精品解析：2024年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题

2024年湖北省普通高中学业水平合格性考试 数学 本试卷共5页25题.全卷满分100分.考试用时90分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2､选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑､涂匀､涂实，未涂､错涂､多涂或填涂不规范均不得分.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效.在试卷､草稿纸上答题无效. 4.考试结束后，请将本试卷､答题卡和草稿纸一并上交. 一､选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（ ） A B. C. D. 4 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 6. 从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（ ） A. 0.1 B. 0.15 C. 0.25 D. 0.5 7. 已知，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 8. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（ ） A. B. C. D. 10. 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 11. 若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（ ） A B. C. D. 12. 向盼归同学通过计步器，记录了自己20天每天走的步数，数据整理如下： 2107 4165 5467 5678 5705 6542 8358 8592 8666 8722 8726 9986 10575 11558 11736 12121 12386 12400 13039 16530 则这组数据的第50百分位数为（ ） A. 8720 B. 8722 C. 8724 D. 8726 13. 如图，平行四边形中，是边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 14. 若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（ ） A. 1.8 B. 2.8 C. 3.8 D. 4.8 15. 习近平总书记在致首届全民阅读大会的贺信中指出：“阅读是人类获取知识､启智增慧､培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书､读好书､善读书的浓厚氛围.”为落实习总书记关于阅读的重要指示，复兴中学开展了“读名著､品经典”活动.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（单位：），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，据此估计该校学生阅读时间不少于的概率为（ ） A. 0.150 B. 0.400 C. 0.450 D. 0.850 二､选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 16. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 17. 已知为欧拉常数，为圆周率，则（ ） A. B. C. D. 18. 如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 19. 已知，且，则______. 20. 已知事件与事件相互独立，且，则 （1）______； （2）______. 21. 已知，则__________. 22. 已知函数的最大值为，则 （1）常数的值为______； （2）取最大值时，的一个取值为______. 四､解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 23. 《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马中，底面，点是的中点，连结. （1）证明：两两垂直； （2）设阳马体积为，四面体的体积为，求的值. 24. 的内角的对边分别为，面积为.已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长. ①；②. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分 25. 已知函数，且. （1）当时，判断函数的单调性，并加以证明； （2）对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年湖北省普通高中学业水平合格性考试 数学 本试卷共5页25题.全卷满分100分.考试用时90分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2､选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑､涂匀､涂实，未涂､错涂､多涂或填涂不规范均不得分.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效.在试卷､草稿纸上答题无效. 4.考试结束后，请将本试卷､答题卡和草稿纸一并上交. 一､选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集的定义即可求解. 【详解】由，， 则， 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】. 故选：A 3. 欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】复数，进而得出所求复数. 【详解】由题意，复数. 故选：A 4. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，所以. 故选：D. 5. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据否定的定义书写命题即可. 【详解】全称命题的否定“”. 故选：C. 6. 从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（ ） A. 0.1 B. 0.15 C. 0.25 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果. 【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C 7. 已知，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的基本关系化简原式即可直接得答案. 【详解】将分子分母同除以可得： . 故选：D. 8. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意建立不等关系即可. 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 9. 如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得. 【详解】由图可知，与关于直线对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为. 故选：B 10. 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复利计算方式可直接计算得出结果. 【详解】根据复利计算利息方式可知存期数为1时，本利和为， 存期数为2时可得本利和为， 所以存期数时，本利和为. 故选：D 11. 若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式代入检验判断A，取特殊值检验判断BC，根据解析式及基本不等式可判断D. 【详解】对A，，，所以满足条件，故A正确； 对B，取，，不满足条件，故B错误； 对C，取，，不满足条件，故C错误； 对D，，，， 由知当时，，故，故D错误. 故选：A 12. 向盼归同学通过计步器，记录了自己20天每天走的步数，数据整理如下： 2107 4165 5467 5678 5705 6542 8358 8592 8666 8722 8726 9986 10575 11558 11736 12121 12386 12400 13039 16530 则这组数据的第50百分位数为（ ） A. 8720 B. 8722 C. 8724 D. 8726 【答案】C 【解析】 【分析】将成绩按照从小到大的顺序排列后利用百分位数的定义计算即可得出结果. 【详解】根据题意将8位同学的成绩按照从小到大的顺序排列如下： ； 又，所以数据的第50百分位数为第10个数和第11个数的平均数，即为. 故选：C. 13. 如图，平行四边形中，是边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算化简求解即可. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 14. 若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（ ） A. 1.8 B. 2.8 C. 3.8 D. 4.8 【答案】A 【解析】 【分析】令，求解，求出排球在抛出点上方处及以上位置最多停留时间. 【详解】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 15. 习近平总书记在致首届全民阅读大会的贺信中指出：“阅读是人类获取知识､启智增慧､培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书､读好书､善读书的浓厚氛围.”为落实习总书记关于阅读的重要指示，复兴中学开展了“读名著､品经典”活动.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（单位：），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，据此估计该校学生阅读时间不少于的概率为（ ） A. 0.150 B. 0.400 C. 0.450 D. 0.850 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中矩形面积的含义即可求得答案. 【详解】由频率分布直方图可估计该校学生阅读时间不少于的概率为： ， 故选：D 二､选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 16. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量坐标可判断A；计算向量的模判断B；根据向量垂直以及平行的坐标表示可判断CD. 【详解】由于，则，A错误； 由于，B正确， 因为，故，C正确； 因为，故不平行，D错误； 故选：BC 17. 已知为欧拉常数，为圆周率，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性逐项判断即可. 【详解】因为函数是增函数，且，所以，故A正确； 因为函数是增函数，且，所以，又函数是增函数，且， 所以，所以，故B错误； 因为函数在是增函数，且，所以，故C正确； 因为函数是增函数，且，所以，所以，D错误. 故选：AC 18. 如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可. 【详解】对A：如图： 连接，交于点，连接，则，平面， 且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A错误； 对B：如图： 因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对C：如图： 取中点，易证四点共面，且，平面， 平面，所以平面，故C正确； 对D：如图： 连接，则，平面，平面， 所以平面，故D正确. 故选：BCD 三､填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 19. 已知，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合条件求模长. 【详解】. 故答案为：. 20. 已知事件与事件相互独立，且，则 （1）______； （2）______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用独立事件乘法公式计算积事件概率，利用概率的性质计算和事件的概率即可. 【详解】； . 故答案为：； 21. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数与对数的运算法则计算． 【详解】由得，则， 所以， 故答案为：. 22. 已知函数的最大值为，则 （1）常数的值为______； （2）取最大值时，的一个取值为______. 【答案】 ①. 1 ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据倍角公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为， 则，即. 当取最大值时，， 即，， 即，， 所以的一个取值为. 故答案为：1；（答案不唯一）. 四､解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 23. 《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马中，底面，点是的中点，连结. （1）证明：两两垂直； （2）设阳马的体积为，四面体的体积为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质可得，，和“阳马”的定义得； （2）取的中点，连接，可得底面，再利用锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】 由底面，底面， 则，， 又在阳马中，底面为矩形， 则， 因此可得两两垂直. 【小问2详解】 取的中点，连接， 又点是的中点，则，且， 又底面， 则底面， 则四面体的体积， 又阳马的体积， 则， 因此可得. 24. 的内角的对边分别为，面积为.已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长. ①；②. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 【解析】 【分析】若选择①，根据面积公式求，再根据余弦定理求，即可求解周长； 若选项②，根据面积公式求角以及角，再结合，即可求解周长. 【详解】若选择①， ，得， ， 得，所以； 若选择②， ，得，因为，所以， 那么，， ，得，，， 所以， 所以的周长为. 25. 已知函数，且. （1）当时，判断函数的单调性，并加以证明； （2）对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析 （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）结合函数的定义域，分区间和，证明函数的单调性； （2）根据函数的定义域，确定，并根据确定，并代入验证函数是奇函数. 【小问1详解】 当时，， 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递减； 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增； 【小问2详解】 ， 因为，若函数是奇函数，则，即，则， 所以， ，即， 所以，， ， 所以只要满足，，即，时，函数是奇函数. 【点睛】关键点点睛：不管是函数的单调性，和函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域，然后考虑奇函数的性质，在原点处有定义时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$