，矩形中，，E是的中点，，则长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 6. 乌鲁木齐市林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，折线统计图．大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图找到频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，随着移植数量的增加，成活的频率逐步稳定在附近， ∴可估计这种树苗移植成活的概率约是， 故选：B． 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ， 五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ， ， 解得， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键． 8. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） ∵共有12种等可能的情况，其中至少有一幅是中国数学家的有10种结果， ∴其中至少有一幅是中国数学家的概率为， 故选：B． 9. 某校图书馆四月份借出图书300本，统计员在统计数据时，发现四月份后图书馆借出的图书每个月都在增加，且四、五、六月份共借出图书1092本．设五、六月份借出的图书每个月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求得五、六月借出的图书本书，再列一元二次方程方程即可． 【详解】解：设五、六月份借出的图书每个月平均增长率为x， 则五月份借出图书本，六月份借出图书本， 根据题意，得， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解答的关键． 10. 如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（ ） A. 34 B. 89 C. 74 D. 109 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作BM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l1于点N，根据正方形的性质，易证△MAB≌△NDA（AAS），可得AN＝MB，再根据题意，即可求出AN和ND，根据勾股定理，可得AD的长，进一步即可求出正方形ABCD的面积． 【详解】解：过点B作BM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l1于点N，如图所示： 则有∠BMA＝∠AND＝90°， ∴∠MBA＋∠MAB＝90°， 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠MAB＋∠DAN＝90°， ∴∠DAN＝∠MBA， ∴△MAB≌△NDA（AAS）， ∴AN＝MB， ∵h1＝5，h2＝2， ∴AN＝MB＝5，ND＝5＋2＝7， 根据勾股定理，得 ， ∴正方形ABCD的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及勾股定理，全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 12. 线段a、b、c、d是成比例线段，cm，cm，cm，则d的长为 _____cm． 【答案】2 【解析】 【分析】根据a、b、c、d是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出a的值即可． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵cm，cm，cm， ∴cm； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了成比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 13. 如图，在矩形中，，点E为上一点，将沿折叠得到，使边落在矩形对角线上，若，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先利用轴对称的性质，等腰三角形的性质证明设可得 再求解 再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，矩形 设 将沿折叠得到， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ 解得： ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，证明是解本题的关键． 14. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，，是“递减数”；又如：四位数5324，，不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为________． 【答案】4312 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据“递减数”的定义列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴这个数为， 故答案为：． 15. 若关于x的方程的两根满足（a，m，b均为常数，），则关于x的方程的两根满足的取值范围分别是 _________ ，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据换元法解答即可． 【详解】解∶∵关于x的方程的两根满足， ∴则关于x的方程的两根满足的取值范围分别是， 所以， 故答案为． 【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】十字相乘法分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 【答案】 （1）证明：、分别是、的中点， 且， 又，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】从所给的条件可知，是中位线，所以且，所以和平行且相等，所以四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形；是，所以为，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 是等边三角形， 菱形的边长为4，高为， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，解题的关键是掌握菱形的判定定理及性质． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则；若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为每个50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【小问1详解】 解： 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个50元． 20. 为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： ．甲、乙两班五个单项得分折线图： ．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分； （2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”） （3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率 【答案】（1）； （2）乙； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查数据统计与整理的相关知识，掌握平均数，方差的计算方法、概率的计算方法等知识的运用是解题的关键． （）根据平均数的计算方法即可求解； （）根据方差的计算即可求解； （）列表或或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分， 则； 【小问2详解】 解：甲班平均分：， 则， 乙班平均分：， 则， 丙班平均分：， 由 所以，整体发挥较好的是甲班和乙班， ∵ ∴乙整体发挥稳定性最好， 故答案为：乙； 【小问3详解】 列表如下． 第二名 第一名 由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种， ∴（选择同一套图书）． 21. 如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2） 解：．理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得，再根据平行于同一直线的两直线平行可得，然后求出四边形是平行四边形，再求出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据矩形的对角线互相平分可得，然后求出，根据等边对等角的性质可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后整理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角的性质，两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米. （1）花圃的面积为 （用含a的式子表示）； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元 【答案】(1)（40-2a）（60-2a）；（2）通道的宽为5米；（3）通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）用a表示出花圃的长和宽，然后用矩形的面积公式计算出花圃的面积即可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出一元二次方程，解方程即可；（3）根据图象所给的信息，求出、与x之间的函数关系式，根据（1）中花圃的面积求得通道的面积，再由修建的通道和花圃的总造价为105920元，列出方程求解即可． 试题解析： (1)由图可知，花圃的面积为（40-2a）（60-2a）； （2）由已知可列式：60×40-（40-2a）（60-2a）=×60×40， 解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去）， 答：所以通道的宽为5米； （3）当a=10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米） 即此时花圃面积最少为800（平方米）． 根据图象可设y1=mx，y2=kx+b， 将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有 1200m=48000，解得：m=40 ∴y1=40x且有 ， 解得：， ∴y2=35x+20000． ∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400， ∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a ∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920 解得a1=2，a2=48（舍去）． 答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元． 点睛：本题是一元二次方程和一次函数的综合题，正确的解决这类题目的关键是准确的找出等量关系列出方程，再根据所给的函数图象求出对应的函数解析式，把函数问题转化为方程问题. 23. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 【答案】（1） 证明：∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：取的中点Q，连接， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵正方形，， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，证明即可； （2）取的中点Q，连接，证明即可； （3）过点B作于点B，交于点G，证明，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点B作于点B，交于点G， ∴． ∵，， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，三角形中位线，正切函数的应用，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $