精品解析：江苏省南京市玄武区2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年第一学期八年级数学学科阶段作业单（10月） 注意事项： 1．本作业单共6页，满分100分，时间为100分钟，答题全部答在答题卡上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形： 其中轴对称图形的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 如图，，，与相交于点，则图中有（ ）对全等三角形． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的外角，，和的平分线相交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，等腰的面积为，底边长为，腰的垂直平分线交于点，交于点，为的中点，为直线上的动点，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 随的值而定 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是______． 8. 如图，已知，且点B与点D对应，点C与点E对应，点D在上，，，则的度数是______． 9. 轴对称的基本性质是，成轴对称的两个图形中，______． 10. 如图，在等边中，，与相交于点，则的度数是_____． 11. 如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于__________． 12. 如图，点I为的平分线和的平分线的交点，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 13. 如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度． 14. 已知和一点，，，，则______． 15. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 16. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC. （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由. 18. 如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件： ①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD． （1）上述三个条件中，哪两个条件　 　可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形． 19. 证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小颖根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：在和中，，，与分别为，边上的中线且 ．求证： ． 请补全已知和求证部分，并写出证明过程． 20. 已知：如图，线段和射线有公共端点． 求作：点，使点在射线上，且为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹） 21. 如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 22. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 23. 如图，四边形中，，，E、F分别是的中点．请你猜想与的位置关系，并给予证明． 24. 如图，已知点为内一点，用两种不同方法利用直尺和圆规确定一条过点的直线，分别交于点，使得．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 25. 如图，D是△ABC边BC上的点，连接AD，∠BAD＝∠CAD，BD＝CD． 用两种不同方法证明AB＝AC． 26. 直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F． （1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数； （2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程． 附加题 27. （1）如图①，△ABC是等边三角形，M为边BC的中点，连接AM，将线段AM顺时针旋转120°，得到线段AD，连接BD；点N在BC的延长线上，且CN＝MC，连接AN．求证：BD＝AN． （2）若将问题（1）中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”，其他条件不变，结论还成立吗？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请举反例． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期八年级数学学科阶段作业单（10月） 注意事项： 1．本作业单共6页，满分100分，时间为100分钟，答题全部答在答题卡上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形： 其中轴对称图形的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】对每个图形逐一分析，能够找到对称轴的图形就是轴对称图形． 【详解】从左到右依次对图形进行分析： 第1个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 第2个图在水平方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 第3个图找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 第4个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 因此，第1、2、4都是轴对称图形，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴． 2. 如图，，，与相交于点，则图中有（ ）对全等三角形． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用全等三角形的判定及性质做题，做题时，从已知开始结合全等的判定方法由易到难逐个找寻，要不重不漏． 【详解】解：，， 又， ， 进而可得，，，共4对． 故选：C． 3. 如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件判断，然后根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 4. 如图，是的外角，，和的平分线相交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理与角平分线的判定定理．过点E作交延长线于F，作于G，作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后求出，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出是的平分线，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：过点E作交延长线于F，作于G，作于H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴． 故选：B． 5. 如图，等腰的面积为，底边长为，腰的垂直平分线交于点，交于点，为的中点，为直线上的动点，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，根据垂直平分线的性质可得，即A、M、D三点共线时，最小值为的长，根据面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴， 即A、M、D三点共线时，最小值为的长， ∵，点D为的中点， ∴，， ∵等腰的底边长为，面积为， ∴ ∴， ∴周长的最小值为， 故选：D． 6. 如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 随的值而定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，，，可证，得到，又可得，即得到是以为边长的钝角三角形，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，，， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴是以为边长的钝角三角形， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识，先由等腰三角形的性质分类讨论，再结合周长公式及三角形三边关系求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识是解决问题的关键． 【详解】解：由等腰三角形性质，分两种情况： 当腰是时，三角形的边长为，则该等腰三角形的周长是； 当腰是时，边长为，则由构成三角形的三边关系可知三条边长不能构成三角形，此种情况不存在； 故答案为：12． 8. 如图，已知，且点B与点D对应，点C与点E对应，点D在上，，，则的度数是______． 【答案】##38度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据全等三角形的性质得出，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出和，再根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 又， ． 故答案为： 9. 轴对称的基本性质是，成轴对称的两个图形中，______． 【答案】对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的基本性质，根据成轴对称图形的基本性质解答即可． 【详解】解：轴对称的基本性质，成轴对称的两个图形中，对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． 故答案为：对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． 10. 如图，在等边中，，与相交于点，则的度数是_____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．根据题目已知条件可证，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解． 【详解】解：∵等边， ∴，， 在与中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用“直角三角形斜边中点到三顶点距离相等”得出等腰三角形，再结合等腰三角形底角相等和三角形外角等于不相邻两内角和推导角度． 由且E为中点，得，故；由得，再利用三角形外角性质得，，计算得角度． 【详解】解：由条件可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，点I为的平分线和的平分线的交点，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】连接AI，BI，由点I为△ABC的内心，得到AI平分∠CAB，根据角平分线的定义得到∠CAI=∠BAI．根据平移的性质得到AC∥DI，由平行线的性质和等角对等边得到AD=DI，BE=EI，根据三角形的周长公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：连接AI，BI， ∵点I为△ABC的内心， ∴AI平分∠CAB， ∴∠CAI=∠BAI． 由平移得：AC∥DI， ∴∠CAI=∠AID． ∴∠BAI=∠AID， ∴AD=DI． 同理可得：BE=EI， ∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB， 因为，即图中阴影部分的周长为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平移的性质、等腰三角形的判定和平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义、平移的性质和平行线的性质和等角对等边． 13. 如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度． 【答案】56 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ． 【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°， ∵∠B＝22°， ∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−22°＝68°， 由作法可知，AG是∠BAC的平分线， ∴∠BAG＝∠BAC＝34°， ∵PQ是AB的垂直平分线， ∴△AGQ是直角三角形， ∴∠AGQ＋∠BAG＝90°， ∴∠AGQ＝90°−∠BAG＝90°−34°＝56°， 故答案为：56． 【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键． 14. 已知和一点，，，，则______． 【答案】40或80 【解析】 【分析】分两种情形：当点O在△ABC内部时或外部时分别求解． 【详解】如图，当点O在△ABC内部时， ∵OA=OB=OC，，， ∴∠OAB=∠OBA=20°，∠OBC=∠OCB=30°， ∴∠AOC=∠1+∠2 =∠OAB+∠OBA +∠OBC+∠OCB =100°， ∴∠OCA==40°； 如图，当点O在△ABC外部时， ∵OA=OB=OC，，， ∴∠OAB=∠OBA=20°，∠OBC=∠OCB=30°， ∴∠AOC=∠DOC-∠DOA =∠OBC+∠OCB-(∠OAB+∠OBA ) ， ∴∠OCA==80°． 故答案为：40或80． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 【答案】18 【解析】 【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可． 【详解】解：解：如图，连接BF， ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点， ∴∠DBF=∠DBE=30°， 又∵∠ABC=30°， ∴∠CBF=60°， ∴即射线BF的位置是固定的， ∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°， ∴BF=BC. ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6， ∴AB=2AC=12，BC=， ∴BF=， 设BD=2x，则DF=x， ∴，即，解得x=3 ∴BD=6 ∴的周长为18． 故填：18． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键． 16. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，， 由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时， ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC. （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由. 【答案】 （1）证明：∵BF=EC， ∴BF+CF=CF+CE， ∴BC=EF ∵AB=DE，AC=DF ∴△ABC≌△DEF（SSS） （2）AB∥DE，AC∥DF，理由如下， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE， ∴AB∥DE，AC∥DF. 【解析】 【分析】（1）利用SSS即可判定△ABC≌△DEF； （2）AB∥DE，AC∥DF，由全等三角形的性质可得∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,根据平行线的判定即可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定及性质，平行线的判定，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键 18. 如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件： ①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD． （1）上述三个条件中，哪两个条件　 　可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形． 【答案】(1) ①③或②③； （2）选①③为条件证明△ABC是等腰三角形； 证明：∵在△EBO和△DCO中， ∵∠EOB=∠DOC，∠EBO=∠DCO，EB=CD， ∴△EBO≌△DCO（AAS）， ∴BO=CO， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB， 即∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形． 【解析】 【分析】(1)①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；(2)选①③为条件证明△ABC是等腰三角形，首先证明△EBO≌△DCO，可得BO=CO，根据等边对等角可得∠OBC=∠OCB，进而得到∠ABC=∠ACB，根据等角对等边可得AB=AC，即可得到△ABC是等腰三角形 【详解】解：(1)①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；(2)略 考点：等腰三角形的判定． 19. 证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小颖根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：在和中，，，与分别为，边上的中线且 ．求证： ． 请补全已知和求证部分，并写出证明过程． 【答案】 ；（写成也对） 证明：，，， ， ． 与分别为与边上的中线， 点和点分别是与的中点， ，， ， 又，， ． 【解析】 【分析】本题利用直角三角形全等的条件找出相应条件写出已知进行求证即可． 【详解】略 【点睛】此题利用图形考查了直角三角形全等的条件，难度一般，对定理的理解是关键． 20. 已知：如图，线段和射线有公共端点． 求作：点，使点在射线上，且为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 点、、即为所求： 【解析】 【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可． 【详解】略 【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意是等腰三角形的三种情况，避免漏答案． 21. 如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【答案】（1）15 （2） 证明：，点与点关于对称，点与点关于对称， ，， ． 点与点关于对称，点与点关于对称， ，， 平分． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据轴对称的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【小问1详解】 解：点与点关于对称， ． 同理：． 的周长； 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，四边形中，，，E、F分别是的中点．请你猜想与的位置关系，并给予证明． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的三线合一的性质； 连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据F是的中点，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，E是的中点， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴ 24. 如图，已知点为内一点，用两种不同方法利用直尺和圆规确定一条过点的直线，分别交于点，使得．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】 方法一，①在上截取，连接，， ②过P作的平行线，分别交于点． 如图，直线即为所求． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 方法二，如图，直线即为所求． ∵，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查基本作图，解题的关键是理解题意，灵活应用基本作图解决问题，属于中考常考题型． 方法一，①截取，②过P作的平行线，分别交于点，直线即为所求； 方法二，作的平分线，过P作角平分线的垂线，分别交于点，即可． 【详解】略 25. 如图，D是△ABC边BC上的点，连接AD，∠BAD＝∠CAD，BD＝CD． 用两种不同方法证明AB＝AC． 【答案】 证法1：如图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F， ∵ ∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE＝DF，∠BED＝90°，∠DFC＝90°， ∵ BD＝CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴ ∠B＝∠C， ∴ AB＝AC． 证法2：如图，延长AD到E，使DE＝AD．    ∵   DE＝AD，BD＝CD， ∴   四边形ABEC是平行四边形． ∴   AC＝BE，AC∥BE． ∴   ∠BED＝∠CAD． 又   ∠BAD＝∠CAD， ∴   ∠BED＝∠BAD． ∴   AB＝BE． ∴   AB＝AC． 【解析】 【分析】（1）过D作DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线的性质得DE＝DF，然后根据HL定理证Rt△BDE≌Rt△CDF，得∠B=∠C，根据“等角对等边”即可证明AB=AC； （2）延长AD到E，使DE＝AD得四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的性质得AC＝BE，AC∥BE，得∠BED＝∠CAD进而有∠BED＝∠BAD，所以 AB＝BE，等量代换得到A B=AC ． 【详解】略 【点睛】方法1中主要应用了角平分线的性质、HL定理、等腰三角形的判定证明线段相等，作垂线创造角平分线性质条件是解答的关键； 方法2中主要利用平行四边形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定证明线段相等，构造平行四边形是解答的关键． 26. 直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F． （1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数； （2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程． 【答案】（1）∠CDF＝40°； （2）∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形， ∴CF＝CD， ∴∠CFD＝∠CDF＝45°， 设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE， ∴∠FDA∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°， ①如图1：当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B， 得45°+22.5°+x°＝4x°， 解得：x＝22.5．此时∠B＝2x°＝45°； ②如图2：当BD＝BE时，则∠B＝（180﹣4x）°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得： 45°+22.5°+x°＝2x°+180°﹣4x°， 解得x＝37.5，此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°． ③当DE＝BE时，则， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得，， 此方程无解．∴DE＝BE不成立． 综上所述∠B＝45°或30°． 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质，得到∠AFE=∠DFE=65°，即可求出∠CFD=180°﹣65°﹣65°=50°，根据直角三角形两个锐角互余的性质即可求出∠CDF的度数； （2）先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：（1）根据翻折的性质可知：∠DFE＝∠AFE＝65°， ∴∠CFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∵∠C＝90°， ∴∠CDF＝90°﹣50°＝40°． （2略 ） 【点睛】本题考查翻折变换的性质以及等腰三角形的知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质以及等腰三角形的知识，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论． 附加题 27. （1）如图①，△ABC是等边三角形，M为边BC的中点，连接AM，将线段AM顺时针旋转120°，得到线段AD，连接BD；点N在BC的延长线上，且CN＝MC，连接AN．求证：BD＝AN． （2）若将问题（1）中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”，其他条件不变，结论还成立吗？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请举反例． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴，， 又∵M为边BC的中点， ∴，，， ∵AM顺时针旋转120°得到线段AD， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）结论成立，理由如下： 如图，当时，过点A、点D作，， ∴， ∵，， ∴， ∵AM顺时针旋转120°得到线段AD， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵△ABC是等边三角形，， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∵，，， 在和中， ， ∴， ∴； 当时，过点A、点D作，， ∴， ∵，， ∴， ∵AM顺时针旋转120°得到线段AD， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵△ABC是等边三角形，， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∵，，， 在和中， ， ∴， ∴； 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，再根据中点得到，，，再根据旋转的性质得到，证明，即可得解； （2）当，过点A、点D作，，再证明，得到，，再根据等边三角形的性质得到，证明即可得解；当，根据相同的方法证明即可； 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $