精品解析：湖南省岳阳市第九中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024年下学期九年级数学第一次月考 考试时间：120分钟；总分：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、5、10 C. 1、2、3、6 D. 25、20、4、5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据两内项之积等于两外项之积逐项分析即可． 【详解】解：A、，能成比例，不符合题意； B、，不能成比例，符合题意； C、，能成比例，不符合题意； D、，能成比例，不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 3. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出． 由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， A、； B、； C、； D、， 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 4. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，熟练掌握比例式和等积式的互化是解题的关键．根据比例式和等积式的互化，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； B、由，得，与已知相符，故此选项比例式成立，符合题意； C、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； D、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意． 故选：B． 5. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，先由一元二次方程定义可得，再结合一元二次方程根的判别式与根的关系即可解决问题． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且； 故选：B． 7. 在同一坐标系中，函数与函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，分及两种情况寻找函数图象是解题的关键．分析当及时，两函数图象经过的象限，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限． 故选：C 8. 如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点，则四边形的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：B． 9. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　） A. AB2＝AP2+BP2 B. BP2＝AP•BA C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义分别进行判断． 【详解】解：P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB•PB或． 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 10. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ） A. 方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程 B. 若关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，则m＋n＝0 C. 若m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程 D. 若2m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程 【答案】B 【解析】 【分析】通过解一元二次方程可对A进行判断；先解方程得到x1=2，x2=-，然后通过分类讨论得到m和n的关系，则可对B进行判断；先解方程，则利用m+n=0可判断两根的关系，则可对C进行判断；先解方程，则利用2m+n=0可判断两根的关系，则可对D进行判断． 【详解】A. 解方程−3x+2=0得x1=1， x2=2，所以A选项的说法正确但不符合题意； B. 解方程得x1=2，x2=-，当−=2×2，4m+n=0；当−=×2，则m+n=0所以B选项的说法错误符合题意； C. 解方程得x1=2，x2=−，而m+n=0，则x2=1，所以C选项的说法正确但不符合题意； D. 解方程得x1=−m，x2=n，而2m+n=0，即n=−2m，所以x1=2x2，所以D选项的说法正确但不符合题意． 故本题选B． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系及一元二次方程的解，熟悉掌握上述知识点是解答本题关键. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 12. 某同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影子长为米，与他相邻的一棵树的影子长为米，则这棵树的高度是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，设这棵树高度为，根据同一时刻物高与影长成正比列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：设这棵树高度为米， 同一时刻物高与影长成正比， ， 解得， 故答案为：． 13. 若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 【答案】2022 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， ，即， 则， 故答案为：2022． 14. 在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】m＜3 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性，列出关于m的不等式，进而即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大， ∴m-3＜0，即：m＜3． 故答案是：m＜3． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数，在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则k＜0，是解题的关键． 15. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________． 【答案】 【解析】 【分析】待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：设， ∵时，， ∴， ∴， ∵， ∴时，随着的增大而减小， 当时，， ∴当时，， 即：为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于； 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质，进行求解，是解题的关键． 16. 在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学共有_____人． 【答案】11 【解析】 【分析】设参加晚会的同学共有x人，则每个同学需送出（x-1）件礼品，根据晚会上共送出礼物110件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加晚会的同学共有x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼品， 依题意，得：x（x﹣1）＝110， 解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 故答案为11． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17. 某种药品连续两次降价后，由每盒200元下调到每盒128元，这种药品每次降价的百分率为_____． 【答案】20% 【解析】 【分析】设这种药品每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】设这种药品每次降价的百分率为， 由题可得：， ， ，（舍）． 故答案为：20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握增长率与下降率问题的求解方法是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，其中，点C为斜边的中点，反比例函数的图象过点C且交线段于点D，连接，若，则k的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点C作轴于E，设，且，求出，推出，再由，求出，，利用梯形面积公式求出，由此得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于E， ∵，，的边在轴正半轴上， ∴设，且， ∴， ∵点为斜边的中点， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式， ∵，点D在线段上， ∴点D的横坐标为m， ∵反比例函数的图象过点D， ∴当时，， ∴， ∴AD=，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2． 【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，各图形面积的计算公式，反比例函数图象上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，正确设出各点的坐标是解题的关键． 三、解答题（19—20题6分，21．22．23题8分，24．25．26题10分，共66分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法． （1）利用因式分解法将原方程转化成两个一元一次方程，解一元一次方程进行求解即可； （2）先移项，然后利用因式分解法将原方程转化成两个一元一次方程，解一元一次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴． 20. 解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，根据已知条件设，先求出求出y的值，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则 ， ∴，， 当时，，解得，； 当时，，，无解； 综上所述，原方程的解为，． 21. 如图，在一长为，宽为的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子、若已知长方体盒子的底面积为，求截去的四个小正方形的边长． 【答案】cm 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设剪掉的正方形的边长为cm，则，据此即可求解； 【详解】解：设剪掉的正方形的边长为cm， 则， 解得（不合题意，舍去） 答：剪掉的正方形的边长为cm． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】（1）只要证明△>0恒成立即可； （2）由题意可得，进行变形后代入即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，方程的两实根为， ， ， 即， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的存在条件的应用，属于基础试题. 23. 某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． （1）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ （2）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 【答案】（1）每箱饮料售价应定为55元 （2）该超市不能每月获得880元的利润 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用； （1）设每箱饮料降价x元，根据总利润销售量单个的销售利润，列出方程求解即可； （2）设每箱饮料降价y元，根据总利润销售量单个的销售利润，列出方程，判断判别式的符号即可； 解题的关键是熟练掌握总利润销售量单个的销售利润，列出方程． 【小问1详解】 解：设每箱饮料降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 答：每箱饮料售价应定为55元； 【小问2详解】 解：该超市不能每月获得880元的利润，理由如下： 设每箱饮料降价y元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴该超市不能每月获得880元的利润． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数解析式和一次函数解析式； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接 ，，求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（）把代入即可求出反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求出点坐标，把坐标代入即可求出一次函数解析式； （）根据函数图象即可求解； （）求出点坐标，由计算即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为； 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：观察函数图象可得，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，连接、， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 25. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知． （1）求直线的解析式； （2）求反比例函数的解析式； （3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案； （2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可； （3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案. 【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上， 则 设直线为： 则 所以直线为： （2） 轴， ． 所以反比例函数为： （3）设 而为的中点， 【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键. 26. 定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股四边形． （1）如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，点在轴负半轴上，为直角坐标平面上一点． ①分别求出两点的坐标； ②如图，当四边形是平行四边形时，请证明平行四边形是勾股四边形． （2）在（）的条件下，当以为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）①，； ②证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴平行四边形是勾股四边形； （2）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（）①联立函数解析式解方程组即可求解； ②利用两点距离公式求出，进而由勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质证明即可求证； （）设点的坐标为， 分、、和四种情况，利用全等三角形的性质和平移的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：①由，解得，， ∴，； ②略 【小问2详解】 解：由（）知，，，， 设点的坐标为， ①如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； ②如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； ③如图，当时，设直线与轴交于点，过点作轴于点，作轴，过点作于点，则， ∵直线， 令，则， 解得， ∴， ∵，轴， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴； ④如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数交点问题，勾股定理及逆定理，平移的性质等知识，运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期九年级数学第一次月考 考试时间：120分钟；总分：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、5、10 C. 1、2、3、6 D. 25、20、4、5 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 在同一坐标系中，函数与函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点，则四边形的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 3 9. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　） A. AB2＝AP2+BP2 B. BP2＝AP•BA C. D. 10. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ） A. 方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程 B. 若关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，则m＋n＝0 C. 若m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程 D. 若2m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若，则______． 12. 某同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影子长为米，与他相邻的一棵树的影子长为米，则这棵树的高度是______米． 13. 若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 14. 在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是________． 15. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________． 16. 在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学共有_____人． 17. 某种药品连续两次降价后，由每盒200元下调到每盒128元，这种药品每次降价的百分率为_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，其中，点C为斜边的中点，反比例函数的图象过点C且交线段于点D，连接，若，则k的值为______． 三、解答题（19—20题6分，21．22．23题8分，24．25．26题10分，共66分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解方程：． 21. 如图，在一长为，宽为的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子、若已知长方体盒子的底面积为，求截去的四个小正方形的边长． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，且，求m的值． 23. 某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． （1）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ （2）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数解析式和一次函数解析式； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接 ，，求的面积． 25. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知． （1）求直线的解析式； （2）求反比例函数的解析式； （3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积． 26. 定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股四边形． （1）如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，点在轴负半轴上，为直角坐标平面上一点． ①分别求出两点的坐标； ②如图，当四边形是平行四边形时，请证明平行四边形是勾股四边形． （2）在（）的条件下，当以为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $