精品解析：江苏省盐城市四校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题

2024－2025学年度高三年级第一学期联考试卷 数学试题 本试卷分试题卷和答题卷两部分．试题卷包括1至4页；答题卷1至4页．满分150分．考试时间150分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，利用复数乘法和复数相等的概念求出，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】设，， 则， 所以，解得， 所以，. 故选：D. 3. 设，则“”是“为第二象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系及必要不充分条件定义判断即可. 【详解】因为，所以可以是第二象限角或第三象限角， 所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为时，通过降噪系统产生声波曲线将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出噪音的声波曲线的函数表达式，则其相反数即为智能降噪的声波曲线. 【详解】由图可知，，噪音的声波曲线的最小正周期，则． 因为噪音的声波曲线过点，所以， 则．又，所以， 即噪音的声波曲线为， 则可以用来智能降噪的声波曲线为， 又，A正确，B错误； ，C，D错误，. 故选：A. 5. 在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值． 【详解】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号， 因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值． 故选：C． 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式以及两角和等三角恒等变换公式化简运算即可得解. 【详解】由已知得，即（）， 则.从而. 故选：A. 7. 已知数列的前n项和，若，且数列满足，若集合中有三个元素，则实数λ的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用与的关系式求得，进而求得，利用作差法分析得数列中的项的情况，再利用集合中元素的个数即可得解. 【详解】由题意知， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为，所以， 所以， 则， 当时，； 当时，，即； 又， ， 则数列中的项从大到小排列为， 因为集合中有三个元素，所以. 故选：A. 8. 已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则（ ） A. 651 B. 676 C. 1226 D. 1275 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件变形得到，再结合条件求得，再通过赋值求的值. 【详解】由条件，可知，，，以上三个式子相加得：， 又，所以， ，，，…，， 以上式子相加得， 所以. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与同向的单位向量为 D. 与的夹角余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量坐标表示平行，垂直，夹角，以及单位向量，即可判断选项. 【详解】A.，故A错误； B.，，所以，故B正确； C.，所以与向量同方向的单位向量为，故C正确； D.，故D错误. 故选：BC 10. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调增函数，记，若，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“倒函数”的定义判断A；举反例排除B；利用“倒函数”的定义求解析式可判断C；利用函数单调性与奇偶性的定义判断的性质，从而判断D. 【详解】对于A，对于，则， 所以， 则函数是“倒函数”，故A正确； 对于B，取，则， 所以， 此时在R上为“倒函数”，但，故B错误； 对于C，当时，则，所以，故C正确； 对于D，因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数， 所以， 任取、且，则，所以，， 所以 ， 所以函数为上的增函数， 因为，故函数为上的奇函数， 当时，即，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将题目条件等价转化为，然后即可给出选项A的反例，并使用放缩法证明B，C，D选项正确. 【详解】设，则对任意都有，这得到. 由恒为常值，知，，所以，，故点的坐标是. 而点在直线上，故条件即为. 对于A，取，则此时，故A错误； 对于B，有，故B正确； 对于C，有，故C正确； 对于D，有，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 13. 已知平行四边形，点在边上（不与、两点重合），，，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，，利用转化法表示向量数量积，即可得，再结合夹角公式可得，进而得解. 【详解】 由已知，则，， 则， 又点在边上且不与、两点重合， 设，， 则，， 则， 解得， 所以， 则， 且， 即， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 已知，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，先转化问题为恒成立，进而结合导数分析函数的单调性得到对恒成立，进而得到对恒成立，即，再构造函数，，进而结合导数求解即可. 【详解】由对恒成立，且， 即恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 设，则， 设，则， 令，则；令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 所以恒成立， 可以转化为恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立，即. 设，，则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又，所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是观察原不等式的特点，将问题转化为恒成立，再结合导数进行求解即可. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15. 已知，设． （1）当，求函数的值域. （2）若，且，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角的正弦、辅助角公式求出，进而求出值域. （2）由（1）求出，再利用同角公式及和角的正弦公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，， 由，得， 所以函数的值域. 【小问2详解】 由（1）得 由，得，则， 所以. 16. 已知数列为等比数列，公比，前项和为，数列为等差数列，且，，． （1）求数列和的通项公式： （2）若，，且数列的前项和为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式列方程组，解方程组即可； （2）根据数列的递推公式，利用累加法可得奇数项的通项公式，再结合并项求和的方法可得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，， 得，即， 解得，或， 又， 所以， 即，； 【小问2详解】 由（1）得，则， 当为奇数时，， 则，，，， 等式左右分别相加的， 则， 当为偶数时，， 则 . 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．. （1）求A； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理以两角和的正弦公式化简求解即可； （2）先利用余弦定理可得，进而结合得到，进而由正弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 整理得， 因为B为的内角，所以，因此， 所以，即，又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理有， 整理得， 由题意有，即， 因此有，从而， 由正弦定理有. 18. 已知函数 （1）若， （ⅰ）求函数在上的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若时，，求a的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用导数的几何意义即可求得切线方程； （ⅱ）对函数求导并构造函数求得导函数最小值，即可得在上单调递增； （2）对参数a进行分类讨论得出相应的单调性，即可求得当时，时a的取值范围为. 【小问1详解】 若，则的定义域为． （ⅰ），则， 因此切线为，即. （ⅱ）令， 则可得， 故当时，单调递减；当时，单调递增， 于是，也即， 故的单调递增区间为，无单调递减区间． 【小问2详解】 由题意的定义域为， 令，则； 若，则当时，在上单调递增， ，此时在上单调递增， 所以当且时，，符合题意 若，则当时，在上单调递瑊，， 此时在上单调递减， 则当且时，，不符合题意． 若，则当时，单调递减， 所以，此时在上单调递减， 所以当且时，，不符合题意 综上所述，a的取值范围是． 19. 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为m－连续可表数列． （1）判断Q：1，3，2是否为6－连续可表数列?说明理由； （2）若为8－连续可表数列，求证：k的最小值为4； （3）若为20－连续可表数列，且，求证：． 【答案】（1）Q是6－连续可表数列，理由如下： 若，则对于任意的， ， 所以Q是6－连续可表数列． （2）证明： 假设，设为Q：a，b，c，则至多． 6个数字，没有8个，矛盾，故； 当时，构造数列Q：1，4，1，2，满足， ，所以． （3）证明： 先证明．从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字， 所以对任意给定的5个整数，最多可以表示5＋4＋3＋2＋1＝15个正整数， 若，最多可以表示6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个正整数， 由于Q为20－连续可表数列，且， 所以至少有一项为负数， 既然任意5个正整数都不可能为20－连续可表数列， 那么中间若插入一个负数项，更不能连续表示1~20的正整数． 所以至少要有6个正整数才能连续表示1~20的正整数． 所以Q中至少包含6个正整数和一个负数，故． 【解析】 【分析】（1）根据定义，得出，即可说明理由； （2）采用反证法，当时，结合为8－连续可表数列的定义推出矛盾，进而证明； （3）首先根据m－连续可表数列的定义，证明得出，然后验证时是否成立，进而得出结论． 【小问1详解】 Q是6－连续可表数列，理由略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到中间的任意一个值．本题第二问时，通过和值可能个数否定；第三问先通过和值的可能个数否定，再验证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度高三年级第一学期联考试卷 数学试题 本试卷分试题卷和答题卷两部分．试题卷包括1至4页；答题卷1至4页．满分150分．考试时间150分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“为第二象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为时，通过降噪系统产生声波曲线将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前n项和，若，且数列满足，若集合中有三个元素，则实数λ的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则（ ） A. 651 B. 676 C. 1226 D. 1275 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与同向的单位向量为 D. 与的夹角余弦值为 10. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调增函数，记，若，则. 11. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 13. 已知平行四边形，点在边上（不与、两点重合），，，，，则______． 14. 已知，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15. 已知，设． （1）当，求函数的值域. （2）若，且，求的值． 16. 已知数列为等比数列，公比，前项和为，数列为等差数列，且，，． （1）求数列和的通项公式： （2）若，，且数列的前项和为，求． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．. （1）求A； （2）若，求的值. 18. 已知函数 （1）若， （ⅰ）求函数在上的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若时，，求a的取值范围． 19. 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为m－连续可表数列． （1）判断Q：1，3，2是否为6－连续可表数列?说明理由； （2）若为8－连续可表数列，求证：k的最小值为4； （3）若为20－连续可表数列，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $