精品解析：河南省洛阳市洛宁县2024-—2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年10月份学情调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. C. D. 3 2. 若是二次根式，则a的值不可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. 方程x2﹣9=0的解是（　　） A. x=3 B. x=﹣3 C. x=±9 D. x1=3，x2=﹣3 4. 已知二次根式的值为2，那么x的值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2或 5. 解方程时，最适当的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 因式分解法 C. 配方法 D. 公式法 6. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程，若配方后的结果为，则n的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若与可以合并成一项，则m可以是（ ） A. 50 B. 15 C. 0.5 D. 9. 小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（ ） A. 特殊与一般 B. 整体 C. 转化 D. 分类讨论 10. 网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型快递公司今年7月份完成投递的快递件数为6万件，8月份比7月份增加了1.8万件，9月份比8月份增加了0.84万件．假设这两个月投递的快递件数的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 学习完“二次根式”后，小宛同学画出了如下结构图进行知识梳理，理解A是研究本章内容的关键，那么A处应填__________________． 12. 一元二次方程的根是_________． 13. 若是最简二次根式，则x可取的最小整数值是_________． 14. 若，则_________． 15. 定义新运算“※”，规定：，如，则_________；已知的两根为，则_________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 解下列方程（要求两方程所用解法不能相同）： （1）； （2）． 18. 已知的周长为，其中． （1）求的长； （2）判断的形状，并说明理由． 19. 已知m是方程的一个根，求下列代数式的值． （1）； （2）． 20. 有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）求矩形木板的面积； （2）木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； （3）木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 21. 在实数范围内定义一种新运算“△”，规定：，根据这个规定回答下列问题． （1）计算的结果是_________； （2）若是方程的一个根，求k的值和另一个根； （3）已知某直角三角形的两边长是（2）中方程的两个根，请直接写出该直角三角形第三边的长． 22. 高空抛物是一种非常危险的行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）小东家住某小区21层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为_________s（结果保留根号）； （2）某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度_________m； （3）资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 23. 【阅读与思考】为了落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结：它们解法虽不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”再求解．利用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程． 例如：形如这种根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下： 移项，得：． 两边同时平方，得：，即， 解这个一元二次方程，得：． …… 【任务】 （1）小虎认为材料中这个一元二次方程的两个根就是原无理方程的解；小豫认为这个一元二次方程的根并不都满足原无理方程，还应考虑的双重非负性．请写出你所认为的材料中无理方程正确的解： （2）解下列方程：①；②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年10月份学情调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，把方程化成一般形式即可得一次项系数． 【详解】解：变形得：，其一次项系数是． 故选：C． 2. 若是二次根式，则a的值不可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的定义：一般地，我们把形如：的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义判断即可得． 【详解】解：若是二次根式，则， ∴2、1、0均符合二次根式的定义，a的值不能取． 故选：D． 3. 方程x2﹣9=0的解是（　　） A. x=3 B. x=﹣3 C. x=±9 D. x1=3，x2=﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】先移项得到x2=9，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】x2=9， x=±3， 所以x1=3，x2=-3． 故选D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 4. 已知二次根式的值为2，那么x的值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】根据，解答即可． 本题考查了二次根式的性质，绝对值，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故或， 故选：D． 5. 解方程时，最适当的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 因式分解法 C. 配方法 D. 公式法 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后变形为，再运用因式分解法求解即可． 【详解】解：方程可化为， 所以，， 因此运用因式分解法求解最适当． 故选：B． 6. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的加减法以及二次根式乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：Ａ．，故选项A计算正确，不符合题意； B. ，故选项B计算正确，不符合题意； C. ，故选项C计算错误，符合题意； D. ，故选项D计算正确，不符合题意； 故选：C． 7. 用配方法解方程，若配方后的结果为，则n的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解方程．根据题意先给配方成，据此求解即可． 【详解】解：， 配方得：，即：， ∵， ∴， 故选：A． 8. 若与可以合并成一项，则m可以是（ ） A. 50 B. 15 C. 0.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义，把每个选项代入化简，检验化简后被开方数是否相同． 【详解】解：A、把50代入化简得：，故A选项不符合题意； B、把15代入化简得：，故B选项不符合题意； C、把0.5代入化简得：，故C选项不符合题意； D、把代入化简得：，故D选项符合题意； 故选：D． 9. 小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（ ） A. 特殊与一般 B. 整体 C. 转化 D. 分类讨论 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的除法、数学思想，根据题意确定蕴含的思想方法． 【详解】解：题目先是从特殊情况算起，再总结一般性的规律，探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般， 故选：A． 10. 网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型快递公司今年7月份完成投递的快递件数为6万件，8月份比7月份增加了1.8万件，9月份比8月份增加了0.84万件．假设这两个月投递的快递件数的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用．用两种方法表示出9月份的投递的快递件数，据此列方程即可． 【详解】解：设这两个月投递的快递件数的月平均增长率为x， 则， 故选：B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 学习完“二次根式”后，小宛同学画出了如下结构图进行知识梳理，理解A是研究本章内容的关键，那么A处应填__________________． 【答案】二次根式的定义 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式，根据一个数学知识点一般是从定义开始，接下来是性质，然后时计算判断即可． 【详解】解：A处应填二次根式的定义． 故答案为：二次根式的定义． 12. 一元二次方程的根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一解一元二次方程—因式分解法，利用因式分解法将原方程分解成两个一元一次方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴． 故答案为：． 13. 若是最简二次根式，则x可取的最小整数值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意； ∴若是最简二次根式，则x可取的最小整数值是， 故答案为：． 14. 若，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求值，二次根式的加减乘法运算，求解代数式的值，先将代数式变形成，再代入m求值即可． 【详解】解：∵，， ， ． 故答案为：4． 15. 定义新运算“※”，规定：，如，则_________；已知的两根为，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查新定义运算和解一元二次方程，根据新定义运算法则可得出新定义运算的结果是最小的数值，据此可解答． 【详解】解：∵定义新运算“※”，规定：， 而， ∴； 解方程得， ，， ∵， ∴， 故答案为：；． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算、分式化简求值等知识． （1）先化简括号内的二次根式，再把括号内的二次根式求和，再计算二次根式的除法即可； （2）先求出，再把分式求和后整体代入即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， ． 17. 解下列方程（要求两方程所用解法不能相同）： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解即可． （2）利用配方法求解即可． 本题考查了公式法，配方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， ， ． 【小问2详解】 原方程可化为：， 则，即， 解得 , 即． 18. 已知的周长为，其中． （1）求的长； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 是等腰直角三角形，理由如下： 由（1）知， ∴是等腰三角形， 又， ， ∴是直角三角形， 综上，是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用和勾股定理的逆定理的应用． （1）由三角形周长公式可求解； （2）由（1）知，再由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，两个条件结合即可判断的形状． 【小问1详解】 解：的周长为，其中， ． 【小问2详解】 略 19. 已知m是方程的一个根，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）18． 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的根． （1）由已知可得，将变形后代入即可求出结论； （2）由已知可得，将变形后代入即可求出结论． 【小问1详解】 解：是方程的一个根， ，即， ． 【小问2详解】 解：是方程的一个根， ，即， ． 20. 有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）求矩形木板的面积； （2）木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； （3）木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算即可； （3）根据，，得出最多能截出5根这样的木条． 【小问1详解】 解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：， ∴，， ∴矩形木板的面积为； 【小问2详解】 解：该矩形木料的长为： ； 【小问3详解】 解：∵， 又∵， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 21. 在实数范围内定义一种新运算“△”，规定：，根据这个规定回答下列问题． （1）计算的结果是_________； （2）若是方程的一个根，求k的值和另一个根； （3）已知某直角三角形的两边长是（2）中方程的两个根，请直接写出该直角三角形第三边的长． 【答案】（1）3 （2）的值为，另一个根为3 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查新定义运算，一元二次方程的解以及勾股定理的应用，正确真行新定义运算是解答本题的关键． （1）根据新定义运算法则进行计算即可得到答案； （2）根据新定义运算得一元二次方程，则一元二次方程解的定义和根与系数的关系可得结论； （3）分两种情况结合勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 整理得，， ∵是方程的一个根， ∴ 解得，； 设方程的另一个根为，则： ， ∴，即方程的另一个根是3； 【小问3详解】 解：当1和3是直角三角形两直角边时，则斜边长为； 当3为斜边长时，则另一条直角边的长为． 22. 高空抛物是一种非常危险的行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）小东家住某小区21层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为_________s（结果保留根号）； （2）某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度_________m； （3）资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2）45； （3） 解：能伤害到楼下无防护的行人，理由如下： 当时，，解得， ， ∴质量为的玩具经落地所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用． （1）先根据已知条件求出h的值，再代入公式即可得时间； （2）将代入公式即可得高度h； （3）先根据公式求出，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断． 【小问1详解】 解：小明家住21层，每层楼的高度近似为， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ， 故答案为：45； 【小问3详解】 略 23. 【阅读与思考】为了落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结：它们解法虽不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”再求解．利用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程． 例如：形如这种根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下： 移项，得：． 两边同时平方，得：，即， 解这个一元二次方程，得：． …… 【任务】 （1）小虎认为材料中这个一元二次方程的两个根就是原无理方程的解；小豫认为这个一元二次方程的根并不都满足原无理方程，还应考虑的双重非负性．请写出你所认为的材料中无理方程正确的解： （2）解下列方程：①；②． 【答案】（1）； （2）①，，；②． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了因式分解法求解一元二次方程， （1）分别将，代入原无理方程，查看等式是否成立，即可求解； （2）①用因式分解法将原方程分解成三个一元一次方程，解一元一次方程即可；②按照题意步骤，求解方程，最后检验方程，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入原无理方程，可得：左边，左边=右边，方程成立，符合题意； 将代入原无理方程，可得：左边，左边右边，方程不成立，不符合题意； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ， ， ∴或或， ∴，，； ②， 移项，得， 两边平方，得， 整理后，得， 解这个一元二次方程，得，， 将代入，可得：左边，左边=右边，方程成立，符合题意； 将代入，可得：左边，右边，左边右边，不符合题意，舍去； 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $