精品解析：黑龙江省佳木斯市2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024—2025学年度九年级上第一次阶段测试 数学试卷 一、填空题：（每题3分共30分） 1. 已知方程是关于一元二次方程，则=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得且，据此即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 2. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴为轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可. 【详解】解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c， ∵图象的对称轴为y轴， ∴对称轴为x==0， ∴b=0， ∴满足条件的函数可以是：.（答案不唯一） 故答案是：y=x2（答案不唯一） 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 3 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人． 【答案】12 【解析】 【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解 【详解】解：设平均一人传染了x人， x+1+（x+1）x=169 解得：x=12或x=-14（舍去）． ∴平均一人传染12人． 故答案为：12． 【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解． 4. 已知二次函数图象的顶点坐标是，形状与抛物线相同，且开口向下，那么这个二次函数的解析式为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点坐标，设抛物线解析式为，根据形状与抛物线相同，且开口向下，得出，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴设抛物线解析式为， ∵形状与抛物线相同，且开口向下， ∴， ∴这个二次函数的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 5. 如图，在长为100，宽为50的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600，则小路的宽是____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 小路的宽是． 故答案为：． 6. 抛物线与坐标轴的交点有_____个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，令，求出抛物线与x轴的交点，令，求出抛物线与y轴的交点，即可解答． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴抛物线与x轴交点为，； 令，则， ∴抛物线与y轴交点为， 综上所述，抛物线与坐标轴的交点有3个． 故答案为：3 7. 某次商品交易会上，所有参加会议的商家每两家之间都签订了一份合同，共签订合同36份．共有___________家商家参加了交易会． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设有家商家参加交易会，根据题意列出方程并求解即可． 【详解】解：设有家商家参加交易会，根据题意列出方程得， ， 解得或（舍去） 则， 答：共有9家商家参加了交易会． 8. 将抛物线向上平移4个单位长度，向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移．熟练熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．用规律求平移后的函数解析式，是解决问题的关键． 直接根据平移规律作答即可． 【详解】∵抛物线向上平移4个单位长度，向右平移2个单位， ∴， 故答案为：． 9. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干、小分支的总个数是73，则每个支干长出_____个小分支． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是73，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 故答案为：8． 10. 如图，在中，，．设直线截这个三角形所得的涂色部分的面积为，则与之间的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系，难度不大． 先证明，然后根据三角形的面积公式可求的面积，解答出与之间的函数关系式． 【详解】解：如图所示， ∵中，，且， ， ， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 二、选择题：（每题3分，共30分） 11. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、由原方程得到，属于一元一次方程，故本选项错误． 故选：C． 12. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将二次函数写成顶点式，进而可得对称轴． 【详解】解：． 二次函数的图象的对称轴是． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键． 13. 已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，得，结合根与系数的关系，得+=3，进而即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，即：，+=3， ∴=-2(+)=-1-2×3=-7． 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握（a≠0）的两根为，，则+=，=，是解题的关键． 14. 已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】本题主要考查了根据抛物线与x轴的交点求一元二次方程的解，根据对称性求得另一交点的坐标是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，再求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，然后根据二次函数与一元二次方程之间的关系进行即可解答． 【分析】解：∵二次函数解析式为, ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图像与x轴的一个交点是， ∴二次函数的图像与x轴的另一个交点是， ∴方程的两个实数根为，． 故选：A． 15. 关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与方程根的个数之间的关系，掌握此关系是解题的关键． 根据题意得到关于k的不等式，解不等式，同时，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， 且． 故选：C． 16. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象和二次函数图象识别．首先分两种情况进行分析，当时，可以确定一次函数与二次函数的大致走向；同理当时也可以，再结合两函数图象交于点即可得出答案． 【详解】解：当时，直线过一、三象限，抛物线开口向上； 当时，直线过二、四象限，抛物线开口向下， 可得选项B、C、D不符合题意，选项A符合题意， 故选：A． 17. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（ ） A 26 B. 84 C. 48 D. 62 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程应用，设个数上的数字是x，则十位上的数字是，根据题意列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设个数上的数字是x，则十位上的数字是， 由题意得，， 整理得，， 解得，（舍去）， 个数上的数字是4，十位上的数字是， 这个两位数是84， 故选B． 18. 如图，二次函数的图象与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且满足，则点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于OA是定长，根据△AOP的面积即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标． 【详解】解：抛物线的解析式中，令y＝0，得：−x2−2x＝0，解得x＝0，x＝−2； ∴A（−2，0），OA＝2； ∵S△AOP＝OA•|yP|＝3，∴|yP|＝3； 当P点纵坐标为3时，−x2−2x＝3，x2＋2x＋3＝0，△＝4−12＜0，方程无解，此种情况不成立； 当P点纵坐标为−3时，−x2−2x＝−3，x2＋2x−3＝0， 解得x＝1，x＝−3； ∴P（1，−3）或（−3，−3）； 故选：C． 【点睛】能够根据三角形面积来确定P点的坐标，是解答此题的关键． 19. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 20. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论①；②；③；④其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断． 【详解】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac＞0，故①正确； ②抛物线开口向上，得：a＞0；由抛物线的对称轴为x=-=1，得b=-2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确； ③观察图象得，当x=-2时，y＞0， 即4a-2b+c＞0， ∵b=-2a， ∴4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，故③正确； ④根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）； 当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确； 综上所述，正确的说法是：①②③④． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用． 三、解答题：（共60分） 21. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，； 【小问3详解】 解： 或 解得，； 【小问4详解】 解： 或 解得，． 22. 已知关于的一元二次方程．求证：不论实数取何值，方程总有实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确记忆根的判别式是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根． 【详解】证明：， 因为不论为何值，， 所以， 所以无论取什么实数值，该方程总有实数根． 23. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 【答案】（1）10%；（2）13.31万 【解析】 【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意列出等式解出即可； （2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为． （2）（万人）， 答：六月份的参观人数为13.31万人． 【点睛】本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测． 24. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 【答案】或时 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为，则，， 依题意，得． 整理，得， 解得，， 或时，的面积是． 25. 如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃一边的长为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为63平方米的花圃，的长是多少？ 【答案】（1） （2）7米 【解析】 【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出的长为米，利用矩形的面积计算公式，可用含的代数式表示，再结合边的长大于0且长度不超过米，即可得出的取值范围； （2）根据围成花圃的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：的长为米，且篱笆的总长度为米， 的长为米． 花圃的面积， ∵墙的长度为， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：的长是米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 26. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌 粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 （元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=-20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元． 【解析】 【详解】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获的利润×销售量列出函数关系式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可． 试题分析： 试题解析：（1）由题意得，y=700-20（x-45）=-20x+1600； （2），∵x≥45，抛物线的开口向下，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元． 考点：二次函数的应用． 27. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3） （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3． （2）P（﹣4，5）（2，5）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A（1，0），C（0，﹣3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是y=x2+2x﹣3． ∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）， ∴，解得． ∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3． （2）求出A、B两点坐标，得到AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标： ∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1． ∴A（1，0），B（﹣3，0）．∴AB=4． 设P（m，n）， ∵△ABP的面积为10，∴AB•|n|=10，解得：n=±5． 当n=5时，m2+2m﹣3=5，解得：m=﹣4或2． ∴P（﹣4，5）（2，5）． 当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5，方程无解． ∴P（﹣4，5）（2，5）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度九年级上第一次阶段测试 数学试卷 一、填空题：（每题3分共30分） 1. 已知方程是关于的一元二次方程，则=_____． 2. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________． 3. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人． 4. 已知二次函数图象的顶点坐标是，形状与抛物线相同，且开口向下，那么这个二次函数的解析式为________. 5. 如图，在长为100，宽为50的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600，则小路的宽是____． 6. 抛物线与坐标轴的交点有_____个． 7. 某次商品交易会上，所有参加会议的商家每两家之间都签订了一份合同，共签订合同36份．共有___________家商家参加了交易会． 8. 将抛物线向上平移4个单位长度，向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式是_____． 9. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干、小分支的总个数是73，则每个支干长出_____个小分支． 10. 如图，在中，，．设直线截这个三角形所得的涂色部分的面积为，则与之间的函数解析式为______． 二、选择题：（每题3分，共30分） 11. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. B. C. D. 13. 已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 14. 已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15. 关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 16. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 17. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（ ） A. 26 B. 84 C. 48 D. 62 18. 如图，二次函数的图象与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且满足，则点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 19. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 20. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论①；②；③；④其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题：（共60分） 21 解方程： （1） （2） （3） （4） 22. 已知关于的一元二次方程．求证：不论实数取何值，方程总有实数根． 23. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 24. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 25. 如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃一边的长为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为63平方米的花圃，的长是多少？ 26. 满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌 粽子，每盒进价40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 （元）最大？最大利润是多少？ 27 如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3） （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$