精品解析：山东省泰安市肥城市慈明学校2025届高三上学期第一次月考数学试卷

肥城市慈明学校 2024—2025学年度第一学期第一次月考 “慈爱明德•知行合一”高三数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题 1. 在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知焦点为双曲线C的离心率为，点P为C上一点，且满足，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知向量，，，若，则（ ） A B. C. D. 4. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：. A. 2024年 B. 2025年 C. 2026年 D. 2027年 6. 下列判断错误的有（ ） ①命题“，”的否定是“，” ②命题“若，则”是真命题 ③命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题 ④若为奇函数，则对定义域内任意， A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 7. 若对于任意实数都有,则 A. 3 B. 4 C. D. 8. 已知函数定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知锐角三角形三边长分别为，则实数的可能取值是（ ） A. B. C. 7 D. 10. 不等式对任意的恒成立，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 集合的真子集个数为16 B. 若点是的重心，则 C. 设，则 D. 函数为偶函数的充要条件为 三、填空题 12. 函数的值域为_________． 13. 已知函数的定义域是，，，当时，，则________． 四、双空题 14. 若集合是16和24的公约数，则1______，8______． 五、解答题 15. 已知幂函数在上单调递减. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求在上的单调递增区间； （2）在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求 （2）若，的面积为，求的周长． 18. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，当轴时，． （1）求椭圆方程； （2）当，求的面积． 19. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 肥城市慈明学校 2024—2025学年度第一学期第一次月考 “慈爱明德•知行合一”高三数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题 1. 在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为，所以，即， 又，所以， 因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：A 2. 已知焦点为的双曲线C的离心率为，点P为C上一点，且满足，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线定义可得，，应用余弦定理及已知有，最后由三角形面积公式列方程求，即得实轴长. 【详解】设，则，故（a为双曲线参数）， 所以，，故， 而，则，则，， 所以，故， 则，故长轴长. 故选：B 3. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用向量共线的坐标运算，得到，再利用向量数量积的坐标运算，即可求出结果. 【详解】因为，，又，所以， 故. 故选：B. 4. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性得到，又，即可求出结果. 【详解】因为在定义上单调递减，所以， 又在区间上单调递增，所以，得到， 又，所以. 故选：C. 5. 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：. A. 2024年 B. 2025年 C. 2026年 D. 2027年 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出不等关系，然后结合对数运算化简求出年份即可. 【详解】设2020年后第年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 由得， 两边同取常用对数，得， 所以，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元. 故选：C. 6. 下列判断错误的有（ ） ①命题“，”的否定是“，” ②命题“若，则”是真命题 ③命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题 ④若为奇函数，则对定义域内的任意， A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】①由全称命题的否定得到该命题错误；②命题是真命题；③由于当时，函数也只有一个零点，所以该命题错误；④利用奇函数的定义得到该命题正确. 【详解】解：①命题“，”的否定是“，”，所以该命题错误； ②命题“若，则”是真命题； ③命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题是“若函数只有一个零点，则”，由于当时，函数也只有一个零点，所以该命题错误； ④若为奇函数，设，则对定义域内的任意，，所以该命题正确. 故答案为：B 7. 若对于任意实数都有,则 A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对于任意实数都有，令得到的方程组，求出，由此能求出的值． 【详解】解：对于任意实数都有， ， 解得， ． 故选． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可 【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是， 所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， 对任意的，，且，都有成立， 所以， 令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， 由是上的奇函数可得是上的偶函数 所以在上单调递减， 当时，不等式得到，矛盾； 当时，转化成即，所以； 当时，转化成，，所以， 综上所述，不等式的解集为 故选：D 二、多项选择题 9. 已知锐角三角形三边长分别为，则实数的可能取值是（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先由三角形三边关系确定的范围，再借助余弦定理列出关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为是三角形的三边，则且，得， 设这个三角形中长为的边所对角分别为，显然长为的边所对角必为锐角， 而这个三角形为锐角三角形， 则由余弦定理得，即，解得， 所以实数的取值范围是，故BC正确，AD错误. 故选：BC 10. 不等式对任意的恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将原不等式转化为一元二次不等式恒成立问题，根据二次函数性质求解. 【详解】 可整理为 ，根据二次函数的性质有： ，故A正确； 当时，满足 ，即原不等式成立，B错误； 由 ，得 ，所以 ，C正确； ，D正确； 故选：ACD． 11. 下列命题正确的是（ ） A. 集合的真子集个数为16 B. 若点是的重心，则 C. 设，则 D. 函数为偶函数的充要条件为 【答案】BD 【解析】 【分析】由集合性质得到集合中的元素，再由真子集个数确定A错误；作出图形，由向量的加减法法则得到B正确；取特殊值验证C错误；利用偶函数的性质和余弦诱导公式和两角和的余弦展开式以及正弦函数的取值结合起来可判断D正确. 【详解】A：一共有四个元素，故真子集个数为个，故A错误； B：如图， 延长交于点，延长至点，使，连接， 由三角形全等易知四边形是平行四边形，则有， 又点是的重心，所以，又， 所以，故B正确； C：若，则，故C错误； D：此时有，所以， 展开可得， 即恒成立，所以，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 12. 函数的值域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由的取值范围及指数函数的性质即可求解． 详解】设，由得，， 所以，则， 因为在上单调递减，所以， 故答案为：． 13. 已知函数的定义域是，，，当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知关系式可推导求得，利用周期性和对称性可得，结合已知函数解析式可求得结果. 【详解】由得：， 又，， ，， . 故答案为：. 四、双空题 14. 若集合是16和24的公约数，则1______，8______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意求得集合，即可得结果. 【详解】因为是16和24的公约数，所以． 故答案为：；. 五、解答题 15. 已知幂函数在上单调递减. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性即可求得. （2）构造函数，根据其单调性即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为幂函数在上单调递减，所以，即， 则（舍去），所以. 【小问2详解】 因为，，则， 因为在上单调递增，所以，则， 所以实数的取值范围为. 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求在上的单调递增区间； （2）在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得的值，从而得到函数的解析式，整体代入法求解单调区间即可； （2）利用正弦定理即两角和的正弦公式化简条件，从而求得继而得到整体代入求函数值的范围即可. 【小问1详解】 . 因为所以 故. 由 解得 当时又 所以在上的单调递增区间为. 【小问2详解】 由 得（ 所以. 因为所以 又所以 又三角形为锐角三角形，则，则，所以， 又，， 则， 所以的取值范围为. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求 （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求得结果； （2）由三角形的面积可求得，再结合（1）中得到的式子可求出的值，从而可求出三角形的周长. 【小问1详解】 因为，，（为外接圆的半径）， 又因为， 所以，即， 所以， 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以的周长为6 18. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，当轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）当，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由条件列方程求，由此可得椭圆方程；(2)根据椭圆的定义和余弦定理列等式，化简可求，再由三角形面积公式求的面积. 【小问1详解】 由知，， 因为轴时，可得点的坐标为或，因为点在椭圆上，所以，又，所以 所以，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，，，又， 所以，所以， 所以，所以的面积为. 19. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1），． （2）在上减函数，证明见解析． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【小问1详解】 因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴，又∵，即，∴． 则，由， 则当，原函数奇函数． 【小问2详解】 由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减涵数． 【小问3详解】 因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$