精品解析：山西省大同市第一中学校2024-2025学年八年级上学期学业水平质量检测数学试题

山西省2024—2025学年第一学期八年级学业水平质量监测 数学 （监测内容：第十一至十二章） 注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是(　 ) A. B. C. D. 2. 在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，则的根据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图， BD是△ABC的中线，AB=6，BC=4，△ABD和△BCD的周长差为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 6. 如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 如图是一副三角板拼成的图案，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点P在的内部，点C，D分别在，上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（ ） A. B. 平分 C. 平分 D. 10. “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 数学来源于生活，又服务于生活．如图所示的椅子，将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固，其所利用的数学原理是_____ 12. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______． 13. 方特海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船静止时，转轴到地面的距离．当海盗船的船头在处时，，此时测得点到地面的距离．当船头从处摆动到处时，，则点到的距离为_____． 14. 门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是______°． 15. 如图，在中，，、、分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ___________．​ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 17. 如图，已知为的中线． （1）画出中边上的高； （2）若，求的面积． 18. 如图，于点F，于点E，，和相交于点D．求证：平分． 19. 如图，是的边上的高，平分交于点E，若，，求和的度数． 20. 怀仁塔（如图）北眺北魏古都大同，南望应县木塔，是二广高速路进入怀仁市的第一个标志性建筑，也是怀仁最美的一张名片．某校项目式学习小组开展项目活动测量怀仁塔底座（圆形平台）的直径，过程如下： 项目主题：测量怀仁塔底座的直径． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量底座的直径？ 组内探究：由于底座中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、红外线水平仪等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，记录数据，然后计算底座的直径． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案① 如图，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点，在一条直线上，测出的长 ，， 方案② 如图，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出两点之间的距离 ，， 请你选择上述两种方案中的一种，计算怀仁塔底座的直径． 21. 问题情境： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 操作探究： （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，请根据小明的思考方法补充完成下面的解题过程： 解：如图2，延长到点，使，连接． 因为是边上的中线，所以_____． 在和中，___________，， 所以． 所以_____，_____． 因为在中，，由三角形的三边关系，得，即． 所以__________． 方法总结： （2）由（1）的解题过程，得到了一些启发，在解决类似问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造_____三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中． 22. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想 B．方程思想 C．转化思想 D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 23. 如图1，在四边形ABDC中，，，点E是AC上一点，点F是AB的延长线上一点，且． （1）试说明：． （2）如图2，若点G在AB上，且，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系，并加以说明． （3）如图3，若题目中的改成，，点G在AB上，则满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？（直接写出条件即可）（提示：四边形的内角和等于360°） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024—2025学年第一学期八年级学业水平质量监测 数学 （监测内容：第十一至十二章） 注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是(　 ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】方析： 根据“全等形”的定义进行分析判断即可. 详解： A选项中，图形中的三个椭圆不全等，故可以选A； B选项中，图形中的四个圆是全等的，故不能选B； C选项中，图形中的两个“到v型图案”是全等的，故不能选C； D选项中，图形中是三个四边形是全等的，故不能选D. 故选A. 点睛：熟记“全等形”的定义：“两个能够完全重合的图形叫做全等形”是解答本题的关键. 2. 在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】解：∵在中，一个锐角等于， ∴另一个锐角的度数为， 故选：C． 3. 如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故选：A． 4. 如图，已知，，则的根据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理．利用证明即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， 故选：B． 5. 如图， BD是△ABC的中线，AB=6，BC=4，△ABD和△BCD的周长差为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，△ABD和△BCD的周长差为线段的差，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， △ABD的周长为，△BCD的周长为 △ABD和△BCD的周长差为 故选：A 【点睛】本题考查了三角形中线的性质及三角形周长的计算，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键． 6. 如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图是一副三角板拼成的图案，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，由图可得，，进而根据三角形的外角性质即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，， ∴， 故选：． 8. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角；根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵正六边形的外角和为 ∴每一个外角为 ∴， 故选：B． 9. 如图，点P在的内部，点C，D分别在，上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（ ） A. B. 平分 C. 平分 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、，可根据判定，故A不符合题意； B、平分，可根据判定，故B不符合题意 C、平分，不能判定，故C不符合题意； D、，可根据判定，故D不符合题意． 故选：C． 10. “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 数学来源于生活，又服务于生活．如图所示的椅子，将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固，其所利用的数学原理是_____ 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：∵在如图所示的椅子的设计中，将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固， ∴运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______． 【答案】三条角平分线的交点处 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 13. 方特海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船静止时，转轴到地面的距离．当海盗船的船头在处时，，此时测得点到地面的距离．当船头从处摆动到处时，，则点到的距离为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先过点作于点F，再证明，可得，证明，从而可得答案，实际问题中，构造需要的全等三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点F， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点到的距离为． 故答案为：6． 14. 门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和内角综合．根据多边形的外角和是可求出处的外角，进而求解． 【详解】解：如图， 设处的外角为，则， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在中，，、、分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ___________．​ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，先证明得出，进而可得，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， . ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式与外角和公式，熟练掌握公式是解决本题的关键． 先求出多边形的内角和，再由多边形的内角和公式即可求解边数． 【详解】解：由题意得，多边形的内角和为， ∴ 边数为． 17. 如图，已知为的中线． （1）画出中边上的高； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示： （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的中线、高线，掌握三角形的中线的性质是解题的关键． （1）依据高线的定义画出图形即可； （2）依据三角形的面积公式求得的面积，最后依据的面积的面积的2倍求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为为的高， 所以． 因为为的中线，所以． 18. 如图，于点F，于点E，，和相交于点D．求证：平分． 【答案】 证明：∵于点F，于点E， ， 在和中， ， ， ． 又于点F，于点E， 平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定．熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解题的关键． ，，结合，得，得．根据，，即得平分． 【详解】略 19. 如图，是的边上的高，平分交于点E，若，，求和的度数． 【答案】； 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据是 边上的高，可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 20. 怀仁塔（如图）北眺北魏古都大同，南望应县木塔，是二广高速路进入怀仁市的第一个标志性建筑，也是怀仁最美的一张名片．某校项目式学习小组开展项目活动测量怀仁塔底座（圆形平台）的直径，过程如下： 项目主题：测量怀仁塔底座的直径． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量底座的直径？ 组内探究：由于底座中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、红外线水平仪等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，记录数据，然后计算底座的直径． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案① 如图，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点，在一条直线上，测出的长 ，， 方案② 如图，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出两点之间的距离 ，， 请你选择上述两种方案中的一种，计算怀仁塔底座的直径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的关键． 选择方案①：根据平行线的性质，得，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论；选择方案②：直接利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】解：选择方案①． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∵， ∴． ∴怀仁塔底座的直径为． 选择方案②． 在和中，， ∴． ∵， ∴． ∴怀仁塔底座的直径为． 21. 问题情境： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 操作探究： （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，请根据小明的思考方法补充完成下面的解题过程： 解：如图2，延长到点，使，连接． 因为是边上的中线，所以_____． 在和中，___________，， 所以． 所以_____，_____． 因为在中，，由三角形的三边关系，得，即． 所以__________． 方法总结： （2）由（1）的解题过程，得到了一些启发，在解决类似问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造_____三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中． 【答案】（1）．（2）全等 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识． （1）延长到点，使，连接．证明．则，．由三角形的三边关系，得，即．即可解答问题； （2）由（1）的解题过程可以得到答案． 【详解】（1）解：如图2，延长到点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 在和中，，， 所以． 所以，． 因为在中，，由三角形的三边关系，得，即． 所以． 故答案为： （2）解：由（1）的解题过程，得到了一些启发，在解决类似问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中． 故答案为：全等 22. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想 B．方程思想 C．转化思想 D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 【答案】任务一 ； 任务二：证明：连接并延长到点． 则为的外角，为的外角， ， ． ， ． ， ． 任务三 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和外角公式．解题关键掌握多边形的内角和外角关系； 任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”可得答案； 任务二：先证明，，相加即可； 任务三：利用外角的性质，对顶角和三角形内角和定理转化求解． 【详解】解：任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”，可知体现了数学中的转化思想方法， 故答案为：C； 任务二： 略 任务三：如下图： 根据三角形外角的性质得：， 又， ， 又， ． 23. 如图1，在四边形ABDC中，，，点E是AC上一点，点F是AB的延长线上一点，且． （1）试说明：． （2）如图2，若点G在AB上，且，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系，并加以说明． （3）如图3，若题目中的改成，，点G在AB上，则满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？（直接写出条件即可）（提示：四边形的内角和等于360°） 【答案】（1） 证明：∵ 四边形ABDC的内角和等于360°， ∴， 又∵ ， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 解：．理由如下： 由（1）知， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先证，再利用SAS证明即可； （2）利用（1）的结论，先证，再利用SAS证明，得到，通过等量代换即可得出； （3）根据（2）的证明过程可知，成立时，需满足， ，此时． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：时，（2）中结论仍然成立． 理由如下： ∵ ，， ∴， 同（1）可证， ∴，， ∵ ，， ∴， ∴， 即， 同（2）可证，在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查角的和差以及全等三角形的判定与性质，第3问有一定难度，能够类比第2问的证明过程，推出规律是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $