精品解析：重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年八年级上学期定时训练数学试题

西南大学附中2024-2025学年度上期 初二数学定时训练2 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题；（本大题10个小题，每小题4分，共40分）每小题只有一个正确选项，请将答案填写至答题卡中的对应位置． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中错误的是（ ）． A. 等边三角形是等腰三角形 B. 三角形的高、中线、角平分线都是线段 C. 等腰三角形的高线、中线和角平分线互相重合 D. 钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点 3. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 9 D. 6 4. 如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．若．则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 6. 如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（ ） A. 69 B. 73 C. 77 D. 83 8. 如图，等边中，，与交于，，垂足为，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形内，，，，，（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 新冠病毒的直径大约是0.00000016米，呈圆形或者椭圆形，主要通过呼吸道进行传播．数据0.00000016用科学记数法表示为___________． 12. 计算：. 13. 一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为__________． 14. 在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的底角为__________． 15. 若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值的和为__________． 16. 如图，等边三角形中，D为上一点，E为延长线上一点，交于点F，且．若，则的长为__________． 17. 如图，在等边中，点D为线段上一点，，连接，点E为线段下方一点，连接，且，，连接交于点M，点F为线段延长线上一点，，连接．已知，则的长为______． 18. 对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称为“满天星数”．对于一个“满天星数”，同时将的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数，规定：．对于任意四位自然数（是整数且，，c，），规定：．已知是“满天星数”，其中的千位数字为（是整数且），个位数字为7；的百位数字为5，十位数字为（是整数且）．若能被11整除且，则的最大值为__________． 三、计算题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1）； （2）． 20. 解方程 （1） （2） 四、解答题（本大题6个小题，共62分） 21. 如图，在直角中，． （1）尺规作图：作的平分线，交AC于点，在AB上截取，连接DE（只保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求AC的长．请将以下推导过程补充完整． 解：∵BD平分， ∴______ 在和中， ∴ ∴，______． ∴． 在中，． ∴______． ∴． 22. 先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中取一个使原式有意义的值代入求值． 23. 正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修，如果甲工程队修所用的天数是乙工程队修所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少？ （2）现计划再修建长度为的道路，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天所需费用为万元，乙队每天所需费用为万元，求在总费用不超过万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？ 24. 如图，在和中，，，，且点D在线段上 （1）求证：； （2）若，求的度数． 25. 如图，中，，，是上一点（不与重合），于，求证：． 26. 在等边 中，点、分别是、上的点，，与交于点． （1）如图1，填空：__________度； （2）如图2，以为边作等边，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，判断与有什么数量关系？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中2024-2025学年度上期 初二数学定时训练2 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题；（本大题10个小题，每小题4分，共40分）每小题只有一个正确选项，请将答案填写至答题卡中的对应位置． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列说法中错误的是（ ）． A. 等边三角形是等腰三角形 B. 三角形的高、中线、角平分线都是线段 C. 等腰三角形的高线、中线和角平分线互相重合 D. 钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角形的分类方法，三角形中线，角平分线，高的定义，熟知相关知识是解题的关键．根据三角形的分类方法，三角形中线，角平分线，高的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、等边三角形是等腰三角形，原说法正确，不符合题意； B、三角形的高、中线、角平分线都是线段，原说法正确，不符合题意； C、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，原说法错误，符合题意； D、钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】如图：过D作DF⊥AB于F,然后根据角平分线的性质可得DF=CD=3,然后再根据中点的定义求得BE的长，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过D作DF⊥AB于F, ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D， ∴DF=CD=3 ∵点E为AB的中点， AB＝12 ∴BE=AB=6 ∴△DBE的面积为 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线定理、中点的定义、三角形的高等知识点，作出△DBE的高并运用角平分线定理求出成为解答本题的关键． 4. 如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．若．则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质及中点的定义得到，，，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积的有关计算，连接，先根据，求出，设，得出， ，，即可求出结果． 【详解】解：连接， ， ， ∴， 设， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 6. 如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交于点，则，，，所以是等边三角形，则，求得，而，所以，可证明，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交于点，则， 是边长为的等边三角形， ，，，， 是等边三角形， 又点是边的中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的长为， 故选：D． 7. 下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（ ） A. 69 B. 73 C. 77 D. 83 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案． 【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1）， 第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3， 第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4， 第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5， 第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6， …… 第⑨个图形中三角形的个数为5+2×8+3+4+5+6+7+8+9+10=73 第n个图形中三角形的个数为5+2×(n-1)+3+4……+(n+1)（n>1） 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出每次变换增加个数规律,列出代数式． 8. 如图，等边中，，与交于，，垂足为，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质，，得到，可得，，根据三角形的外角，则，根据，求出，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，得到，最后根据，即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 9. 如图，在四边形内，，，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是延长到点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得，根据等边三角形的判定和性质，求出，根据等腰三角形的性质，则，最后根据，即可． 【详解】解：延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，是公共边， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得OB=OC，则有∠OBD=∠OCD，∠APO=∠OCP，进而根据角的关系可证①，然后可得∠PBO=∠PBA+∠APO，由三角形内角和可得∠OPB=60°，可判断②，在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，由此可得AP=PE=AE，∠APE=60°，进而可证△BPE≌△OPA，然后根据全等三角形的性质可判断③，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°， ∴OB=OC， ∴∠OBD=∠OCD， ∵OB=OP， ∴OC=OP， ∴∠APO=∠OCP， ∵∠OCP-∠OCB=∠ACB=30°， ∴，故①正确； ∵OP=OB， ∴∠OPB=∠PBO， ∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°， ∴∠PBO=∠PBA+∠APO， ∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°， ∴2∠OPB+60°=180°， ∴∠OPB=60°， ∴△BPO是正三角形，故②正确； 在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示： ∵∠PAE=60°， ∴△PAE是等边三角形， ∴AP=PE=AE，∠APE=60°， ∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO， ∴∠BPE=∠OPA， ∵OP=BP， ∴△BPE≌△OPA（SAS）， ∴BE=AO， ∵AB-BE=AE， ∴AB-OA=AP， ∴，故③正确； 延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF， ∴△ABF是等边三角形， ∴∠ABF=60°， ∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°， ∴∠PBA=∠OBF， ∵PB=OB，AB=BF， ∴△APB≌△FOB（SAS）， ∴， 如要证，需证，由题意无法证明，故④错误； 所以正确的个数有3个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 新冠病毒的直径大约是0.00000016米，呈圆形或者椭圆形，主要通过呼吸道进行传播．数据0.00000016用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000016=1.6×10-7 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键是掌握用科学记数法表示较小的数的方法，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】先分别根据零指数幂、负指数幂、绝对值的意义计算，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：原式= ． 【点睛】本题主要考查了零指数幂、负指数幂、绝对值的意义的计算，熟练掌握实数的相关运算法则是解题的关键． 13. 一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】设边数为n，外角为x度，则0＜x＜180，根据多边形的内角和与它的一个外角的和为570°列出方程，即可解答． 【详解】解：设边数为n，一个外角为x度，则0＜x＜180， 根据题意，得（n−2）•180°＋x°＝570°， 解得n＝， ∵n为正整数， ∴930−x必为180的倍数， 又∵0＜x＜180， ∴n＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件． 14. 在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的底角为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．根据题意分两种情况，当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，分别讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况， 当是锐角三角形时，如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 当是钝角三角形时，如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的底角为或． 故答案为：或． 15. 若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式和分式方程的知识，解题的关键是先求解出一元一次不等式的解集，求出，然后求出分式方程的解，根据关于分式方程有非负整数解，则且，确定的取值，即可． 【详解】解：令， 解不等式①得：， 解不等式②得：； ∵一元一次不等式组有解， ∴， 解得：， ， 去分母得：， ， ， ∵关于分式方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∴且， ∵为非负整数，为整数， ∴可以取，，， ∴符合条件的所有整数的值的和为：． 故答案为：． 16. 如图，等边三角形中，D为上一点，E为延长线上一点，交于点F，且．若，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，作，交于M，得为等边三角形，再证得到；根据，，可得，由此得出，最后根据即可求得的长． 【详解】解：如图，作，交于M， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴. ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：4． 17. 如图，在等边中，点D为线段上一点，，连接，点E为线段下方一点，连接，且，，连接交于点M，点F为线段延长线上一点，，连接．已知，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由等边三角形的性质得，则，可证明，得，再证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵是等边三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， 故答案为：4． 18. 对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称为“满天星数”．对于一个“满天星数”，同时将的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数，规定：．对于任意四位自然数（是整数且，，c，），规定：．已知是“满天星数”，其中的千位数字为（是整数且），个位数字为7；的百位数字为5，十位数字为（是整数且）．若能被11整除且，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式运算、因式分解的应用，理解“满天星数”的定义并根据题意进行计算是解题关键．根据题意，可知，，易知，，则有，根据能被11整除且，，，可得是11的倍数，所以或或，然后分别计算以及的值，比较即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ， ∴， ， ∴， ∵能被11整除且，，， ∴是11的倍数， ∴或或， ∴或或， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 三、计算题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减，解题的关键是掌握整式的加减运算，单项式乘以多项式，平方差和完全平方公式的应用，即可． （1）先计算，然后单项式乘以多项式，最后合并同类项，即可； （2）先通分，然后化除为乘，进行化解，即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）原方程无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法． （1）等号左右两边同时乘以公因式，然后去小括号，合并同类项，最后系数化为，即可； （2）先合并小括号，然后化除为乘，去分母，合并同类项，最后系数化为 ，即可． 【小问1详解】 解：， ， 等号左右两边同时乘以公因式 得：， 去小括号得：， 系数化为得：， 经经验：是原方程的增根，原方程无解． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 去分母得：， 移项得：， 系数化为得：． 经经验：是原方程的解． 四、解答题（本大题6个小题，共62分） 21. 如图，在直角中，． （1）尺规作图：作的平分线，交AC于点，在AB上截取，连接DE（只保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求AC的长．请将以下推导过程补充完整． 解：∵BD平分， ∴______ 在和中， ∴ ∴，______． ∴． 在中，． ∴______． ∴． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先作的平分线得到，然后截取，从而得到； （2）先证明得到，，再在中利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，然后计算即可． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 平分， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ． ． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质． 22. 先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中取一个使原式有意义的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式和一元一次不等式组的知识，解题的关键是根据，对分式进行化简，然后求出一元一次不等式组解集，根据分式有意义的性质，取合适的代入，即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 令， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴不等式的解集为：，其整数解为1和2， ∵时，分式无意义， ∴当时，原式． 23. 正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修，如果甲工程队修所用的天数是乙工程队修所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少？ （2）现计划再修建长度为的道路，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天所需费用为万元，乙队每天所需费用为万元，求在总费用不超过万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？ 【答案】（1）甲工程队每天修，乙工程队每天修 （2）至少安排乙工程队施工天 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天修，则甲工程队每天修，根据题意列出分式方程计算并检验即可； （2）设安排乙工程队施工天，则甲施工天，根据题意列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设乙工程队每天修，则甲工程队每天修， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天修，乙工程队每天修； 【小问2详解】 解：设安排乙工程队施工天，则甲施工天， 由题意得：， 解得， 的最小值为， 答：至少安排乙工程队施工天． 24. 如图，在和中，，，，且点D在线段上 （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）由可得，再结合，即可解题； （2）根据，，可得，从而求得的值，再根据可得到，从而求得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 和均为等腰直角三角形， ， ， ， 由（1）可知：， ， ． 25. 如图，中，，，是上一点（不与重合），于，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，正确做出辅助线构造等边三角形是解题关键．取中点，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可证明，再证明，易得为等边三角形，即可证明结论． 【详解】证明：取中点，连接，如图， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 26. 在等边 中，点、分别是、上的点，，与交于点． （1）如图1，填空：__________度； （2）如图2，以为边作等边，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，判断与有什么数量关系？并说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，三角形三边的关系，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，找到图中的全等三角形，进行解答，即可． （1）根据等边三角形的性质，则，，根据全等三角形的判定和性质，则，根据三角形的外角和，即可； （2）根据等边三角形的性质，，，，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，根据三角形三边的数量关系，即可； （3）延长交于点，同（1）证明，得到，根据等边三角形的性质，角之间的数量关系，得到，根据平行线的判定和性质，则，，根据全等三角形的判定和性质，则，根据，，全等三角形的判定和性质，，推出，即可 【小问1详解】 解：∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：证明，如下： 解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： 延长交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $