精品解析：山东省济宁市梁山县2024-2025学年上学期 八年级数学10月月考试题

二〇二四年十月教学质量调研检测 八年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，共100分，考试时间为120分钟． 2.答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区城内作答．若需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带，否则，答案无效． 4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，5，4 B. 3，3，6 C. 3，2，5 D. 3，2，6 2. 嘉琪不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（ ） A. 第①块 B. 第②块 C. 第③块 D. 第④块 3. 在和中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在中，，，为的平分线，于点．则度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，点B在直线b上，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝28°，则∠2等于（　　） A. 28° B. 32° C. 58° D. 60° 6. 若三角形的三边长分别是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，，，点在线段上，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了96米回到点P．则（ ） A. B. C. D. 不存在 9. 如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，与交于点D，与交于点E，，，关于甲、乙、丙的说法正确的是（ ） 甲：；乙：；丙： A. 只有甲 B. 甲和乙 C. 乙和丙 D. 三人均正确 第Ⅱ卷（非选择题 共70分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知两个角的和是，差是，则这两个角的度数分别是______． 12. 如图，相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是______． 13. 如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为__． 14. 如图，已知点O为的两条角平分线的交点，过点O作于点D，且OD＝4．若的周长是17，则的面积为______． 15. 如图，已知平分，平分，，，下面四个结论：①平分；②；③；④其中正确的是______．（填序号） 三、解答题：本大题共7小题，共55分． 16. 如图，已知点M、N和∠AOB ，用尺规作图作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB两边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 17. 如图、点、、、在一条直线上，，． （1）求证：； （2）求证：． 18. 如图，在中，，平分，于E，若，求的度数． 19. 如图，D，A，E三点都在一条直线上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，AB=AC，求BD，CE，DE之间的数量关系． 20. 如图，在中，平分交于点D，平分交于点E． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 21. 如图所示，，P是的中点，且平分，连接． （1）试说明平分； （2）线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 22. 小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： （1）（习题回顾）已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； （2）（变式思考）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； （3）（探究延伸）如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网命组卷网 二O二四年十月教学质量调研检测 八年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，共100分，考试时间为120分钟. 2.答第I卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号(ABCD)·如需改动， 必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。 3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.务必在题号所指示的答题 区城内作答.若需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答，不准使用涂改液、胶带 纸、修正带，否则，答案无效 4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.） 1.下列三条线段，能组成三角形的是() A.3,5,4 B.3,3,6 C.3,2,5 D.3,2,6 【答案】A 【解析】 【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解 【详解】解：A、4+3>5,能组成三角形，故本选项符合题意： B、3+3=6,不能组成三角形，故本选项不符合题意： 第1页/共25页 学科网命组卷网 C、3+2=5,不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、3+2<6,不能组成三角形，故本选项不符合题意意. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两 条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形 2.嘉琪不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配一块与原 来大小一样的三角形玻璃，应该带() ② A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法做出判断即可。 【详解】带②去，可以利用“角边角”配出一块与原来大小一样的三角形玻璃， 故选：B, 【点睛】本题考查了全等三角形判定定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键. 3.在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是() A.∠A=∠DBC=EFAB=DE B∠A=∠DAB=DEAC=DF C.AB=DE AC=DF BC=EF D.∠C=∠F=90°AB=DEAC=DF 【答案】A 【解析】 SSS,SAS,ASA,AAS,HL 【分析】根据全等三角形的判定方法： ,进行判断即可； 【详解】解：A、利用SSA,不能判断两个三角形全等，符合题意； 第2页/共25页 6学科网 命组卷网 B、利用SAS,得到两个三角形全等，不符合题意： C、利用SSS,得到两个三角形全等，不符合题意： D、利用HL,得到两个三角形全等，不符合题意： 故选A. 【点睛】本题考查全等三角形的判定.熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键 4.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E.则∠ECD 度数为() DE A.So B 8o c100 D120 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分 线的定义 【详解】解：在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°， .∠ACB=180°-∠A-∠B=100° .CD,∠ACB 为 的平分线， ACD=)∠ACB=50 CE⊥AB于点E, ∴.∠CED=90° .∠CDE=∠A+∠ACD=80°， 第3页/共25页 6学科网6组卷网 :.∠ECD=180°-∠CED-∠CDE=10°， 故选：C 5.已知直线a∥b,把Rt△ABC如图所示放置，点B在直线b上，∠ABC=90°，∠A=30°，若∠1= 28°，则∠2等于() b A.28 B.32° C.58 D.609 【答案】C 【解析】 【分析】先利用外角与内角的关系求出∠4，再利用平行线的性质求出∠2 【详解】解：如图， ∠3=∠1=28°，∠4=∠3+∠A,∠A=30°， .∠4=28°+30°=58°. .a∥b, ∴.∠2=∠4=58°. 故选：C. b B 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键， 3,4,2x-1 6.若三角形的三边长分别是 则的取值范围是() A0<x<4 B1<x<4 c0<x<3 D.1<x<3 第4页/共25页 6学科网 命组卷网 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系、解一元一次不等式组，根据三角形的三边关系，分情况列不等式组 求解即可. 2x-1>4-3 【详解】解：根据题意，得3+4>2x-1, 解得1<x<4, 故选：B. 7.如图，∠B=∠D=90°，AC=EC,AB=4,ED=2,点C在线段BD上，若∠ACE=90°，则 △ACE 的面积是() D B25 c10 D 20 【答案】C 【解析】 【分析】由直角三角形的两个锐角互余和平角的定义可得∠BAC=∠DCE,进而可证得 △BAC≌△DCE(AAS),于是可得BC=DE=2,根据勾股定理可求得AC,然后利用三角形的面积公 式即可得出答案。 【详解】解：·∠B=90°， .∠BAC+∠BCA=90° 又：∠BCA+∠DCE=180°-∠ACE=180°-90°=90°. 第5页/共25页 学科网命组卷网 .∠BAC=∠DCE 在△BAC和△DCE中， ∠B=∠D ∠BAC=∠DCE AC=CE ∴.△BAC≌ADCE(AAS) .BC=DE=2 .AC2=AB2+BC2=42+22=20 AC=CE, =4C.CE=AC2=x20=10 ∴.△ACE的面积 故选：C。 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面 积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及勾股定理是解题的关键， 8.如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为a,再走12米，如此重复，小林共走了96 米回到点P.则=() --P y A300 B450 C600 D.不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，先根据题意求出小林左转8次回到了点P,再根据八边形外 角和为360度进行求解即可. 第6页/共25页 学科网 命组卷网 【详解】解：由题意得，小林一共左转了96÷12=8次回到了点P, ∴小林从P点出发又回到点P正好走了一个八边形， a=360°÷8=45°. 故选；B. 9.如图，点D,E分别为△MBC的边AB,AC上的点，连接DE并延长至F，,使EF=DE,连接 FCFC//ABAB=5 CF=3BD ，若 ,则的长等于() A F D E C A. 82 93 【答案】B 【解析】 【分析】先证明AADE≈△FCE,从而得AD=CF,进而即可求解. 【详解】FC∥AB, .∠F=∠ADE, 在△ADE和△FCE中， [∠F=∠ADE ∠FEC=∠DEA EF=DE :.AADE≈△FCE(ASA), ..AD-CF-3, ∴.BD=AB-AD=5-3=2, 第7页/共25页 6学科网命组卷网 故选B 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握ASA证明三角形形全等，是解题的关键. 10.如图，∠ABC=50°，CF与AB交于点D，,BG与AC交于点E,△AFD=AACD, △BCE=△GCE ,关于甲、乙、丙的说法正确的是() 甲：∠DBE=∠ECD:乙：∠F+∠G=50°：丙：CF=BG B A.只有甲 B.甲和乙 C.乙和丙 D.三人均正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得∠ADF=∠ADC=90°，∠GEC=∠BEC=90°，结合三角形内角 和定理可得∠DBE=∠ECD,根据根据全等三角形的性质∠F=∠ECD,∠G=ECB,进而得 ∠F+∠G=50° ，即可求解 【详解】解：，△AFD≡△ACD,△BCE=△GCE, .∠ADF=∠ADC=90°，∠GEC=∠BEC=90°， ∴.∠BDC=∠BEC=90°， ,对项角相等， :.∠DBE=∠ECD. .·AFD兰ACD,△BCE兰△GCE」 第8页/共25页 6学科网 命组卷网 .∠F=∠ECD,∠G=ECB ∴.∠F+∠G=∠ECD+∠ECB=∠ABC=50°， 无法证明CF=BG, 故甲和乙说法正确， 故选B 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握“8字模型”是关键 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.已知两个角的和是6756，差是12°40'，则这两个角的度数分别是 【答案】40°18'，2738 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，角的计算，角的单位（度分秒）之间的换算等知识点， 根据题意列出方程组是解题的关键. 设这两个角的度数分别是x,'，根据题意列出方程组，求解即可. 【详解】解：设这两个角的度数分别是x,y,则有： x+y=67°56 x-y=12°40'， x=40°18 解得：y=2738, 故答案为：40°18,2738. AB,CD 12.如图， 相交于点O,AD=CB 请你补充一个条件，使得 △ADB≌△CBD 你补充的条件 是 第9页/共25页 6学科网组卷网 【答案】AB=CD(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，掌握两个三角形全等的判定方法是解本题的关键. 在△MDB与ACBD AD=CB,DB=BD AB=CD SSS 中，已经有条件： 所以补充 ,可以利用 ⊙D°证明两 个三角形全等. 【详解】解：在△ADB与△CBD中， AD=CB,DB=BD 补充：AB=CD. :∴AADB≌aCBD(SSS) 故答案为：AB=CD 13.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD,BC=DC,CE⊥AD于点E,AD=12,AB=7,则 DE的长为一· 【答案】2 【解析】 第10页/共25页 学科网命组卷网 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作CF⊥AB交AB的延 长线于点R,证明RACF≌aACE(H),则AB=AF=AB+B即，证明 RIABCF≌RtADCE(HL),则DE=BF,得到AD=AB+2DE,即可得到DE的长. 【详解】解：过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F, B AC∠BAD CE⊥ADCF⊥AB 平分 于点E, 于F, .'CE=CF 4C=AC, :RtAACFS≌Rt△ACE(HL) .AE=AF=AB+BF. ..CE=CF BC=DC, RiABCFRIADCE(HL) ∴.DE=BF, .AD=AE+DE=AB+BF+DE=AB+2DE, 12=7+2DE :DE-3 2, 第11页/共25页 6学科网 组卷网 5 故答案为：2 14.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D,且OD=4.若△ABC 的周长是17，则△ABC的面积为 4 D 【答案】34 【解析】 【分析】作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OA,如图，根据角平分线的性质得OE=OF=OD=4,然后根 据三角形面积公式Sc=S4am0+S.m+S,40进行计算即可。 【详解】解：作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OA,如图， B ,点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点， ∴.OE=OD,OF=OD, 即OE-OF=OD=4, 片Se=Sm+5m+8m4B-06+0C-0D+4C-0x4x17=34 故答案为：34 【点睛】本题考查了角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了三角形面积 第12页/供25页 6学科网组卷网 公式 15.如图，已知CE平分∠ACD,OE平分∠AOB,EF⊥OA,EG⊥OB,下面四个结论：①DE平分 ∠CDB:②LOED=∠OCD:③ CaD-0w+号408,5m+5anme=8o克中正境的是- 2 -·(填序号) DG -B 【答案】①④#④① 【解析】 【分析】题目主要考查角平分线的判定和性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质，作 EH⊥CD 于点H,根据角平分线的判定和性质及三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质依次判断 即可，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键， 【详解】解：如图，作EH⊥CD于点H, B D .CE平分∠ACD,EF⊥OA, .:EF=EH, 第13页/共25页 6学科网命组卷网 .OE平分∠AOB,EG⊥OB, .EF=EG, .EH=EG, .DE平分∠CDB;故①正确： :∠BDE=2<BDC∠D0E=5D0C A∠0ED=∠BDE-∠D0E-(<BDC-∠D0c)-3<0CD≠∠0CD, 故②错误； <acD=<4cD=0s0-∠0cD）.∠Dc=3<0c=80-∠0DC 2 A∠CED=I80°-∠ED-∠EDC=(<ODC+∠0CD) A∠CED-=2080°-∠408)=0-<406≠90+←40B 故③错误： EF⊥OA,EH⊥CD,EG⊥OB, .∠CFE=∠CHE=∠EHD=∠EGD=90°， EF=EH,CE=CE RtACEF≌RtACEH(HL) 第14页/供25页 学科网 命组卷网 同理得： SADEG =SADEH SACF+SADEG-SDEM+C=SACDE 故④正确： 故答案为：①④. 三、解答题：本大题共7小题，共55分. 16.如图，已知点M、N和∠AOB,用尺规作图作一点P,使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB两边 的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法） A M. ·N B 【答案】 (1)作∠AOB的平分线， (2)作N的中垂线，两线相交于点P,点P即为所求 A B 【解析】 【分析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法进而求出其交点即可， 【详解】解：略. 第15页/供25页 6学科网命组卷网 【点睛】此题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键。 I7.如图、点B、E、C、F在一条直线上AB=DE,AC=DF,BE=CF (1)求证：∠A=∠D: (2)求证：AC∥DF 【答案】(1) 证明：BE=CF, .BC=FE 在△ABC和△DEF中， AB=DE AC=DF BE=CF ∴.△ABC≌△DEF(SSS) .∠A=∠D； (2) 证明：由(1)知△ABC≌△DEF, ∴.∠ACB=∠F, .AC∥DF 【解析】 【分析】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、平行线的判定等知识，熟记相关几何判定 与性质是解决问题的关键. 第16页/供25页 6学科网 命组卷网 (I)由题中条件，利用两个三角形全等的判定定理SSS得到△ABC2△DEF,再由三角形全等的性质即 可得证： (2)由(1)中△ABC≌△DEF得到∠ACB=∠F,再由同位角相等两直线平行即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18.如图，在△ABC中，∠ABC=3LC,AD平分∠BAC,BE⊥AD于E,若∠BAC=56°，求 ∠DBE的度数. B 【答案】∠DBE=31° 【解析】 【分析】本题考查了角度的运算，三角形内角和定理和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并运用相 关知识.根据三角形内角和结合∠ABC=3∠C可求得∠ABC的值，再根据角平分线的性质结合三角形内 角和可求得∠BAD,最后根据BE⊥AD结合三角形内角和即可求得∠DBE的度数. 【详解】解：：∠BAC=56°，∠ABC=3LC,∠ABC+∠C=180°-∠BAC, .4∠C=180°-56°=124°， .∠C=31° ∴.∠ABC=3∠C=93°， .AD∠BAC 平分 第17页/共25页 6学科网 命组卷网 :∠BAD=1∠BAC=280 2 .∠BDA=180°-∠ABC-∠BAD=59°， BE⊥AD, ∴.∠BED=90° .∠DBE=180°-90°-∠BDA=31° 19.如图，D,A,E三点都在一条直线上，且∠BDA=∠AEC-∠BAC,AB=AC,求BD,CE,DE之间的数 量关系 B 【答案】DE=CE+BD. 【解析】 【分析】由“AAS”可证△ABD≌△CAE,可得AD=CE,BDAE,可得结论 【详解】解：DE=CE+BD, 理由如下： ,'∠BAE=∠D+∠ABD=∠BAC+∠CAE,且∠ADB=∠AEC∠BAC, ∴∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中， ∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA AB=AC ∴.△ABD≌△CAE(AAS), ..AD-CE,BD-AF, ,'DE=AD十AE ∴.DE=CE+BD 第18页/共25页 命学科网命组卷网 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练运用全等三角形的性质和判定解决问题是本题的关键 20.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点E. (1)若∠C=50°，∠BAC=60°，求∠ADB的度数： (2)若∠BED=45°，求∠C的度数. 【答案】(1)80° (2)90° 【解析】 【分析】(I)由角平分线的定义求出∠DAC.再根据三角形外角的性质即可得到∠ADB的度数： (2)由角平分线的定义得到∠BAC=2∠BAD,∠ABC=2∠ABE,再根据三角形外角的性质得到 ∠BAD+∠ABE=∠BED=45 ∠BAC+∠ABC=90° .即可得到 ,再根据三角形内角和定理求出答案即 可； 本题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的相关计算等知识，熟练掌握三角形外角的 性质、三角形内角和定理是解题的关键， 【小问1详解】 解：：AD平分∠BAC交BC于点D,∠BAC=60°， DAC-AC30 第19页/共25页 命学科网命组卷网 ·∠ADB▣△ADC ∠C=50° 是 的外角， :∠ADB=∠C+∠DAC=80 【小问2详解】 .AD 交C于点D,BE平分∠ABC家AD m∠BAC、BC 平分 “平分 交 于点E, :.∠BAC=2∠BAD,∠ABC=2∠ABE ·∠BED▣△ABE ∠BED=45° 是 的外角， ·∠BAD+∠ABE=∠BED=450 ·∠BAC+∠ABC=2(LBAD+∠ABE)=90° .∠BAC+∠ABC+∠C=180° :∠C=180°-（∠BAC+∠ABC)=90 21.如图所示，∠A=∠B=90°，P是AB的中点，且DP平分∠ADC,连接PC. A D (1)试说明CP平分∠BCD. (2)线段PD与PC有怎样的位置关系？请说明理由. 【答案】(1) 证明：过点P作PE⊥CD,垂足为E,如图所示： 第20页/供25页 6学科网6组卷网 :DP平分∠ADC, .∠ADP=∠EDP, PA⊥AD,PE⊥CD .PE=PA(角平分线上的点到角两边的距离相等)， 又，P是AB中点， .PA=PB. .PE=PB. PB⊥BC,PE⊥CD, :.CP平分∠BCD;(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)· (2) 解：PD⊥PC,理由如下： .∠A=∠B=90°. .AD⊥AB,AB⊥BC, :.AD∥BC(垂直于同一条直线的两条直线平行)， :.∠ADC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∠Pc=<CDA ZPCD=DB 2 (角平分线定义)， .2∠PDC+2∠PCD=180°. 第21页/供25页 6学科网 命组卷网 .∠PDC+∠PCD=90°， .∠CPD=90°，即PD⊥PC. 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理和它的逆定理.根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键. (I)由题意过点P作PE⊥CD,垂足为E,先求出PE=PA,再求出PE=PB,从而证明CP平分 ∠BCD (2)根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得∠PDC+∠PCD=90°，从而求证两直线垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22.小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： A G D A D E E C B M C E B 图1 图2 图3 (1)(习题回顾)己知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD 相交于点F.求证：∠CEF=∠CFE: (2)(变式思考)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG 的平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,则∠CEF与∠CFE还相等 吗？说明理由； (3)(探究延伸)如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D,使得∠ACD=∠B,角平分线AE交 第22页/供25页 6学科网命组卷网 CD △ABC ∠BAG MN BC 于点F. 的外角 的平分线所在直线 与的延长线交于点M,试判断 M与 ∠CFE 的数量关系，并说明理由. 【答案】(1) 证明：：∠ACB=90°，CD是高， .∠B+∠CAB=90°.∠ACD+∠CAB=90°. .∠B=∠ACD AE是角平分线， .∠CAF=∠DAF. .∠CFE=∠CAF+∠ACD,∠CEF=∠DAF+∠B, .∠CEF=∠CFE: (2) ∠CEF=∠CFE, 证明：，AF为∠BAG的角平分线， .∠GAF=∠DAF, ,CD为AB边上的高， .∠ADC=90°. .∠ADF=∠ACE=90°， 又.∠CAE=∠GAF=∠DAF. .∠CEF=∠CFE: (3) 第23页/供25页 6学科网可组卷网 ∠M+∠CFE=90° 证明：C、A、G三点共线AE、AN为角平分线， :∠E4N=(∠BAG+∠BAC)-x180°=90 又.'∠GAN=∠CAM, :.∠MAE=∠MAC+∠CAE=∠GAN+∠CAE=180°-90°=90°， .∠M+∠CEF=90°. .∠CEF=∠EAB+∠B,∠CFE=∠EAC+∠ACD,∠ACD=∠B,∠EAB=∠EAC, ∴.∠CEF=∠CFE. :.∠M+∠CFE=90° 【解析】 【分析】习题回顾：先证明∠B=∠ACD,∠CAF=∠DAF,再利用三角形的外角的性质可得： ∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠DAF+∠B ,从而可得结论： 变式思考：先证明∠GAF=∠DAF,∠ADF=∠ACE=90°，结合∠CAE=∠GAF,可得 ∠CEF=∠CFE: 探究延伸：先证明 ∠RAN=(BAG+∠B1C)=90,MAE=∠GMN+∠CAE=0,可得 ∠M+∠CEF=90° ∠CEF=∠EAB+∠B∠CFE=∠EAC+∠ACD∠ACD=∠B ,结合 ∠EAB=∠EAC,可得∠CEF=∠CFE,从而可得答案. 【小问1详解】 略 第24页/供25页 6学科网命组卷网 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和是解题的关键. 第25页/共25页