专题突破：利用空间向量解决折叠问题与存在性的综合问题-2024-2025学年上学期高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题突破：利用空间向量解决折叠问题与存在性的综合问题 1．正的边长为是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角. (1)求证：直线平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由. 2．是边长为2的等边三角形，为边上的动点，且，为的中点，为的中点.将沿进行折起，使得平面平面. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)是否存点使得平面，若存在请确定点的位置，若不存在，请说明理由. 3．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平而； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 4．等边三角形的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将 沿CD翻折成直二面角A-DC-B． (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)在线段BC上是否存在一点P，使？若存在，请指出P点的位置，若存在，请说明理由 5．在中，，，，､分别是线段､上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求与平面所成角的大小； (2)在线段上是否存在点（不与端点､重合），使平面与平面垂直？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由. 6．在三棱锥中，平面平面ABC，△为等腰直角三角形，，，，M为AB的中点. (1)求证：. (2)求PC与平面PAB所成角的正弦值. (3)在线段PB上是否存在点N，使得平面平面PAB？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 7．在中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. (1)求证：平面BCDE； (2)求CM与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由. 8．图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由. 9．如图1，在中，、分别为、的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2．    (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 10．图1是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为4的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面ABED； (2)在棱上是否存在点P，使得P到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值. 11．等边的边长为3，点，分别是，上的点，且满足.（如图（1）)，将沿折起到的位置，使面平面，连接，(如图（2）). （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 12．如图1是一个正方形和一副直角三角板（常用的文具哟），其中，，将AD与、BC与分别重合，并将两个三角板翻起，使点与点重合于点P，得一几何体如图2. (1)证明：直线AD⊥直线PC； (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的正弦值； (3)在正方形面ABCD范围内有以圆心为D、半径为2的一段圆弧，则在该段圆弧上，是否存在点Q使得异面直线PC与DQ所成的角是，试说明你的理由． 13．等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图1）．将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图2）． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 14．如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面． (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求的长度，若不存在，说明理由． 15．如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2. (1)证明：. (2)已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由. 16．已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面. (1)证明：； (2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．      (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 18．已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20．如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21．如图①，在直角梯形中，，，.将沿折起，使平面平面，连，得如图②的几何体. (1)求证：平面平面； (2)若，二面角的平面角的正切值为，在棱上是否存在点使二面角的平面角的余弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，说明理由. 22．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中点，将沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且PB＝PC，如图2所示．F是棱PB上的一点． (1)若F是棱PB的中点，求证：平面PAE； (2)是否存在点F，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由． 23．如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； (2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 24．如图，四边形为正方形，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角为直二面角，为棱上一点． (1)求直线与所成角； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 25．如图1，在△MBC中，BM⊥BC，A，D分别为边MB，MC的中点，且BC＝AM＝2，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB，如图2，连结PB，PC． (1)若E为PC的中点，求异面直线DE与PB所成的角大小； (2)线段PC上一动点G满足，判断是否存在，使得二面角G－AD－P的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：利用空间向量解决折叠问题与存在性的综合问题 1．正的边长为是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角. (1)求证：直线平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3)存在，靠近的三等分点 【分析】(1)判定线面关系，可以从线线关系寻找，由线段中点，可利用中位线性质的线线平行，再利用线面平行判定定理确定； (2)求二面角，一般利用空间直角坐标系，结合空间向量的数量积解决：先建立空间直角坐标系，再分别计算两平面的法向量，最后利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角即可得出结论； (3)确定点的位置，一般利用空间直角坐标系求出点的坐标，再明确位置关系.要求点的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直，利用这两个条件可得点的位置，进而求解. 【详解】（1）如图，在中，由分别是中点，得， 又平面平面平面. （2）由题知，，平面平面，且交线为， 平面，因为平面，所以， 又已知，两两垂直，以点为坐标原点，直线为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 平面的法向量为，设平面的法向量为， 则，即，取， ， 二面角的余弦值为. （3）设，因为，则， 又， ， 把代入上式得， 在线段上存在点，即靠近的三等分点，使. 2．是边长为2的等边三角形，为边上的动点，且，为的中点，为的中点.将沿进行折起，使得平面平面. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)是否存点使得平面，若存在请确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，位置答案见解析 【分析】（1）根据题意，先证明平面，进而根据线面垂直的性质定理证明问题； （2）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量的夹角公式求得答案； （3）通过线面垂直的判定定理，结合平面向量的数量积运算即可判断. 【详解】（1）如图，连接，由题意可知，，且，又为的中点，则，而平面AMN⊥平面BCNM，且交于MN，所以AO⊥平面BCNM. 易知是等腰三角形，为边上的中点，则，由可知，又，则平面，因为平面，所以. （2）以为原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系. 设，则，，，，， ， 设平面的法向量为，则由，即，解得平面的一个法向量为， 因为y轴⊥平面AMN，所以平面的一个法向量为，所以，由图可知，平面与平面夹角的余弦值为. （3）由（1），AO⊥平面BCNM，则，而，于是当时，平面. ,，由 可得，又，则解得 故存在点，使得平面. 3．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平而； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)存在点，使平面平面，. 【分析】（1）证明，根据直线和平面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面法向量，计算法向量之间夹角的余弦值，即可得到二面角的大小； （3）假设存在点满足题意，设，分别求出平面和平面的法向量，根据其法向量垂直，数量积为零列方程解的值得到答案. 【详解】（1）因为在梯形中，，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 因为线段点，所以为线段的中点， 所以中，， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，则，垂足为， 所以，， 因为平面，平面， 所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，所以即， 如图所示，分别以所在直线为建立空间直角坐标系， 因为在图1菱形中，所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则令，则可得， 平面的法向量为， 所以， 由图可知二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为； （3）线段上存在点，使得平面平面， 设，， 因为， 所以，由 设平面的法向量为， 则令，则可得， 由 设平面的法向量为， 则令，则可得， 则， 解得， 为线段的中点，此时. 4．等边三角形的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将 沿CD翻折成直二面角A-DC-B． (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)在线段BC上是否存在一点P，使？若存在，请指出P点的位置，若存在，请说明理由 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) (3)存在，靠近B的三等分点 【分析】（1）证得，利用线面平行判定定理即可得出结论； （2）建立空间坐标系，再分别计算平面CDF及平面EDF的法向量，利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角得结论； （3）求点P的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直：可设，再转化条件为，解得，即可确定P位置． 【详解】（1）如图，在中，由E、F分别是AC、BC中点，得， 又平面DEF，平面DEF，∴平面． （2）由题知，，平面平面，且交线为， ∴平面，∴，又已知， ∴两两垂直，以点D为坐标原点，直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 平面的法向量为，设平面的法向量为， 则，即，取， ， 由图可知二面角的平面角为锐角， ∴二面角的余弦值为． （3）设，则，∴， 又， ∵，∴，∴， 把代入上式得，∴， ∴在线段上存在点，即靠近B的三等分点，使． 设，则，∴， 又， ∵，∴，∴， 把代入上式得，∴， ∴在线段上存在点，即靠近B的三等分点，使． 5．在中，，，，､分别是线段､上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求与平面所成角的大小； (2)在线段上是否存在点（不与端点､重合），使平面与平面垂直？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】先证明出平面，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. （1）用向量法求与平面所成角的大小； （2）假设存在点N，符合题意.用向量法求出. 【详解】（1）因为在中，，，所以，， 因为折叠前后对应角相等，所以， 所以平面，， 又，，所以平面； 于是可以以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，，， ，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为，则有， 因为为与平面所成角， 故，即与平面所成角的大小为； （2）假设存在点N，符合题意.设，，即， 即，，，，， . 设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以， 同理，设平面的法向量为，同理可求， 若平面与平面垂直，则满足，即，，故存在这样的点， ，所以. 6．在三棱锥中，平面平面ABC，△为等腰直角三角形，，，，M为AB的中点. (1)求证：. (2)求PC与平面PAB所成角的正弦值. (3)在线段PB上是否存在点N，使得平面平面PAB？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）为中点，连接、，由中位线、等腰直角三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质可证结论. （2）构建空间直角坐标系，由已知确定相关点坐标，分别求PC与平面PAB的方向向量、法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求PC与平面PAB所成角的正弦值. （3）假设存在N使面面PAB且，，由（2）易得，进而求面的法向量，由面面垂直易得求参数，即可确定存在性. 【详解】（1）若为中点，连接、，又M为AB的中点. ∴，由，则， 又△为等腰直角三角形，，易知：， 由，则面， ∵面， ∴. （2）由（1）可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， ∴，则，，， 若为面PAB的一个法向量，则，令，即， ∴，则PC与平面PAB所成角的正弦值为. （3）若存在N使得平面平面PAB，且，， 由（2）知：，，则，， 若是面的一个法向量，则，令，则， ∴，可得. ∴存在N使得平面平面PAB，此时. 7．在中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. (1)求证：平面BCDE； (2)求CM与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在；2 【分析】（1）结合线面垂直判定定理和折叠性质可证； （2）通过建系法求出和平面的法向量，设线面角为，结合公式求解即可； （3）在（2）的坐标系基础上，写出坐标，设，，表示出点N，分别求出平面CMN与平面DEN的法向量，令数量积为0，求出参数即可. 【详解】（1）因为在中，，，所以， 因为折叠前后对应角相等，所以，所以平面，， 又，，所以平面BCDE； （2）因为DE经过的重心，故，由（1）知平面BCDE，以为轴，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系，由几何关系可知，， 故，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，设CM与平面所成角的大小为，则有，故，即CM与平面所成角的大小为； （3）设，，即， 即，，， ，设平面CMN的法向量为，则有， 即，令则，，， 同理，设平面DEN的法向量为，， 则，即，令，则，故， 若平面CMN与平面DEN垂直，则满足，即，，故存在这样的点，，所以 8．图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据长度关系可证得为等边三角形，取中点，由等腰三角形三线合一和勾股定理可证得、，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设存在且，由共线向量可表示出点坐标，利用点到面的距离的向量求法可求得，进而由二面角的向量求法求得结果. 【详解】（1）在图中取中点，连接，， ，，，，， ，，，四边形为矩形，， ，又，为等边三角形； 又，为等边三角形； 在图中，取中点，连接， 为等边三角形，，， ，又，，， 又，平面，平面， 平面，平面平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设棱上存在点且满足题意， 即，解得：，即， 则， 设平面的法向量， 则，令，则， ， 到平面的距离为，解得：， ， 又平面的一个法向量， ， 又二面角为锐二面角，二面角的大小为. 9．如图1，在中，、分别为、的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2．    (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且. 【分析】（1）推导出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，根据空间向量法可求出的取值. 【详解】（1）在图1中，因为，、分别为、的中点， 则，， 翻折后，在图2中，因为为的中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为平面，所以，. （2）取的中点，连接，翻折前，则、、三点共线， 又因为，为的中点，则，即， 翻折后，则有， 又因为平面，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， 设，其中， 所以，， , 由题意可得， 整理可得，又因为，解得， 因此，线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为，且. 10．图1是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为4的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面ABED； (2)在棱上是否存在点P，使得P到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)存在，直线与平面所成角的正弦值为 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE，⊥BE，且，由勾股定理逆定理求出AF⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点P的坐标，从而得到线面角. 【详解】（1）取BE的中点F，连接AF，， 因为四边形ABCE是边长为4的菱形，并且， 所以均为等边三角形， 故⊥BE，⊥BE，且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得：AF⊥， 又因为，平面ABE， 所以⊥平面ABED， 因为平面， 所以平面平面ABED； （2）以F为坐标原点，FA所在直线为x轴，FB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，，， 故， 解得：， 故， 设平面的法向量为， 则， 故， 令，则，故， 其中 则， 解得：或（舍去）， 则， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 11．等边的边长为3，点，分别是，上的点，且满足.（如图（1）)，将沿折起到的位置，使面平面，连接，(如图（2）). （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【分析】（1）由已知条件推导出，从而得到，折叠后有，由此能够证明平面； （2）由（1）知，平面，以为坐标原点，以射线､､分别为轴､轴､轴的正半轴建立空间直角坐标系，可求得，，由题意根据两向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）证明：题图（1）中，由已知可得： ，，. 从而 故得，所以，. 所以题图（2）中，，， ∵面面 面面 面 ∴面 （2）解：存在.由（1）知，平面. 以为坐标原点，以射线､､分别为轴､轴､轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图， ，，， ∴ ， ∴ ∴. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下： （1）利用面面垂直的性质，结合线线垂直的条件，证得线面垂直； （2）结合（1）的条件，建立空间直角坐标系，假设存在对应的点P，设，利用空间向量解决线线角的余弦值，建立关于的关系式，求得结果. 12．如图1是一个正方形和一副直角三角板（常用的文具哟），其中，，将AD与、BC与分别重合，并将两个三角板翻起，使点与点重合于点P，得一几何体如图2. (1)证明：直线AD⊥直线PC； (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的正弦值； (3)在正方形面ABCD范围内有以圆心为D、半径为2的一段圆弧，则在该段圆弧上，是否存在点Q使得异面直线PC与DQ所成的角是，试说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，理由见解析 【分析】（1）通过证明AD⊥平面PCD即可证明； （2）以点D为原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面PAB的法向量，利用向量关系即可求出； （3）设，由异面直线PC与DQ所成的角结合向量关系可得，再利用在圆弧上即可求出. 【详解】（1）由题意可得：AD⊥PD，，且，∴AD⊥平面PCD， 而平面PCD，∴AD⊥PC； （2）由（1）知：AD⊥平面PCD，可作正方体如下： 如下图以点D为原点建立空间直角坐标系，显然，点P在坐标平面yoz内， 则有：， ∴， 易知是平面PCD的一个法向量， 设平面PAB的法向量为，则， 取，得：，所以是平面PAB的一个法向量， 则， 记两个平面的夹角为，则 （3）存在．如上图可知：，∴， 因为点Q在坐标平面xOy内，可设，则， 由题意知：，∴， 又在坐标平面xOy内，以点D为圆心、半径为2的一段圆弧的方程是， 而点Q在圆弧上，所以有，结合，可得：， ∴点Q的坐标是（，，0），故存在符合题意的点Q． 13．等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图1）．将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图2）． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【分析】（1）等边中，依题意可得，由余弦定理算出，从而得到，所以．结合题意得平面平面，利用面面垂直的性质定理，可证出平面； （2）作于点，连接、，由平面得，所以平面，可得是直线与平面所成的角，即．设，分别在△、△和△中利用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得，解之得，从而得到在上存在点且当时，直线与平面所成的角为． 【详解】证明：（1）因为，，． 由余弦定理得． 因为， 所以．折叠后有． 因为二面角是直二面角， 所以平面平面． 又平面平面，平面，， 所以平面． （2）假设在线段上存在点， 使直线与平面所成的角为． 如图，作于点，连结、． 由（1）有平面，而平面， 所以．又，所以平面． 所以是直线与平面所成的角． 设，则， 在中，， 所以． 在中，，． 由，得． 解得，满足，符合题意． 所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为， 此时． 【点睛】本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题． 14．如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面． (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求的长度，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在；的长度为. 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，由面面垂直的判定可得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量求法可得，可知当时，最大，此时最大，由此可得. 【详解】（1）证明：在菱形中，，为的中点，， 平面平面，且平面平面，平面， 平面，又平面，平面平面． （2）由（1）知：两两互相垂直，则以为坐标原点，射线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，设， ，， 轴平面，平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，则， ，当时，取得最小值，取得最大值， 又在上单调递增，当时，取得最大值， 此时，即的长度为． 15．如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2. (1)证明：. (2)已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）翻折前，在中，，翻折后，有，，利用线面垂直的判定和性质可证得结论成立； （2）由二面角的定义可得，然后以点为坐标原点，、所在直线为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：翻折前，在中，，翻折后，有，， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：因为二面角为，，， 所以，二面角的平面角为， 以点为坐标原点，、所在直线为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则、、、、. ，，，. 设，，其中， 设平面的法向量为， 由得， 取，可得， ，解得，合乎题意， 故当时，直线与平面所成角的正弦值为. 16．已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面. (1)证明：； (2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据为矩形，且是中点得到，利用勾股定理得到，然后利用面面垂直的性质定理得到平面，再结合平面即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据得到，然后利用向量的方法求与平面所成的角的正弦值，列方程求即可. 【详解】（1）依题意矩形，，，是中点， 所以， 又，所以，，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以. （2） 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，， 设是的中点， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，， 假设存在满足题意的，则由. 可得，. 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，，即， 设与平面所成的角为，所以 解得（舍去）， 综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为. 17．如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．      (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先证明，根据线线平行判定定理平面，再由线面平行性质定理证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，设点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的法向量公式计算即可求解. 【详解】（1）在图1中，因为，，， 所以，，又， 所以， 因为，， 所以，故，    在图2中，因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面，所以； （2）由（1）知，，， ，平面，平面, 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故以为坐标原点，分别为轴， 在平面内过点作的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 因为，平面AEB平面BCE，且， 所以点在平面的射影为中点，故，， 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 不妨令，则，， 所以为平面的一个法向量． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 整理得，解得或（舍）， 所以为中点，所以. 18．已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，或． 【分析】（1）通过，证明平面即可得出； （2）以E为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求解. 【详解】解：（1）在图①中，连接，如图所示： 因为四边形为菱形，，所以是等边三角形．因为为的中点，所以，． 又，所以．在图②中，，所以，即． 因为，所以，．又，，平面．所以平面． 因为平面，所以． （2）由（1）知，，．因为，，平面．所以平面．以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系； 则，，，，，所以，， ，，， 所以． 设平面的一个法向量为， 由得，令得． 设平面的一个法向量为．因为，， 由得，令，，，得， 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以， 令，则上式可化为或， 即或，所以或，都满足， 所以或． 19．如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值； （3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案. 【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以. 又，，平面， 所以平面. （2）因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量， 则有 令，得，，所以是平面的一个法向量. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在，使二面角的正弦值为， 即使二面角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为， 故二面角的余弦值为， 则有， 即，解得，. 又因为，所以. 故存在，使二面角的正弦值为 20．如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. （2）因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 21．如图①，在直角梯形中，，，.将沿折起，使平面平面，连，得如图②的几何体. (1)求证：平面平面； (2)若，二面角的平面角的正切值为，在棱上是否存在点使二面角的平面角的余弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的性质得到，然后根据线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据二面角的定义得到为二面角的平面角，根据二面角的正切值得到，，然后根据相似得到，，然后建系，设利用空间向量的方法列方程求即可. 【详解】（1）∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， ∵，，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）由（1）知平面，，而平面，故. ∴为二面角的平面角， 又平面，平面， ∴，， ∴，. 在①，∴， 令，则， 解得.即，. 在①中作，垂足.    则可得，. ∵平面平面，平面，平面平面， ∴平面， 过作，以为原点，，，分别为轴轴轴建立如图直角坐标系，则    ，，，. ，， 设，. 设平面的法向量为，则 ，∴，取，，即， 设平面的法向量为，则 ，取，，.即. . 解得（舍去），或. ∴. 22．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中点，将沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且PB＝PC，如图2所示．F是棱PB上的一点． (1)若F是棱PB的中点，求证：平面PAE； (2)是否存在点F，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取中点，证明即可. （2）首先建立空间坐标系，分别求出两个平面的法向量，再利用已知的二面角即可求解. 【详解】（1）如下图，在上取中点，链接、.由题意知，，所以四边形为平行四边形，所以.又因为分别为中点，所以，且，在平面内，则平面平行于平面，而,则 （2）如下图，以为原点，为轴正向，为轴正方向，垂直平面于的为轴，建立空间直角坐标系. 由图可知，，设，，则，， 设平面的法向量为，则，令解得，即，平面的法向量设为，则，令，得，即. ①，根据题意，，则，又，即，得,代入上式，解得,将、代入①式，解得. ，故存在点. 23．如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； (2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，点在线段上靠近点的三等分点处. 【分析】（1）根据菱形和点，分别是边，的中点得到，，然后利用线面垂直的判定定理得到平面，再结合得到平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得到平面平面； （2）根据几何的知识得到当平面平面时，四棱锥的体积最大，然后根据线面角的定义得到为直线和平面所成角，最后求正弦值即可； （3）设，利用空间向量的方法得到平面与平面所成角的余弦值，然后列方程，解方程得到即可. 【详解】（1）∵四边形为菱形，∴， ∵点，分别是边，的中点， ∴，，，即， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）由题意知，当平面平面时，四棱锥的体积最大， ∵平面平面，，平面平面， 平面. ∴平面，为直线和平面所成角， ∵菱形的边长为4，， ∴，， ∴，. （3） 如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，， 设，则， 设平面的法向量为， ，令，则，， ∴， ∵平面平面，，平面平面， ∴平面，则可以作为平面的一个法向量， ∴，解得， 所以存在点使平面与平面所成角的余弦值为，点在线段上靠近点的三等分点的位置上. 24．如图，四边形为正方形，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角为直二面角，为棱上一点． (1)求直线与所成角； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接、，设，推导出底面，然后以为原点，以、、为、、轴的正方向建立如图空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与所成角； （2）设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：连接、，设，则为的中点， 由已知，，则，， 所以为二面角的平面角，所以，因此， 因为，、平面，故底面． 以为原点，以、、为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设． 则、、、， ，， 所以，故直线与所成角为． （2）解：设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设，其中， ，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 由题意可得， 因为，解得，则，故， 因此，当时，平面与平面夹角的余弦值为. 25．如图1，在△MBC中，BM⊥BC，A，D分别为边MB，MC的中点，且BC＝AM＝2，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB，如图2，连结PB，PC． (1)若E为PC的中点，求异面直线DE与PB所成的角大小； (2)线段PC上一动点G满足，判断是否存在，使得二面角G－AD－P的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）根据题设可得两两互相垂直，构建空间直角坐标系求直线DE与PB的方向向量并求其数量积，即可确定异面直线的夹角. （2）由（1）得，进而求得，再求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知二面角正弦值列方程求参数，即可判断存在性. 【详解】（1）因为，分别为，的中点，则， 因为，则，即． 又，，平面， 所以平面，又， 综上，两两互相垂直． 以为坐标原点，向量为正交基底建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 则，，． 所以，故， 所以异面直线与所成的角大小为. （2）假设存在使二面角的正弦值为，即二面角的余弦值为 由，． 所以，，． 易知：平面的一个法向量为 设平面的法向量，则，令，则， 综上，有，即， 解得，．又，故． 故存在，使二面角的正弦值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$