精品解析：重庆市垫江中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

垫江中学2024年秋期初2022级定时作业（1） 数学试题 （满分150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列有理数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 2. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（　　） A. ac＜0 B. a﹣b+c＞0 C. b=﹣4a D. a+b+c＞0 8. 下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑬中共有n个小三角形，这里的（ ） A. 110 B. 112 C. 114 D. 116 9. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，且AE＝2，BE 的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为（　　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 4 10. 数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法： ①对，进行“运算”的结果是，则的值是； ②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是； ③对，，，进行“运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每题4分，共32分） 11. _______． 12. 若一个正多边形的内角都是，则这个正多边形是______边形． 13. 某药品原价每盒25元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是多少？设该药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程为______． 14. 若二次函数的图象过点，，三点，则，，的大小关系是__________．（用“”符号连接） 15. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是__________． 16. 如图，在等腰中，，是的垂直平分线，线段，则的长为__．     17. 已知关于的一元一次不等式组有且仅有2个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值之积为______． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，，是“天天向上数”：又如3465，∵，不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时_____________；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为_____________． 三、解答题（19题8分，其余每题10分，共78分） 19. （1）解一元二次方程： （2）计算：． 20. 如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，，①__________ ∴． 又∵、分别平分、． ∴，． ∴ 在和中： ∴， ∴，③__________ ∴ ∴④____________________ ∵ ∴，． ∴四边形是平行四边形（⑤____________________）（填依据） 21. 某学校团委举行了以“热血青春逐梦想，挺膺担当筑韶华”为主题的建国知识竞赛活动.为了了解七、八年级学生对建国知识的掌握情况，现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩得分用表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），将学生的比赛成绩分为，，，四个等级，分别是：.，.，.，..下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20名学生的竞赛成绩分别是：100，97，97，96，94，94，94，92，91，90，90，89，88，88，87，85，83，82，82，81； 八年级被抽取的20名学生的竞赛成绩在等级中的数据分别是：90，91，92，93，93，94； 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 90 90 八年级 90 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有1500人、八年级有1600人参加了这次竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次竞赛成绩为优秀的共有多少人？ 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）若方程的一个根是2，求的值； （2）求的取值范围． 23. 某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． （1）求A，B两款电器每台的售价； （2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 24. 如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度沿折线A→B→C运动，当点P运动到点C时停止运动．设运动时间为x秒，的长度为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时自变量x的取值范围． 25. 如图1，抛物线与x轴，y轴分别交于，，C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）若P点在第一象限的抛物线上，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． （3）点在第一象限的抛物线上，连接．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 26. 已知，在中，，是边上一点． （1）如图1，点D是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转至，连接．若，求的面积． （2）如图2，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，取的中点N，连接．求证：． （3）如图3，连接为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点Q是点P关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点G是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 垫江中学2024年秋期初2022级定时作业（1） 数学试题 （满分150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列有理数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握比较有理数大小的方法．根据有理数的大小比较选出最小的数． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A． 2. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 3. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：B 4. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故A选项错误； B、不是一元二次方程，故B选项错误； C、不是一元二次方程，故C选项错误； D、是一元二次方程，故D选项正确． 故选：D． 5. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】A 【解析】 【分析】首先得出，进而求出的估计值． 【详解】解：， ， 的值在2到3之间． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了估算无理数，得出的取值范围是解题关键． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键．根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线， 当时，， 抛物线的顶点坐标是， 故选：C 7. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（　　） A. ac＜0 B. a﹣b+c＞0 C. b=﹣4a D. a+b+c＞0 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对A进行判断；利用x=-1时，y＜0可对B进行判断；利用抛物线的对称轴方程可对C进行判断；利用x=1时，y＞0对可D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＞0， ∴ac＜0，所以A选项的判断正确； ∵x=-1时，y＜0， ∴a-b+c＜0，所以B选项的判断错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=-=2， ∴b=-4a，所以C选项的判断正确； ∵x=1时，y＞0， ∴a+b+c＞0，所以D选项的判断正确． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 8. 下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑬中共有n个小三角形，这里的（ ） A. 110 B. 112 C. 114 D. 116 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图形中数的变化找出变化规律是解题的关键． 列出部分图形中三角形的个数，根据数据的变化找出变化规律即可得出结论． 【详解】解：设图形中三角形的个数是为正整数）， ， ， ， ， ． 故选：D． 9. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，且AE＝2，BE 的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为（　　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接CE，根据线段中点的定义求出DE、AD，根据矩形的对边相等可得BC＝AD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE＝BC，再利用勾股定理列式求出CD，然后根据矩形的对边相等可得AB＝CD． 【详解】解：如图，连接CE， ∵点E是AD中点， ∴DE＝AE＝2，AD＝2AE＝2×2＝4， ∴BC＝AD＝4， ∵BE 的垂直平分线MN 恰好过点C， ∴CE＝BC＝4， 在Rt△CDE中，由勾股定理得，, ∴AB＝CD＝, 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形． 10. 数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法： ①对，进行“运算”的结果是，则的值是； ②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是； ③对，，，进行“运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键． ①根据“运算”的运算方法进行运算，即可判定； ②根据“运算”的运算方法进行运算，即可判定； ③首先根据“运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】解：①由题意，，可得或，故①错误； ②由题意， ∴，故②错误； ③对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， ，，的“运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种， 故③错误； ∴①②③都错误，正确的没有． 故选：A． 二、填空题（每题4分，共32分） 11. _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂的运算是解题的关键． 先分别计算负整数指数幂，零指数幂，然后求和即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若一个正多边形的内角都是，则这个正多边形是______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式进行计算即可得解． 【详解】解：设这个正多边形是n边形． ∴正多边形的内角和为， ∵一个正多边形的内角都是， ∴，解得， 即这个多边形是八边形． 13. 某药品原价每盒25元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是多少？设该药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，两次降价后为，列出方程即可． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，由题意可得： 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程． 14. 若二次函数的图象过点，，三点，则，，的大小关系是__________．（用“”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可知，二次函数开口向上，对称轴为轴，则离对称轴越远函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为轴， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数的图象过点，，三点，且， ∴， 故答案为：． 15. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是， 故答案为：． 16. 如图，在等腰中，，是的垂直平分线，线段，则的长为__．     【答案】8 【解析】 【分析】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B＝∠C＝30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝CD，然后求出∠CAD＝30°，再求出∠BAD＝90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD＝2DE，BD＝2AD，代入数据进行计算即可． 【详解】解：连接， 在等腰中，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 的长为． 故答案为：8.     【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟练运用相关性质，得出线段之间的关系是解题的关键． 17. 已知关于的一元一次不等式组有且仅有2个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值之积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再根据分式方程的整数解确定的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是： 不等式组有且仅有2个整数解， ， ； ， ， ， 当时，原分式方程无解， 当时，即时，， ， ， 解得：，即 分式方程有正整数解，即有正整数解， ∴或或或， 解得：或（舍去）或或， ∵， 或， ∴满足条件的整数的值之积为． 故答案为：． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，，是“天天向上数”：又如3465，∵，不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时_____________；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、整式的加减的应用，根据“天天向上数”定义计算即可得出的值，根据“天天向上数”的定义得出，由题意得出，结合、、、的取值得出或或，再分别求解即可得出答案，理解“天天向上数”定义是解此题的关键． 【详解】解：∵一个“天天向上数”为， ∴， ∴， 解得：； ∵如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”， ∴， ∴， ∵一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除， ∴ ， ∴（为正整数）， 由题意得：，，，， ∴， ∵的和为偶数， ∴或或， 当时，解得或或或， ∵， ∴当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时，，即这个“天天向上数”为； 当时，解得或或或， ∵， ∴当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，解得， ∵， ∴当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 综上所述，符合题意的“天天向上数”为，，，， ∵， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（19题8分，其余每题10分，共78分） 19. （1）解一元二次方程： （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，分式的混合计算： （1）利用公式法解方程即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解；（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2） ． 20. 如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，，①__________ ∴． 又∵、分别平分、． ∴，． ∴ 在和中： ∴， ∴，③__________ ∴ ∴④____________________ ∵ ∴，． ∴四边形是平行四边形（⑤____________________）（填依据） 【答案】（1） 如图，为所求作的角平分线； （2）①；②；③；④；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据作一个角的平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）证明，得出，，证明，得出，根据，，得出四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴，， ∴ 在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ）． 故答案为：①；②；③；④；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 21. 某学校团委举行了以“热血青春逐梦想，挺膺担当筑韶华”为主题的建国知识竞赛活动.为了了解七、八年级学生对建国知识的掌握情况，现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩得分用表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），将学生的比赛成绩分为，，，四个等级，分别是：.，.，.，..下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20名学生的竞赛成绩分别是：100，97，97，96，94，94，94，92，91，90，90，89，88，88，87，85，83，82，82，81； 八年级被抽取的20名学生的竞赛成绩在等级中的数据分别是：90，91，92，93，93，94； 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 90 90 八年级 90 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有1500人、八年级有1600人参加了这次竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次竞赛成绩为优秀的共有多少人？ 【答案】（1），， （2） 八年级学生竞赛成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数、众数均和优秀率高于七年级，所以八年级的成绩更好； （3）780人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数等概念是关键． （1）根据中位数，众数定义可得，的值，根据优秀率的定义可得的值； （2）根据平均数，众数、中位数以及优秀率的意义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 【小问1详解】 七年级20名学生的比赛成绩中，94出现的次数最多，故众数； 把八年级20名学生的比赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是91、92，故中位数， ， ， 故答案为：94，91.5，30； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （名， 答：估计七年级、八年级学生参加此次征文比赛成绩为优秀的共大约有780人． 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）若方程的一个根是2，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）且 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式． （1）把代入一元二次方程，求出的值即可； （2）根据一元二次方程有两个实数根可知，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入 得：， 解得； 【小问2详解】 解：一元二次方程 有两个实数根， ， 解得． 23. 某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． （1）求A，B两款电器每台的售价； （2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 【答案】（1）A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元 （2）每台A款电器应降价40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，根据“顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台”列出分式方程，解方程即可； （2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到10800元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【小问1详解】 解：设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元； 【小问2详解】 解：设每台A款电器应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽可能减少库存， 取． 答：每台A款电器应降价40元． 24. 如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度沿折线A→B→C运动，当点P运动到点C时停止运动．设运动时间为x秒，的长度为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示 该函数的一条性质：当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大． （3） 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，一次函数的图象和性质，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）分两种情况，当点P在上时，即时，，当点P在上时，即时，由的长列出函数解析式即可； （2）由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论； （3）由（2）中的图象与直线的交点坐标可得出答案． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴当点P在上时，即时，， 当点P在上时，即时，， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图：直线与的图象交于， ∴当时， 25. 如图1，抛物线与x轴，y轴分别交于，，C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）若P点在第一象限的抛物线上，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． （3）点在第一象限的抛物线上，连接．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，利用分割法表示出的面积，转化为二次函数求最值即可； （3）求出的坐标，得到轴，，进而推出，设直线与轴交于点，证明，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：把，，代入，得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，当时，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则， ∴， ∴； ∴当时，有最大值，此时； 【小问3详解】 存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴， ∵， ∴轴，， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设直线与轴交于点，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得，直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数求最值，全等三角形的判定和性质等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 26. 已知，在中，，是边上一点． （1）如图1，点D是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转至，连接．若，求的面积． （2）如图2，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，取的中点N，连接．求证：． （3）如图3，连接为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点Q是点P关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点G是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1）2 （2） 证明：如图2，过点作，交直线于点，过点作，交于， ∵， ，，， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， 将绕点顺时针旋转至， ，， ， ， ， ， ， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，可得，由三角形的面积公式可求解； （2）作辅助线如解析图，证明，可得，，进一步可得，，证明，可得，从而可得结论； （3）作辅助线如解析图，可得点，，三点共线时，有最小值，由折叠的性质可得，点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点落在线段上时，有最小，然后由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求解． 【小问1详解】 如图1，过点作直线于， 将绕点逆时针旋转至， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，作点关于的对称点，连接，， 点是点关于直线的对称点，连接，交于点， ，平分，垂直平分， 是等边三角形， ，， 点与点关于对称， ，，， ∴， 为等边三角形，， 当点，，三点共线时，有最小值， 为等边三角形，， 垂直平分， 在中， ，设， ，， ∵ ∴ ，， ，， ∴， 将沿所在直线翻折得到， ，， ∴， ∴当点落在线段上时，有最小值，此时，，   ∴， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，确定点的位置是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $