精品解析：广东省汕头市潮阳中英文学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

潮阳中英文学校2024—2025学年上学期9月月考 高二数学试卷 命题人：钟自恒 （考试时间：120分钟：满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，立刻停止作答，答题卡上交. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直得，即可求出的值. 【详解】. 故选：B. 2. 已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据夹角为钝角，得到且不反向共线，得到不等式，求出答案. 【详解】与的夹角为钝角，故且不反向共线， 则，且， 解得且， 故选：A 3. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】由已知， 故选：D． 4. 已知，，，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为，，，故只需比较，，的大小，结合指数幂的运算性质及幂函数的单调性即可得出结果． 【详解】因为，，，故只需比较，，的大小， ∵，，∴，即； ∵，，∴，即； ∴，又在上递增． ∴，即． 故选：B． 5. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直的性质与判定可证得平面，进而得到，设，，，利用勾股定理可得关于的方程，由方程有且仅有一个范围内的解，由求得的值；以为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，； 设，，， ，，， ，即， 关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为， ，解得：，， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 轴平面，平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ， 由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量法求解二面角的问题；解题关键是能够根据线面垂直的判定与性质证得，从而利用勾股定理构造关于的一元二次方程，根据其根的分布可求得和的长度，进而得到利用向量法求解时所需的线段长度. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系可证得平面，可得点的轨迹为圆，由此即可得． 【详解】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴， 建立空间直角坐标系，，，，，， 故，， ，设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 因为，故平面， 为平面上的动点，直线与直线的夹角为30°， 平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆， 即为点的轨迹，其中， 由对称性可知，，故半径， 故点的轨迹长度为. 故选：C. 7. 如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，与所成角的余弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值. 【详解】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A垂直平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则，， ， 设，， 设与所成角为，则， 设，则有， 由存在，则， 解得，即的最大值为， 所以与所成角的余弦值的最大值为. 故选：C 8. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向量法. 以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，根据各点的坐标写出向量，点，对于点的设法，采用向量式，而后利用异面直线所成的角的向量计算公式列方程求解. 【详解】如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 设，设， 则， ， 异面直线PQ与AD成的角， ， ， ， 即，解得， ， 可得. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是60° D. 与所成角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】 直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断. 【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则 而 ， 所以A正确. =0,所以B正确. 向量, 显然 为等边三角形，则. 所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确 又， 则， 所以，所以D不正确. 故选：AB 【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题. 10. 如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为棱上的点，且，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，点C到平面BDN的距离为 C. 当时，三棱锥外接球的表面积为 D. 对任意，直线与都是异面直线 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，直接求解平面的法向量，判断与法向量是否垂直即可，对于B，直接求解平面的法向量，利用距离公式求解，对于C，连接交于，过作平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，然后利用勾股定理可求出球的半径，从而可求出表面积，对于D，利用异面直线的定义判断即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 对于A，，则，设平面的法向量为， 则，令，则， 所以，所以与不垂直，所以与平面不平行，所以A错误， 对于B，，设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以点C到平面BDN的距离为，所以B正确， 对于C，连接交于，过作平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，设三棱锥外接球的半径为， 则，所以三棱锥外接球的表面积为，所以C正确， 对于D，对任意，因为在平面内，点在平面外，且直线与平面交于点，直线不经过点， 所以直线与都是异面直线，所以D正确， 故选：BCD 11. 已知函数，则“对，使得成立”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求命题成立的充要条件，然后利用取值范围的真包含关系，得充分不必要条件. 【详解】由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以时，， 函数在单调递增，所以时， 对，使得成立，则有， 即，得 对，使得成立的充要条件为， 各选项中，有   则“对，使得成立”的充分不必要条件可以是BCD选项. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数x，y满足，，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，得，，得到，计算范围得到答案. 【详解】设， 故，解得，，，， 故，故. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系O-xyz中，四面体ABCD各顶点坐标分别为，，，.则该四面体外接球的表面积是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，作出辅助线，找到球心，利用半径列出方程，求出半径，进而去除四面体外接球的表面积. 【详解】如图所示，设长方体底面四边形为正方形，边长为2，高为3， 根据图形得到为直角三角形，AC⊥CD， 所以四面体外接球的球心在平面ADC上的投影为斜边AD的中点M， 其中， 设外接球球心为N，则MN⊥平面ADC， 过点B作BH⊥平面ADC，垂足为H，则HMx轴，且HM=1 过点N作NFHM，交BH于点F，则NF=HM=1， 设外接球半径为r，连接NB，NA，则NB=NA=r， 设MN=x，则HF=x，所以BF=3-x， 由勾股定理得：，， 所以，解得：， 所以， 所以该四面体外接球的表面积为 故答案为： 【点睛】对于立体几何的外接球问题，通常处理方法为，找到球心在某个特殊平面上的投影，进而找到球心的位置，设出未知数，根据半径相等列出方程，求出半径，从而求出表面积或体积. 14. 如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为__________，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，第一空：只需证明即可得到平面截正方体所得截面为梯形，进一步结合已知条件求解即可；第二空：结合已知将取得最小值转换为，其中，进一步求出两平面的法向量即可求解. 【详解】由题意以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 第一空：因为分别为的中点，所以， 因为， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，所以，即四点共面， 所以平面截正方体所得截面为梯形，由对称性可知该梯形是等腰梯形， 因为正方体棱长为4， 所以梯形的上底，下底，梯形的腰长为， 所以梯形的高为， 故所求截面面积为； 第二空：由题意，且， 所以， 在中，当时，， 所以表示经过点且法向量为的平面， 即点在平面上， 由以上分析可知，， 若要取得最小值，只需最小，此时，当然也有， 由题意设，而， 设平面法向量为， 所以，令，解得， 所以可取， 显然平面的一个法向量可以是， 二面角的余弦值为. 故答案为：18，. 【点睛】关键点点睛：第二空的关键在于将取得最小值转换为，其中，由此即可顺利得证. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求及； （2）若，，求的值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正切公式求，由和角正切公式求. （2）根据已知角的范围及函数值，结合同角三角函数的平方关系求，，进而应用和角正弦公式求. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 ， . ， . . 16. 已知空间中三点，，． （1）若向量与平行，且，求的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量； （3）求以，为邻边的平行四边形的面积． 【答案】（1）的坐标为或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知可设，利用向量模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）先求向量，再根据投影定义求； （3）利用空间向量的夹角公式求出，结合三角形的面积公式求结论. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； 【小问2详解】 因为，，， 所以，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量， 所以； 【小问3详解】 因为，，， 所以，， 所以， 即，又， 所以， 所以的面积， 所以以，为邻边的平行四边形的面积为． 17. 甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响. （1）求甲在一局中得2分的概率； （2）求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率； （3）求游戏经过两局就结束的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解； （2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解； （3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，②有2人得分为3分，③仅1人得4分，④有2人分别得4分，然后求出每种情况的概率从而可求解. 【小问1详解】 根据题意，画出树状图，如图： 所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）： （剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、 （石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、 （布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、 一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率. 【小问2详解】 游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种： ①第一局甲得2分，第二局甲得1分： 则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分； 由（1）中树状图可知满足情况有： 第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、 第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头） 此时概率为种情况， ②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分， 则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分； 由（1）中树状图可知满足情况有： 第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头） 第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、 此时概率为， 综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率. 【小问3详解】 游戏经过两局就结束总共有4种情况： ①仅1人得3分，记事件为A，则； ②有2人得分为3分，记事件为B， ③仅1人得4分，记事件C： 一人得4分，另两人各负2分：， 一人得4分，一人得负2分，一人得1分：， 一人得4分，另两人各1分：， ； ④有2人分别得4分，记为事件D：则 综上所述：游戏经过两局就结束的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据长度关系先证明，再根据条件证明出平面，由此可得，根据线面垂直的判定定理可完成证明； （2）建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面和平面一个法向量，先计算出法向量夹角的余弦值，则二面角的正弦值可求； （3）设，然后根据与平面法向量夹角的正弦值求解出的值，则的长度可求. 【小问1详解】 因为，所以，且， 所以四边形为矩形，所以， 又因为，，所以， 所以，所以，所以， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面. 小问2详解】 以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 由条件可知，所以， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 所以， 设二面角的平面角为，所以， 故二面角的正弦值为. 【小问3详解】 设，因为，所以， 因为，所以， 取平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以，解得， 因为，所以. 19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． （1）若，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【答案】（1） （2）①；②3 【解析】 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标； ②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 小问1详解】 ， 的斜坐标为． 【小问2详解】 设分别为与同方向的单位向量， 则， ① ②由题， 由，知， 由，知： ， ，解得， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳中英文学校2024—2025学年上学期9月月考 高二数学试卷 命题人：钟自恒 （考试时间：120分钟：满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，立刻停止作答，答题卡上交. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，且，则值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ） A B. C. D. 4. 已知，，，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，与所成角的余弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是60° D. 与所成角的余弦值为 10. 如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为棱上的点，且，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，点C到平面BDN的距离为 C. 当时，三棱锥外接球的表面积为 D. 对任意，直线与都异面直线 11. 已知函数，则“对，使得成立”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数x，y满足，，则的取值范围是___________． 13. 在空间直角坐标系O-xyz中，四面体ABCD各顶点坐标分别为，，，.则该四面体外接球的表面积是___________. 14. 如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为__________，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求及； （2）若，，求的值. 16. 已知空间中三点，，． （1）若向量与平行，且，求的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量； （3）求以，为邻边的平行四边形的面积． 17. 甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响. （1）求甲在一局中得2分的概率； （2）求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率； （3）求游戏经过两局就结束的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． （1）若，求斜坐标； （2）在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $