精品解析：广东省梅州市梅县东山中学2024-2025学年高二上学期月考（一） 数学试卷

东山中学2024-2025学年度高二第一学期月考（一） 数学试题 命题人：曾巧志、古苑苑、邱艳平 审题人：周东贤 2024.10 说明： 1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 2．填空题直接把答案填写在答题卡相应横线上. 3．试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程化为一般方程，然后直接代入点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线化为一般式方程为， 所以所求距离为. 故选：B 2. 已知直线的倾斜角为 ，若直线过点，且与直线的倾斜角互余，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的倾斜角，然后求得直线的斜率，然后利用点斜式即可得解. 【详解】直线的倾斜角为，直线与直线的倾斜角互余，所以直线的倾斜角为 所以． 又直线过点，代入点斜式方程得． 故选：B 3. 已知的夹角为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的数量积、模长、夹角公式可判断ACD；设，代入解方程即可判断B. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设，则，则无解，故B错误； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 4. 已知直线，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线垂直的充要条件列出方程求解即可. 【详解】由题意，则， 即，解得. 故选：C. 5. 如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，则这个二面角的度数为 A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【详解】过点 作且，连接，则，即为二面角的平面角，由题意，得，由余弦定理，得，则，即这个二面角的度数为；故选B. 6. 已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列方程组求实数k的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 7. 已知为平行四边形 外的一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量为 C. 与夹角的余弦值为 D. 平面的一个法向量为 【答案】C 【解析】 【分析】首先求向量，的坐标，再根据共线向量，单位向量，以及向量的夹角公式，以及法向量公式，即可求解. 【详解】，，， 所以与不共线，故A错误； ，的单位向量为，故B错误； ，故，故C正确； 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，则，故D错误． 故选：C 8. 已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点 作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点 作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若三条直线可以围成一个三角形，则实数 的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可得三条直线两两都不平行且不同时过同一个点，写出限定条件即可得结果. 【详解】根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一个点； 当平行时可得 ，此时不合题意，因此； 联立，即，解得交点坐标为， 因此不在上，即可得，可得； 所以若三条直线围成一个三角形，只需且即可. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B. 若，，，则四点共面 C. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足，则四点共面 D. 若为空间的一个基底，则不可构成空间的另一个基底 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，若向量垂直则向量积为零，运算可判断；对B，利用共面向量基本定理结合坐标运算可判断；对C，若四点共面，则且，可判断；对D，不能做基底，则线性相关，假设存在 使得，代入解方程看是否有解，即可判断. 【详解】对A，由题意知，所以直线l与m垂直，故A正确； 对B，若四点共面，则共面，因为， 所以四点共面，故B正确； 对C，若四点共面，则且， 而，可知，所以不共面，故C错误； 对D，不能做为基底，则线性相关， 假设存在 使得， 化简解之可得，则不可作为基底，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在多面体中，平面 ，四边形 是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段 上的一个动点（含端点、 ），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自 向处运动时，直线 与平面所成的角逐渐增大 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断A选项；利用异面直线的向量夹角公式计算判断B选项；连接、 、，结合锥体体积公式，利用等体积法判断C选项；利用向量的坐标运算表示线面角的正弦值，然后利用二次函数及正弦函数的单调性即可判断D选项. 【详解】以 为坐标原点，、、的方向为 、 、 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，    ，，，，，，； 对于A选项，假设存在点，使得， 则，又， 所以，解得， 即点与 重合时，，A正确； 对于B选项，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，， 所以，方程无解； 所以不存在点满足题意，B错误；    对于C选项，连接、 、，设， 因为， 所以当，即点与点 重合时，取得最大值 ； 又点到平面的距离， 所以，C正确； 对于D选项，由上分析知：，， 若是面的法向量，则， 令 ，则， 因为，设直线 与平面所成的角为 ，， 所以， 当点自 向处运动时，的值由到 变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以 也逐渐增大，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是________________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据点的对称直接求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是. 故答案为：. 13. 在 中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用中点坐标公式，即可求点C的坐标，得到答案. 【详解】设，则AC边的中点为，BC边的中点为， 因为点M在y轴上，所以，解得. 因为点N在x轴上，所以，解得，即. 故答案为:. 14. 空间四边形 中，，且异面直线与成，求异面直线 与 所成角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先得到，两边平方后，结合边长和直线与所成角得到方程，求出或，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】因为，所以， 两边平方得， ，且异面直线与成， 故， 或， 所以，或， 解得，或（舍去）， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和直线的交点为 （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若点到直线距离为，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）首先求点的坐标，再根据两直线平行，即可求解直线方程； （2）代入点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 联立方程组，解得，所以点， 又所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率为， 则所求的直线方程为：，即； 【小问2详解】 点到的距离为 解方程可得. 16. 如图，在空间四边形中，，点 为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【小问1详解】 ， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. 【小问2详解】 由题意得， 故， 故 . 17. 已知 的三个顶点是，，. （1）求边 上的高所在直线的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程， （2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率. 【小问1详解】 设 边上的高所在直线的斜率为，直线 的斜率， 所以，所以， 故所求直线方程为，即. 【小问2详解】 由题意得，， 所以，则 为等腰三角形， 的中点为，故， 由等腰三角形的性质知，为的平分线， 故所求直线方程为，即. 18. 如图，等腰梯形 中，，，现以 为折痕把 折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面 ； （2）若为上的一点，点到平面的距离为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：在梯形 中，取中点，连接， ，，四边形为平行四边形，， ，， ，，平面，平面， 平面 ，平面平面 . （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，利用平行四边形的判定和性质得，利用直角三角形性质得，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可； （2）分别取中点，连接，利用面面垂直的性质定理及线线平行性质得平面，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法求解二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取中点，连接， ， 为 中点，， 又平面平面 ，平面平面，平面， 平面 ， 分别为中点，，平面， 则以 为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，，， 设，则， 设平面的法向量， 则，令，解得： ，，； 点到平面的距离， 解得：，； 平面轴，平面 的一个法向量， ，又二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长，宽，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，如下图所示．将矩形折叠，使A点落在线段DC上． （1）求折叠前直线AC与直线BD所成角（锐角）的余弦值； （2）若折痕所在直线的斜率为k，求折痕所在直线的方程（用斜率k表示）； （3）求折痕的长的最大值． 可能用到的结论：函数在上递减，在上递增． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可求解，或者利用向量的夹角公式求解，也可以利用两点斜率公式，结合到角公式，即可利用三角恒等变换求解， （2）当时，此时 点与 点重合，折痕所在的直线方程．当时，将矩形折叠后 点落在线段 上的点记为，可知： 与 关于折痕所在的直线对称，有，解得．故 点坐标为，可得 中点的坐标，利用点斜式求得折痕所在的直线方程． （3）分三种情况先求得、的坐标，再利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性，即可得出的最大值． 【小问1详解】 法一：设AC与BD交于点O，则． 在中，， 在中，由余弦定理得， 故直线AC与直线BD所成角 的余弦值为． 法二：由题设得． ， ， 故直线AC与直线BD所成角 的余弦值为． 法三：由题设得． ， ， ， 故直线AC与直线BD所成角 的余法弦为 【小问2详解】 ①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程． ②当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为， 所以A与G关于折痕所在的直线对称，有，即． 故G点坐标为 从而折痕所在的直线与AG的交点坐标（即线段AG的中点）为． 折痕所在的直线方程，即． 由①②得折痕所在的直线方程为． 【小问3详解】 （i）当时，折痕的长为2； （ii）当时， ①如下图，折痕所在的直线与边AD．BC的交点坐标为． 这时,则故． ②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为． 这时，则． 令，其中，则，令． 函数在上递减，在上递增． 在上递减，在上递增． ． ，即 ③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为． 这时． 综上述，即折痕的长度平方的最大值为， 所以折痕的长度的最大值． 【点睛】方法点睛：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，利用直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东山中学2024-2025学年度高二第一学期月考（一） 数学试题 命题人：曾巧志、古苑苑、邱艳平 审题人：周东贤 2024.10 说明： 1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 2．填空题直接把答案填写在答题卡相应横线上. 3．试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的倾斜角为 ，若直线过点，且与直线的倾斜角互余，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的夹角为 ，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，则这个二面角的度数为 A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 6. 已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为平行四边形外的一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量为 C. 与夹角的余弦值为 D. 平面的一个法向量为 8. 已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若三条直线可以围成一个三角形，则实数 的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B. 若，，，则四点共面 C. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足，则四点共面 D. 若为空间的一个基底，则不可构成空间的另一个基底 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段 上的一个动点（含端点、 ），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自 向处运动时，直线 与平面所成的角逐渐增大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是________________________ 13. 在 中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为________. 14. 空间四边形中，，且异面直线与成，求异面直线 与 所成角的余弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和直线的交点为 （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若点到直线距离为，求的值. 16. 如图，在空间四边形中，，点 为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 17. 已知 的三个顶点是，，. （1）求边 上的高所在直线的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程. 18. 如图，等腰梯形 中，，，现以 为折痕把 折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面 ； （2）若为上的一点，点到平面的距离为，求二面角的余弦值. 19. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长，宽，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，如下图所示．将矩形折叠，使A点落在线段DC上． （1）求折叠前直线AC与直线BD所成角（锐角）的余弦值； （2）若折痕所在直线的斜率为k，求折痕所在直线的方程（用斜率k表示）； （3）求折痕的长的最大值． 可能用到的结论：函数在上递减，在上递增． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $