精品解析：山东省肥城市慈明学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

肥城市慈明学校 2024—2025学年度第一学期第一次月考 “慈爱明德•知行合一”高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题 1. 过点且与直线平行的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 将点代入得，解得， 所以所求直线的方程为. 故选：A. 2. 方程表示的曲线为（ ） A. 两条线段 B. 一条直线和半个圆 C. 一条线段和半个圆 D. 一条射线和半个圆 【答案】C 【解析】 【分析】求出 的范围，根据，的意义求解即可. 【详解】由，解得. 因为，所以或. 故表示一条线段. 因为，所以，，即表示以原点为圆心的半个圆 故选：C 3. 已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的标准方程，再化为一般式方程. 【详解】由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为， 所以圆的方程为，即. 故选：B． 4. 已知点，点 在直线上．若直线垂直于直线，则点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直和斜率的关系设直线的方程为，代入 点坐标，求出直线方程，再联立直线即可. 【详解】由题意可设直线的方程为，代入点， 则，解得，则直线的方程为， 联立直线，解得，则点 的坐标为. 故选：C. 5. 直线分别与 轴， 轴交于 ，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可 详解：直线分别与轴，轴交于，两点 ,则 点P在圆上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离 故点P到直线的距离的范围为 则 故答案选A. 点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 6. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， 由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为， 故选：C. 7. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 8. 正三棱柱中，，，O为 的中点，M为棱上的动点，N为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可. 【详解】因为正三棱柱中，为 的中点， 取中点 ，连接，如图， 以为原点，，，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为 是棱上一动点，设，且， 因为，所以， 于是令，. 所以，. 又因为函数在上为增函数， 所以当时， 即线段长度的最小值为 当时，， 即线段长度的最大值为， 所以线段长度的取值范围为. 故选：B. 二、多项选择题 9. 已知，，，则（ ） A. 直线与线段AB有公共点 B. 直线AB的倾斜角大于 C. 的边BC上的高所在直线的方程为 D. 的边BC上的中垂线所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，画出图像即可看出有无交点；B选项用先用直线斜率公式求出斜率，再比较倾斜角与的大小；C选项 的边 上的高所在直线过点A，且斜率和直线 的斜率乘积为，用点斜式写出边 上的高所在直线；D选项 的边 上的中垂线经过BC的中点，且斜率和直线 的斜率乘积为，从而利用点斜式写出中垂线所在直线的方程； 【详解】如图所示：所以直线与线段 无公共点，A错误； 因为，所以直线 的倾斜角大于，B正确． 因为，且边 上的高所在直线过点A， 所以 的边 上的高所在直线的方程为， 即，C正确， 因为线段 的中点为，且直线 的斜率为， 所以 上的中垂线所在直线的方程为， 即，故D错误. 故选：BC. 10. 已知直线，动直线，则下列结论错误的是 A. 不存在 ，使得的倾斜角为90° B. 对任意的 ，与都有公共点 C. 对任意的 ，与都不重合 D. 对任意的 ，与都不垂直 【答案】AC 【解析】 【分析】给出特殊值可以确定选项AC的正误，由直线恒过定点可判断选项B的正误，利用直线垂直的充分必要条件得到关于k的方程，解方程可确定选项D的正误. 【详解】逐一考查所给的选项： A.存在 ，使得的方程为 ，其倾斜角为90°，故选项不正确． B直线过定点，直线过定点，故B是正确的． C.当时，直线的方程为，即，与都重合，选项C错误； D.两直线垂直，则：，方程无解，故对任意的 ，与都不垂直，选项D正确． 故选：AC. 【点睛】本题主要考查两条直线之间的位置关系，直线恒过定点及其应用，直线垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 ､的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为 ，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在 上存在点 到点的距离为4 C. 上的点到直线的最大距离为6 D. 过点作直线，若 上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可. 【详解】设，则， 化简得，，则选项 正确； 将圆 的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4， 则圆上的点到点的最小距离为， 则在圆 上不存在点 到点的距离为4，则选项B错误； 上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径， 即，则选项C正确； 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由于圆 的半径为4，则要使 上恰有三个点到直线的距离为2， 只需圆心到该直线的距离为2，即， 解得，则选项D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 与直线平行，且在 轴上的截距为 的直线方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】所求的直线方程可设为，令 ，得根据在 轴上截距是1，求出值，得到直线方程 【详解】根据题意，设所求的直线方程为， 令 ，得， 因为所求直线在 轴上截距是 ， 所以，即， 所以所求的直线方程为． 故答案为：． 13. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得，借助二次函数，求出最小时对应的的值，然后找出二面角的平面角,借助向量夹角公式计算求解即可. 【详解】以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 所以， 当时，最小，此时，为中点，则， 取的中点 ，连接，则， 因为，，所以，， 所以是平面与平面的夹角或其补角， 因为，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值是， 所以平面与平面夹角的正弦值是． 故答案为： 四、双空题 14. 直线，若，则a的值为______；此时与的距离是______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由直线平行的判定列方程求参数a，注意验证排除重合的情况，再根据平行线距离公式求距离. 【详解】由，则，即，可得或， 当时，，符合题设； 当时，为同一条直线，不合题设； 综上，，此时， 所以与的距离. 故答案为：， 五、解答题 15. 计算： （1）已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量； （2）已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量． 【答案】（1）方向向量为，法向量为 （2）方向向量为，法向量为 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的方向向量与法向量； （2）分析可知，直线的一个方向向量为，由此可得出直线的方向向量与法向量. 【小问1详解】 先证明结论：若直线的一个方向向量为，其中，则直线的一个法向量可为. 因为直线的一个方向向量为，其中，，则， 所以，直线的一个法向量可为. 本题中，因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 故直线的一个方向向量为，则直线的方向向量为， 直线的法向量为. 【小问2详解】 因为直线经过点和，则直线的一个方向向量为， 所以，直线的方向向量为，法向量为. 16. 已知 的三个顶点分别为，，. （1）求边 上的高 所在直线的方程； （2）求边 上的中线 所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得直线 的斜率，利用点斜式求得边 上的高 所在直线的方程. （2）先求得 点坐标，再根据两点式求得边 上的中线 所在直线的方程. 【小问1详解】 ，所以直线 的斜率为 ， 所以直线 的方程为 【小问2详解】 线段 的中点， 所以直线 所在直线方程为. 17. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】（1） 由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 ，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面 ， 所以平面 ，又平面 ， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由 是 的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在棱长4的正方体中， 是的中点，点 在棱上，且. （1）求平面 与平面夹角的余弦值； （2）若为平面 内一点，且平面，求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面 和平面的法向量，求其夹角的余弦值即可得答案. （2）利用空间向量的方法解决点到面的距离. 【小问1详解】 以 为坐标原点，所在直线分别为 轴， 轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为，则， 取，则，得. 因为平面 ，所以平面 的一个法向量为， 则平面 与平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 设，则. 因为平面，所以，则，得，即. 因为，所以点到平面的距离为. 19. 在四棱锥中，底面 ，且，四边形 是直角梯形，且，，，， 为中点， 在线段 上，且 . （1）求证：平面； （2）求直线PB与平面所成角的正弦值； （3）求点 到PD的距离. 【答案】（1） 如图，取 中点 ，连接 因为 为 中点，，，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为 为 中点， 为中点，则， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面，故平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由条件可得，， 则， 设平面的法向量为， 则，解得， 取，则，所以平面的一个法向量为， 设直线PB与平面所成角为， 则. 所以直线PB与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知，， 所以点 到PD的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肥城市慈明学校 2024—2025学年度第一学期第一次月考 “慈爱明德•知行合一”高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题 1. 过点且与直线平行的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 方程表示的曲线为（ ） A. 两条线段 B. 一条直线和半个圆 C. 一条线段和半个圆 D. 一条射线和半个圆 3. 已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，点 在直线上．若直线垂直于直线，则点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 直线分别与 轴，轴交于 ，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A. B. C. D. 6. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 正三棱柱中，，，O为 的中点，M为棱上的动点，N为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知，，，则（ ） A. 直线与线段AB有公共点 B. 直线AB的倾斜角大于 C. 的边BC上的高所在直线的方程为 D. 的边BC上的中垂线所在直线的方程为 10. 已知直线，动直线，则下列结论错误的是 A. 不存在 ，使得的倾斜角为90° B. 对任意的 ，与都有公共点 C. 对任意的 ，与都不重合 D. 对任意的 ，与都不垂直 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 ､的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为 ，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在 上存在点 到点的距离为4 C. 上的点到直线的最大距离为6 D. 过点作直线，若 上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为 三、填空题 12. 与直线平行，且在轴上的截距为 的直线方程是_______． 13. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______. 四、双空题 14. 直线，若，则a的值为______；此时与的距离是______. 五、解答题 15. 计算： （1）已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量； （2）已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量． 16. 已知 的三个顶点分别为，，. （1）求边 上的高 所在直线的方程； （2）求边 上的中线 所在直线的方程. 17. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 18. 如图，在棱长4的正方体中， 是的中点，点 在棱上，且. （1）求平面 与平面夹角的余弦值； （2）若为平面 内一点，且平面，求点到平面的距离. 19. 在四棱锥中，底面 ，且，四边形 是直角梯形，且，，，， 为中点， 在线段 上，且 . （1）求证：平面； （2）求直线PB与平面所成角的正弦值； （3）求点 到PD的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $