精品解析：广东省揭阳市普宁市2024-2025学年九年级上学期第一次联考数学试题

九年级数学试题 说明：1．全卷共6页，用时120分钟，满分为120分． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的监测号、姓名、试室号、座位号、用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．）在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确答案写在答题卡的相应位置． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 4. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（ ） A. 平行四边形， B. 平行四边形， C. 菱形， D. 菱形， 5. 一元二次方程的解完全正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列判断不正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ） A. 四边形是矩形 B. 四边形的内角和小于四边形的内角和 C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D. 四边形的面积等于四边形面积的 8. 关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图是用尺规过点P作直线l垂线的两种方法，其中a，b，m，n分别表示画相应弧时所取的半径，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是（　　） A. 若，方法Ⅰ中的四边形为正方形 B. 若，方法Ⅰ中的四边形为矩形 C. 若，方法Ⅱ中的四边形为菱形 D. 若，方法Ⅱ中的四边形为正方形 10. 正方形，…按如图所示的方式放置．点，…和点，…分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分．）请将下列各题的正确答案写在答题卡的相应位置． 11. 分解因式：________． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 13. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有100人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为___________人． 14. 如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝_____． 15. 如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中正确的有______． ①；②；③；④ 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．请将正确答案写在答题卡的相应位置． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：．其中是方程根． 18. 某中学对全校九年级学生进行了一次数学考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？ （2）求样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； （3）该学校九年级共有1000人参加了这次数学考试，估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？ 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．请将正确答案写在答题卡的相应位置． 19. 在矩形中，和相交于O点，． （1）尺规作图：在线段上求作点E，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接并延长交于点F，连接并延长交于点G，连接，请在图中补全图形并证明四边形是菱形． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：无论取何值，此方程必有实数根； （2）若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为5，求的值； （3）若等腰三角形的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 21. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 五．解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．请将正确答案写在答题卡的相应位置． 22. 综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点F为的中点，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 的值． 23. 探究不同长方形周长与面积的关系 一、项目化情境与问题 某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是长方形，它的长、宽、周长C和面积S分别如图1所示 根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的，即对于任意一个长方形A，是否一定存在长方形B，使得成立？ 二、项目支架与探究 为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论． 探究1 研究特殊情况 小组成员研究过后得知一定存在长方形乙的使得 设长方形乙的长为x，宽为y，请你通过计算完成图2的填空∶ 探究2 研究特殊情况 不妨考虑图2所示长方形乙，探究是否存在长方形丙使得成立？若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由． 三、项目成果 长方形A的长为m，宽为1，若一定存在长方形B，使得成立，请直接写出m的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试题 说明：1．全卷共6页，用时120分钟，满分为120分． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的监测号、姓名、试室号、座位号、用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．）在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确答案写在答题卡的相应位置． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，然后根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故选：． 3. 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项． 【详解】解：由题意得： 原中位数为4，原众数为4，原平均数为，原方差为； 去掉一个数据4后的中位数为，众数为4，平均数为，方差为； ∴统计量发生变化的是方差； 故选D． 【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数、众数及方差是解题的关键． 4. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（ ） A. 平行四边形， B. 平行四边形， C. 菱形， D. 菱形， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，如图，作于，于，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则， ∵四边形平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 故选：D． 5. 一元二次方程的解完全正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴， 故选：B． 6. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案． 【详解】解：若，则，故选项A正确； 若，则，故选项B正确； 若，则，故选项C 不正确； 若，则，故选项D正确． 故选C． 7. 如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ） A. 四边形是矩形 B. 四边形的内角和小于四边形的内角和 C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D. 四边形的面积等于四边形面积的 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线的性质，，，继而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：连接，设交于点， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，， A. 四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； B. 四边形的内角和等于于四边形的内角和，都为360°，故该选项不正确，不符合题意； C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意； D. 四边形的面积等于四边形面积的，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了中点四边形的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 8. 关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程根的情况可以求出n的范围，并可得到一次函数中参数的范围，从而得到问题解答． 【详解】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（2n）＝16﹣8n＜0， 解得：n＞2， ∵一次函数y＝（2﹣n）x+n中，k＝2﹣n＜0，b＝n＞0， ∴该一次函数图象在第一、二、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算和应用、一次函数的图象与性质是解题关键． 9. 如图是用尺规过点P作直线l垂线的两种方法，其中a，b，m，n分别表示画相应弧时所取的半径，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是（　　） A. 若，方法Ⅰ中的四边形为正方形 B. 若，方法Ⅰ中的四边形为矩形 C. 若，方法Ⅱ中的四边形为菱形 D. 若，方法Ⅱ中的四边形为正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，菱形的判定定理，作垂线，灵活运用所学知识是解题的关键． 根据矩形的判定定理，正方形的判定定理，菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由作图方法可知，当时，虚线段组成的四边形的四条边相同，它是菱形，并不一定是正方形，不符合题意； B、由作图方法可知，当时，虚线段组成的四边形有一组对角都是直角，另一组对角不一定是直角，并不一定是矩形，不符合题意； C、由作图方法可知，当时，虚线段组成的四边形的四条边相同，它是菱形，符合题意； D、由作图方法可知，当时，虚线段组成的四边形有一组对角都是直角，另一组对角不一定是直角，并不一定是矩形，并不一定是正方形，不符合题意； 故选：C． 10. 正方形，…按如图所示的方式放置．点，…和点，…分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，待定系数法求一次函数，由图和条件可知，由此可以求出直线为，的横坐标为的横坐标，纵坐标为的纵坐标，因为的横坐标数列为，所以纵坐标为，最后根据规律就可以求出的坐标，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【详解】解：点，， ， 代入直线可得，解得 直线为， ， 四边形正方形为正方形， ， 的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， … 以此类推可得，的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为的横坐标，纵坐标为的纵坐标 ， 故选：A． 二．填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分．）请将下列各题的正确答案写在答题卡的相应位置． 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键． 详解】解：， 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意得， ，，求解作答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ ，， 解得，且， 故答案为：且． 13. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有100人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为___________人． 【答案】1000 【解析】 【分析】根据两轮传染后患了感冒的人数第一次被传染的人数+第二次被传染的人数，求出一个人可以传染的人数，即可进行求解．本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解． 【详解】解：设一个人可以传染x个人， ， 解得：，（舍）， ∴经过三轮后患了感冒的人数为：（人）， 故答案为：1000． 14. 如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由矩形的性质可得AO=CO=5=BO=DO，由S△DCO=S△DPO+S△PCO，可得PE+PF的值． 【详解】解：如图，设AC与BD的交点为O，连接PO， ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=5=BO=DO， ∴S△DCO=S矩形ABCD=10， ∵S△DCO=S△DPO+S△PCO， ∴10=×DO×PF+×OC×PE ∴20=5PF+5PE ∴PE+PF=4 故答案为4 【点睛】本题考查了矩形的性质，利用三角形的面积关系解决问题是本题的关键． 15. 如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中正确的有______． ①；②；③；④ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，过作于点，过作于点，然后根据正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质逐项判断即可，正确的作出辅助线及熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过作于点，过作于点，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又， 在和中， ∴， ， ∴， ∴矩形为正方形， ∴，，，故正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误， 综上可知：正确， 故答案为：． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．请将正确答案写在答题卡的相应位置． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简后计算即可得出答案． 【详解】解： 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 17. 先化简，再求值：．其中是方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解： ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 18. 某中学对全校九年级学生进行了一次数学考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？ （2）求样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； （3）该学校九年级共有1000人参加了这次数学考试，估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？ 【答案】（1）50 （2）10，补全条形图见解析 （3）200 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，是解题的关键． （1）利用成绩类别为“差”的人数除以所占的百分比，即可求出总数， （2）用总数乘以成绩类别为“中”的人数所占的百分比，进行求解即可；即可补全条形图； （3）用乘以样本中成绩类别为“优”的人数所占的比例进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 答：本次抽样调查共抽取了50名学生； 【小问2详解】 解：（人）； ∴样本中表示成绩类别为“中”的人数为人； 补全图形如下： 【小问3详解】 解：（人）； ∴估计该校九年级共有200名学生的数学成绩可以达到优秀． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．请将正确答案写在答题卡的相应位置． 19. 在矩形中，和相交于O点，． （1）尺规作图：在线段上求作点E，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接并延长交于点F，连接并延长交于点G，连接，请在图中补全图形并证明四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，作的角平分线，与的交点即为； （2）补图如图，证明，则，四边形是平行四边形，由（1）知是等边三角形，则是的垂直平分线，，可得，，即，进而结论得证． 【小问1详解】 解：∵矩形，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即为中点，为的平分线， 如图1，作的角平分线，与的交点即为； 【小问2详解】 证明：补图如图， 四边形是矩形． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， 由（1）知是等边三角形， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，作角平分线，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，菱形的判定．熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，作角平分线，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，菱形的判定是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：无论取何值，此方程必有实数根； （2）若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为5，求的值； （3）若等腰三角形的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的周长为14或16 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理及等腰三角形的定义，分类讨论；熟记相关结论是解题关键． （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则． 据此即可求解． （3）分类讨论：①若为底边，②若为腰，两种情况，即可求解； 【小问1详解】 证明：， ，，， ， ∴方程必有实数根． 【小问2详解】 解：设，，由根与系数的关系得： ，． 由斜边的长为5，结合勾股定理得：， ∴ ， ∴， ∴，． 当时，，；当时，，． ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：①若为底边，则，即方程由两个相等的实数根， 即，解得：， 把代入方程得：， 解得：，即． ∴． ②若为腰，则或， 把代入方程得：，解得：， 当时，方程为：，解得：，． ∴． 综上：的周长为或． 21. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】（1）6m （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． 【小问2详解】 解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 五．解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．请将正确答案写在答题卡的相应位置． 22. 综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点F为的中点，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，连接，当点E为三等分点时，直接写出的值． 的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）与的数量关系为：，理由见解析；（3）的值为或 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据菱形的判定即可得； （2）连接，证出，根据全等三角形的性质即可得； （3）分两种情况：①当点为的三等分点，且时，②当点为的三等分点，且时，利用折叠的性质和勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）四边形为菱形，理由如下： ∵四边形矩形， ， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为菱形， 故答案为：菱形； （2）与的数量关系为：，理由如下： 如图2，连接PF， ∵F为的中点， ， ∵四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ，， 在和Rt△PBF中， ， ， ； （3）分两种情况： ①如图3，若点E为的三等分点，且， ， ，， ∵四边形是矩形， ，， 过点E作于M， 则四边形为矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， ； ②如图4，若点E为的三等分点，且， 则，， 过点E作于N， 则， 同理可得：，， 在中，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 23. 探究不同长方形周长与面积的关系 一、项目化情境与问题 某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是长方形，它的长、宽、周长C和面积S分别如图1所示 根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的，即对于任意一个长方形A，是否一定存在长方形B，使得成立？ 二、项目支架与探究 为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论． 探究1 研究特殊情况 小组成员研究过后得知一定存在长方形乙的使得 设长方形乙的长为x，宽为y，请你通过计算完成图2的填空∶ 探究2 研究特殊情况 不妨考虑图2所示的长方形乙，探究是否存在长方形丙使得成立？若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由． 三、项目成果 长方形A的长为m，宽为1，若一定存在长方形B，使得成立，请直接写出m的最小值． 【答案】探究1：，，，；探究2：不存在，理由见解析；三、m的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程的判别式、解一元二次方程，能够根据题意列出方程是解题的关键． 探究1：根据题意得到，，然后利用长方形面积和周长公式得到，，进而解方程求解即可； 探究2：首先根据题意得到，，然后设长方形丙两条邻边长分别为a和，然后根据面积列方程求解即可； 三、设长方形B的两边长分别为，根据题意得到，然后得到，然后利用一元二次方程的判别式结合求解即可． 【详解】探究1：∵， ∴， ∵设长方形乙的长为x，宽为y， ∴， ∴，即 代入得， 解得，或（因y是宽小于长，故舍去） ∴； 探究2：要使成立 则， ∴设长方形丙两条邻边长分别为a和， ， ， ∴方程无解 不存在； 三、设长方形B的两边长分别为 则有 消去得，得 解得：或 ∵ m的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$