精品解析：陕西西安高新第一中学2026-2027学年第一学期高三年级第一次模考数学试题

西安高新第一中学2026-2027学年度第一学期 高三年级第一次模考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则，即，解得， 所以， 由，即，解得，即， 所以. 故选：D 2. 是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】解得或， 故选：. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助中间变量3及幂函数的单调性比较大小. 【详解】，，， . 故选：A 【点睛】本题考查幂指数、对数比较大小，属于基础题. 4. 抛物线C：y2＝2px的焦点为F，M（3，y0）在抛物线C上且|MF|＝5，则抛物线C的方程为（ ） A. y2＝4x B. y2＝8x C. y2＝16x D. y2＝32x 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合焦半径公式求得，则抛物线方程可求． 【详解】因为，则， 故抛物线的方程为， 故选：B. 5. 若O是正八边形的中心，且（），则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】 如图，连接，，分别过，作垂直于线段的垂线，垂足分别为，, 设正八边形边长为，正八边形每个内角， 由几何性质可知，,， 所以，，所以， 即，又， 所以，，故. 6. 小明和同学做一个与扔骰子有关的游戏，规定：若骰子1点或2点向上，则前进1步，若骰子3点或4点向上，则前进2步，若骰子5点或6点向上，则前进3步，则小明连续扔三次骰子一共前进了8步的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得前进1步，2步和3步的概率都是，即可求出小明连续扔三次骰子一共前进了8步的概率． 【详解】因为前进1步，2步和3步的概率都是， 三次前进了8步，故只能2次3步，1次2步， 故小明连续扔三次骰子一共前进了8步的概率是， 故选：． 7. 函数在上单调，且，若在上存在最大值和最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在上单调，利用单调性求得的范围，利用结合对称性求得的值，然后结合正弦函数图象求得的范围. 【详解】在上单调，所以，又，所以，∴，，，所以，，当时，，或或， 故选：D． 8. 已知圆：交直线于，两点，则对于，线段长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意圆的圆心在单位圆上，求出点到直线的距离的最大值，根据圆的弦长，可得答案. 【详解】解：由圆：， 知该圆的半径，圆心在单位圆上， ∵原点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为， 由可知，当取最大值时，线段长度的最小值为， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则对任意的复数，下列各式始终成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设（a，b均不为0），，然后逐一化简判断即可. 【详解】设，a，b均不为0，设，则 对于A：， ，故A正确； 对于B： ， ，故B正确； 对于C：，，故C不正确； 对于D：，故D正确. 故选：ABD． 10. 已知非零实数，满足，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由指数函数的图象判定AB，根据函数的单调性判断C，根据对数及指数函数的单调性判断D. 【详解】A选项中，如图， 由指数函数的图象可知，或者，所以错误，所以B正确； C选项中，函数在上单增，而，所以正确； D选项中，，则有，所以正确. 故选：BCD 11. 在三棱锥A-BCD中，都是边长为的正三角形，AD＝a（0＜a＜6），M是棱AC的中点，则在a的变化过程中，下列说法正确的是（ ） A. 直线AD与直线BC所成的角都为 B. 当时，三棱锥A-BCD的体积取得最大值 C. 当时，三棱锥A-BCD的外接球的表面积为28π D. 存在某个实数a，使得∠MBD＝90° 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，根据线面垂直的性质定理证明直线AD与直线BC所成的角都为即可；对于选项B，分析当平面时，三棱锥的的体积取得最大值，求出此时的值；对于C选项，当时，确定球心位置，最后求出半径和表面积；对于D选项，假设∠MBD＝90°时，根据线线关系求出而0＜a＜6，最后做出判断； 【详解】取的中点，如图1所示，则，则平面，故，故选项A正确； 因为棱长为，则，故当平面时，三棱锥的的体积取得最大值，则，故选项B错误； 当时，，分别取平面和平面的外心， 如图2所示，可求得，，过分别作平面和平面的垂线交点为，则平面图如图2，因为，则，则，则，则外接球半径， 故球的表面积为，故选项C正确； 如图3，当平面时，与点重合，故在平面的投影为，因为是棱的中点，故在平面的投影为其中分别是的中点，因为，则，其中在上，则与重合，此时故不成立，则选项D错误； 故选AC. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列为等比数列，数列为等差数列，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可得的值，根据等差数列的性质，可得的值，代入所求，化简计算，即可得答案. 【详解】由等比数列性质知，解得， 又数列为等差数列，，解得， 又，， 所以． 故答案为： 13. 已知椭圆：的右焦点为，若过的直线与椭圆交于，两点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆性质可知，当，分别为椭圆的顶点时，取最值，然后分为椭圆的右顶点和为左顶点两种情况求解即可得答案 【详解】解：由椭圆性质可知，当，分别为椭圆的顶点时，取最值． 当为椭圆的右顶点时，最小，此时， 此时恰为椭圆的左顶点，最大，此时，此时的最小值为， 同理可得的最大值为2，即的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式可得，利用导数判断函数在上的单调性，结合函数性质将条件转化为恒成立，即可求解. 【详解】已知，先推导关系式，， 原不等式变形， ， 在上单调递减，由单调性脱去，得， 对任意恒成立，分离参数， 设，求导， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，取得最大值， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 将函数的图象向右平移个单位得到的图象，再将的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象. （1）求函数的单调递增区间； （2）已知在三角形中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)由函数图象变换结论可求函数的解析式，结合正弦函数的单调性结论求函数的单调递增区间；(2)由条件结合(1)求角，再由余弦定理求，根据面积公式求的面积. 【小问1详解】 由题意可知将函数的图象横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变可得的图象， ∴ ，又的图象向左平移个单位可得函数的图象， ∴ 由可得， ∴ 函数单调递增区间为，. 【小问2详解】 ∵ 又， ∴ ∴ 解得或. 又. ∴ 或. 16. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面平面ABEF，． （1）已知点G为AF上一点，且AG=1，求证：平面DCE； （2）已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接AE,交BG于点,取DE的中点,连接HO,HC,GE，由中位线性质可得，结合题意可得四边形BCHO为平行四边形,可得，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）利用面面垂直的性质定理可得平面ABEF,建立空间直角坐标系，设，求出和平面DCE的法向量，利用线面角空间向量的求法可得到，再求出平面BDF的法向量，利用面面角的空间向量的求法即可求解 【小问1详解】 连接AE,交BG于点,取DE的中点,连接HO,HC,GE， 四边形ABEG为平行四边形, 为AE的中点,, 又, 四边形BCHO为平行四边形,, 平面平面DCE, 平面DCE,即平面DCE. 【小问2详解】 平面平面ABEF,平面平面,平面ABCD, 平面ABEF, 以为原点,以AF,AB,AD所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设且,则,, 设平面DCE的法向量为,则,即, 令,则, 直线BF与平面DCE所成角的正弦值为, 化简得,解得或(舍), 设平面BDF的法向量为,则,即, 令,则, ， 故平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为. 17. 前些年，为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，某市大力推行“共享单车”，根据统计，近6年这个城市“共享单车”保有量数据如下表： 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 （1）从这6年中任意选取两年，记单车保有量超过4万辆的年份数量为X，求X的分布列及期望； （2）用函数对两个变量x，y的关系进行拟合，求y关于x的回归方程（系数精确到0.01）． 参考数据： 设 参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 【答案】（1）X的分布列为： X 0 1 2 P ，；（2）. 【解析】 【分析】(1)写出变量的取值，求出每种取值下的概率，从而列出分布列，即可求出期望. (2) 对两边取自然对数得，，从而结合已知公式可求出和，即可求出y关于x的回归方程. 【详解】解：（1）X的所有取值为0，1，2，由题意知， ， ∴X的分布列为： X 0 1 2 P ． （2）对两边取自然对数得：，设， ，， ， 又，． 【点睛】关键点睛: 本题第二问的关键是，将已知指数式转化为对数式，结合所给公式进行求解. 18. 已知椭圆方程，抛物线方程：，为坐标原点，是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，如图所示． （1）证明：直线，的斜率乘积为定值，并求出该定值； （2）反向延长，分别与椭圆交于，两点，且，求椭圆方程； （3）在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线方程． 【答案】（1）证明见解析，-4；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）表示出斜率之积，，结合根与系数关系即可得解； （2）利用得出，结合椭圆站 可求出； （3）先表示出面积之比，利用基本不等式求出取最小值时，即可求出 ，得到抛物线方程. 【详解】（1）证明：设直线的斜率为，直线的斜率为， 由题可知，直线的斜率不为0， 设直线， 则由，可得， 易知，且， 又，则． （2）解：设，， 由（1）可知，，， 联立方程，可得， 用替换式子中的，有， 又，则，且， 即，∴， 此时椭圆方程为． （3）解：∵， 由（2）可知，当，时， ，，则， 又由（1）可知，， 当且仅当时等号成立， 由题意，，此时抛物线方程为． 【点睛】在求某式为定值时，先表示出这个式子，再根据式子的特点来判断，以及求面积最小值时，先表示出面积，结合式子特点，利用函数或者基本不等式来求最小值. 19. 已知． （1）当时，讨论的单调性； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围； （3）令，存在，且，，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增；（2）；（3）． 【解析】 【分析】 （1）利用导数研究函数的单调性，求导得，则，由此得，从而得到函数的单调性； （2）分类讨论，当时，，满足要求；当时，有时，恒成立，而，，再分和两种情况讨论即可求出答案； （3）由题意得，即，进而有，令，则转化为时，方程有解． 解法一：令，则时，有解，结合导数讨论函数的单调性，由此求得结论； 解法二：分离参数后用洛必达法则求得答案． 【详解】解：（1）当时，，则， ∴， 当时，，时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又∵， ∴时，， ∴在上单调递增； （2）当时，，在上单调递增，则时满足要求； 当时，在上单调递增，则当时，恒成立， ∵，， 当时，， ∴在上单调递减，而， ∵，， ∴， ∴时，，故时不成立， 当时，，当时，，时，， 则在上单调递减，在上单调递增， ∵时，， 只需，即， ∵， ∴，则， 综上所述，实数的取值范围是； （3）∵， ∴，， ∵， ∴，即， 又， ∴，即， 令，则，即方程有解． 解法一：令，则时，有解， ，因为时，则， 当时，，即时，， 则在上单调递减， 又，故时，无解， 则时不成立； 当时，当时，，时，， 又，则，， 而， 令，，， 因为，则，则在单调递减，， 则在单调递减，则，即， 故存在，使得，故时满足要求， 综上所述，实数的取值范围是． 解法二：分离参数后用洛必达法则： 即，令， 则， 令，， ∴当时，，故在上单调递增，故， 由洛必达法则知：当时，，则，则， ∴实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查计算能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安高新第一中学2026-2027学年度第一学期 高三年级第一次模考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线C：y2＝2px的焦点为F，M（3，y0）在抛物线C上且|MF|＝5，则抛物线C的方程为（ ） A. y2＝4x B. y2＝8x C. y2＝16x D. y2＝32x 5. 若O是正八边形的中心，且（），则（ ） A. B. C. D. 3 6. 小明和同学做一个与扔骰子有关的游戏，规定：若骰子1点或2点向上，则前进1步，若骰子3点或4点向上，则前进2步，若骰子5点或6点向上，则前进3步，则小明连续扔三次骰子一共前进了8步的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上单调，且，若在上存在最大值和最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：交直线于，两点，则对于，线段长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则对任意的复数，下列各式始终成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知非零实数，满足，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 11. 在三棱锥A-BCD中，都是边长为的正三角形，AD＝a（0＜a＜6），M是棱AC的中点，则在a的变化过程中，下列说法正确的是（ ） A. 直线AD与直线BC所成的角都为 B. 当时，三棱锥A-BCD的体积取得最大值 C. 当时，三棱锥A-BCD的外接球的表面积为28π D. 存在某个实数a，使得∠MBD＝90° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列为等比数列，数列为等差数列，若，，则________． 13. 已知椭圆：的右焦点为，若过的直线与椭圆交于，两点，则的取值范围是______． 14. 已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 将函数的图象向右平移个单位得到的图象，再将的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象. （1）求函数的单调递增区间； （2）已知在三角形中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积. 16. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面平面ABEF，． （1）已知点G为AF上一点，且AG=1，求证：平面DCE； （2）已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值． 17. 前些年，为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，某市大力推行“共享单车”，根据统计，近6年这个城市“共享单车”保有量数据如下表： 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 （1）从这6年中任意选取两年，记单车保有量超过4万辆的年份数量为X，求X的分布列及期望； （2）用函数对两个变量x，y的关系进行拟合，求y关于x的回归方程（系数精确到0.01）． 参考数据： 设 参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 18. 已知椭圆方程，抛物线方程：，为坐标原点，是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，如图所示． （1）证明：直线，的斜率乘积为定值，并求出该定值； （2）反向延长，分别与椭圆交于，两点，且，求椭圆方程； （3）在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线方程． 19. 已知． （1）当时，讨论的单调性； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围； （3）令，存在，且，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $