湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期模块测试数学试题

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期模块测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 4. 在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 6. 当点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知圆的圆心为点，直线与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 4 10. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为8 11. 已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 与所成角的余弦值为 D. 动点P的轨迹长为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 12. 已知，方程表示圆，则______． 13. 设圆满足：（1）截轴所得弦长为2；（2）被轴分成两段圆弧，其弧长的比为.在满足条件（1）、（2）的所有圆中，圆心到直线的距离最小的圆的方程为__________. 14. 正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点，在侧棱上存在一点，使得，则______． 四、解答题：本题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，圆C：，直线l：． （1）若直线l与圆C相切于点N，求切点N的坐标； （2）若，直线l上有且仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线AP、AQ，切点分别为P，Q，且使得四边形APCQ为正方形，求m的值． 16. 已知坐标平面内三点. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 18. 如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，． （1）当时，求三棱柱的体积； （2）设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期模块测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】##0.125 四、解答题：本题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）或 （2）3. 【16题答案】 【答案】（1）斜率为1，倾斜角为； （2）； （3）. 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【18题答案】 【答案】（1）3 （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）由题可得，设，， 联立，消得，， 则，， 所以直线OP的方程为，直线CQ的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $