精品解析：广东省佛山市南海中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段考试数学试题

南海中学2024~2025学年度第一学期高二年级数学科 第一次阶段考考试 （全卷共4页，考试时间：120分钟） 命题人：凌彬 审题人：张秋月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过点（，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可 【详解】由直线的倾斜角为，得到直线的斜率 又直线过点 则直线的方程为 故选 【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，运用点斜式根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是基础题． 2. 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（ ） A. 0.35 B. 0.55 C. 0.6 D. 0.65 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D 3. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可求得，进而得到结果. 【详解】，，，，. 故选：C. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称的性质即可求解A，根据向量垂直可判断B，根据线面角的定义，结合向量夹角即可求解C，根据共面的推论即可求解D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误， 对于B，由于，故，则或，故B错误， 对于C，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为，C正确， 对于D，由于，，，四点共面，故，故，D错误， 故选：C 5. 已知，，，则在上的投影向量的模是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出与的数量积，再根据投影向量的模的计算公式来求解. 【详解】已知，则. 又因为，已知，，， 所以，那么. 根据投影向量的模的计算公式，已知，， 所以投影向量的模为. 故选：A 6. 如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案. 【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则， ∴． 故选:B． 7. 从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从两袋中有放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则4个球中恰有3个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】我们需要分别考虑从甲袋摸出个红球、乙袋摸出个红球和从甲袋摸出个红球、乙袋摸出个红球这两种情况，然后将这两种情况的概率相加得到最终结果. 【详解】（1）从甲袋摸出个红球、乙袋摸出个红球的概率： 从甲袋中每次摸出红球的概率是，有放回地摸两次都摸出红球的概率为. 从乙袋中每次摸出红球的概率是，有放回地摸两次，摸出个红球的概率为. 所以从乙袋中摸出个红球的概率为. 那么从甲袋摸出个红球、乙袋摸出个红球的概率为. （2）再求从甲袋摸出个红球、乙袋摸出个红球的概率： 从甲袋中摸出个红球的概率为. 所以从甲袋中摸出个红球的概率为. 从乙袋中每次摸出红球的概率是，有放回地摸两次都摸出红球的概率为. 那么从甲袋摸出个红球、乙袋摸出个红球的概率为. （3）最后计算恰有个红球的总概率： 恰有个红球的概率等于从甲袋摸出个红球、乙袋摸出个红球的概率加上从甲袋摸出个红球、乙袋摸出个红球的概率.即. 故选：B. 8. 如图，在正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，．对于空间任意两点，，若线段上不存在也在线段，上的点，则称，两点“可视”，则与点“可视”的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、、、、、，借助平行线的性质可得四点共面，即可得线段与相交，线段与相交，线段与相交，从而排除A、B、C. 【详解】如图，连接，，，由正方体的性质及、分别为棱、的中点， 易得，所以线段与相交，与相交，故A、B错误； 连接，，有，，故， 所以线段与相交，C错误； 连接，直线与，直线与均为异面直线，D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件是相互独立事件 D. 事件与事件是互斥事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】先列举各事件，再根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率特征逐一判断即可； 【详解】列举各事件如下：，，， A：由互斥事件同时发生的概率为0，即，故A正确； B：由对立事件的概率和为1，，，，故B错误； C：因为，故C正确； D：事件，事件，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确； 故选：ACD. 10. 若 为两个随机事件，且，则（ ） A. 当 时， B. 当A和互斥时， C. 当A和独立时， D. 当A和独立时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据包含关系结合概率的性质分析判断；对于B：根据互斥事件结合事件的运算分析判断；对于C：根据题意结合独立事件概率乘法公式分析判断；对于D：根据互斥与独立事件概率的计算分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 若，则，可得， 即，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 若A和互斥，则，即， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 若A和独立，则和独立， 所以，故C正确； 对于选项D：若，则， 即，可知A和不独立， 所以A和独立时，，故D正确； 故选：BCD. 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 【答案】CD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对选项A，利用向量数量积判断垂直关系；对选项B，利用数量积求异面直线所成的角；对选出C，利用等体积法求三棱锥体积的最大值；对选项D，向量法求直线与平面所成角的正弦值，再根据函数的单调性即可判断. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ， 对于A，假设存在点，使得， 由，，所以， 解得，即点Q与D重合时，，A错误； 对于B，假设存在点，使得异面直线NQ与SA所成的角为， 由，， 所以，方程无解； 所以不存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为，B错误； 对于C，连接； 设，因为， 所以当，即点Q与点D重合时，取得最大值2，又点N到平面AMQ的距离， 所以，C正确； 对于D，由上分析知：，， 若是面QMN的法向量，则， 令，则，得， 因为，设直线DC与平面QMN所成的角为，， 所以， 当点Q自D向C处运动时，的值由0到2变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题.每小题5分，共15分. 12. 经过点和的直线与斜率为的直线互相垂直，则的值是______. 【答案】2 【解析】 【分析】依题意得，直线的斜率为，由两点间的斜率公式即可求解． 【详解】直线与斜率为的直线互相垂直，则直线的斜率为， 则，得. 故答案为：2 13. 如图，线段，在平面内，，，且，，.则，两点之间的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，根据可求． 【详解】，， ，，， ，， 故答案为：． 14. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”.“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于分的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式列出方程组，求出、的值，令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的 分数为，获得校本选修课学分分数不低于分为事件，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能求出结果． 【详解】由题意列出方程组，得： ，解得，． 令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为， 获得校本选修课学分分数不低于分为事件， 则， ， ， ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么 （1）写出试验的样本空间； （2）求下列事件的概率： ①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋. （3）求取出的鞋不成双的概率. 【答案】（1）该试验的样本空间可表示为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）通过列举法写出试验的样本空间； （2）（3）结合（1）所求的样本空间，利用古典概型的概率公式逐一求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记：“取出的鞋都是一只脚的” ，，，，，，，，，，，， ， ； 记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”， ， ， ，，，，，，，， ， ， 【小问3详解】 记“取出的鞋不成双”， 由（1）得， ，，，，，， ， . 16. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用向量点到平面的距离公式计算即可；（2）先求出直线与平面所成的角，可通过向量法，求出平面的法向量，再根据向量的夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值，最后根据三角函数关系求出余弦值. 【小问1详解】 因为，，，，底面为正方形， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，分别为，中点，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 由，即，令，则，，所以， 则，， 根据点到平面的距离公式. 【小问2详解】 首先设平面的法向量，，， 由，即，令，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 则，，， 所以， 因为，所以， 则直线与平面所成角的余弦值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，， （1）证明：平面平面； （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）如图，连接,由于平面，平面,则. 且，，则. 又，则，故. 又,则,又,则四边形为平行四边形.则. 平面,平面,则平面(∗). 由于，，则.又，则, 则,则，则. 平面,平面,则平面(∗∗). 平面,结合 (∗)，(∗∗)，得到平面平面. （2）存在，，证明如下： 由前面证明知道，四边形为矩形，平面， 则两两垂直，可建立空间直角坐标系.则 , 设,则. 设平面法向量为，且. 则,则，则解得. 又,若平面，则. 则， 则，解得.此时. 故棱上存在一点，使得平面，. 【解析】 【分析】（1）运用两次证明线线平行，得到线面平行，再用面面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，求出方向向量和平面法向量计算证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且． （1）证明：平面平面ABC； （2）点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1） 由于正方形ABCD的边长为，所以． 取AC的中点O，连接PO，BO， 由题意，得，再由，可得，即． 由题易知，又，面，所以平面ABC， 又平面PAC，所以平面平面ABC． （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，利用勾股定理证明，再结合，即可由线线垂直证明线面垂直； （2）根据（1）中所证，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，以及两个平面的法向量，利用夹角公式，即可求得参数的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，又， 故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，． 所以，，， 由题意知，所以． 所以． 设平面MBC的法向量为， 则令，得； 设平面的法向量为， ，令，得； 则， 设，，则上式可化为， 即，所以（舍去）， 所以，解得． 19. 甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响. （1）求甲在一局中得2分的概率； （2）求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率； （3）求游戏经过两局就结束的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解； （2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解； （3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，②有2人得分为3分，③仅1人得4分，④有2人分别得4分，然后求出每种情况的概率从而可求解. 【小问1详解】 根据题意，画出树状图，如图： 所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）： （剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、 （石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、 （布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、 一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率. 【小问2详解】 游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种： ①第一局甲得2分，第二局甲得1分： 则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分； 由（1）中树状图可知满足情况有： 第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、 第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头） 此时概率为种情况， ②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分， 则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分； 由（1）中树状图可知满足情况有： 第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头） 第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、 此时概率为， 综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率. 【小问3详解】 游戏经过两局就结束总共有4种情况： ①仅1人得3分，记事件为A，则； ②有2人得分为3分，记事件为B， ③仅1人得4分，记事件C： 一人得4分，另两人各负2分：， 一人得4分，一人得负2分，一人得1分：， 一人得4分，另两人各1分：， ； ④有2人分别得4分，记为事件D：则 综上所述：游戏经过两局就结束的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海中学2024~2025学年度第一学期高二年级数学科 第一次阶段考考试 （全卷共4页，考试时间：120分钟） 命题人：凌彬 审题人：张秋月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过点（，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（ ） A. 0.35 B. 0.55 C. 0.6 D. 0.65 3. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 5. 已知，，，则在上的投影向量的模是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ） A. B. C. D. 7. 从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从两袋中有放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则4个球中恰有3个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，．对于空间任意两点，，若线段上不存在也在线段，上的点，则称，两点“可视”，则与点“可视”的点为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件是相互独立事件 D. 事件与事件是互斥事件 10. 若 为两个随机事件，且，则（ ） A. 当 时， B. 当A和互斥时， C. 当A和独立时， D. 当A和独立时， 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 三、填空题：本题共3小题.每小题5分，共15分. 12. 经过点和的直线与斜率为的直线互相垂直，则的值是______. 13. 如图，线段，在平面内，，，且，，.则，两点之间的距离为_____. 14. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”.“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于分的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么 （1）写出试验的样本空间； （2）求下列事件的概率： ①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋. （3）求取出的鞋不成双的概率. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，， （1）证明：平面平面； （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. 图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且． （1）证明：平面平面ABC； （2）点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值． 19. 甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响. （1）求甲在一局中得2分的概率； （2）求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率； （3）求游戏经过两局就结束的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $