精品解析：福建省莆田市城厢区南门中学2024-2025学年八年级上学期第一次综合性限时训练数学试卷

南门中学2024-2025学年数学八上第一次综合性限时训练 一．选择题（共10小题） 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm B. 2cm，3cm，4cm C 4cm，6cm，10cm D. 5cm，8cm，14cm 3. 如图，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 16 D. 17 6. 如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 7. 如图，△ABC中，，点为△ABC各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为，若，，，那么的值为　　 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 10. 如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，则度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 点关于x轴对称的点的坐标为____________. 12. 如图，B、E、C、F四点在同一直线上，且，，添加一个条件________，使（写出一个即可）． 13. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是_________． 14. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则_________°． 15. 如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点E，F，再以点E为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为____________． 16. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，．如图所示，已知，正方形的边长是2，，则的长为__________． 三．解答题（共8小题） 17. 计算： 18. 解不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 19. 如图，点E、FBC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 20. 如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标注它的位置（尺规作图，不写作法，保留作图的痕迹）． 21. 如图，在中，，是的中线，平分交于点E，交于点F，连接． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的度数． 22. 张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 （1）求商品A、B的标价； （2）若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 23 阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的倍，那么这样的三角形我们称为“特征三角形”，其中称为“特征角”例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“特征三角形”，其中“特征角”为．反之，若一个三角形是“特征三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的倍． （1）一个“特征三角形”的一个内角为，若“特征角”为锐角，则这个“特征角”的度数为 ． （2）如图，中，点在边上，平分交于点． ①若，，判断是否为“特征三角形”，并说明理由； ②若，是“特征三角形”，请直接写出的度数； ③如图，若为线段上一点，且，．若是“特征三角形”，求的度数． 24. 问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南门中学2024-2025学年数学八上第一次综合性限时训练 一．选择题（共10小题） 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”即可得，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A、属于轴对称图形，选项说法正确，符合题意； B、不属于轴对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、不属于轴对称图形，选项说法错误，不符合题意； D、不属于轴对称图形，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm B. 2cm，3cm，4cm C. 4cm，6cm，10cm D. 5cm，8cm，14cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系依次判断解答． 【详解】解：A、∵1+2=3，∴该项三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、2+3＞4，4-2＜3，∴该项三条线段能组成三角形，符合题意； C、4+6=10，∴该项三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、5+8<14，∴该项三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形三条边的关系：两边之和大于第三边，两边只差小于第三边，是解题的关键． 3. 如图，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等推知，然后根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键． 4. 一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可得在镜子里看到的“号码”是： ， 故选：C． 5. 如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线性质，并将周长转化成已知边得长度是解题的关键． 6. 如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定即可求解，掌握垂直平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵体育中心到城镇中心的距离相等， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理，点在线段，的垂直平分线上， ∴点应设计在三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 7. 如图，△ABC中，，点为△ABC各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为，若，，，那么的值为　　 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】连接、、，过作于，于，根据角平分线的性质定理得到IH=IM=IN，利用△ABC的面积得到关于IH的方程，求解即可． 【详解】解：连接、、，过作于，于， 点为△ABC各内角平分线的交点，，，， ， ，，， ， ， ， ，，，， ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 8. 如图，的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】见详解的图，根据三角形的外角定理可以把转化为，连接，，所以，则,即等于； 【详解】解：如图所示：连接CE, ，， , 则 故选A. 【点睛】本题考查三角形的外角定理，借助于辅助线去把角度转移到同一个三角形中求解，最后得出正确答案. 9. 如图，已知方格纸中是4个相同正方形，则（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用全等图形的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：， 则， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 10. 如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平线的性质和判定，三角形的外角性质，过点分别作，，，可证到，得到平分，再利用三角形外角性质即可求解，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【详解】解：过点分别作，，，垂足分别是点， ∵平分，，， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴平分， ∵，， ∴， ∴． 故选：． 二．填空题（共6小题） 11. 点关于x轴对称的点的坐标为____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是． 【详解】解：根据轴对称的性质，得点关于轴对称的点的坐标为． 故答案： 12. 如图，B、E、C、F四点在同一直线上，且，，添加一个条件________，使（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定添加合适的条件即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加（答案不唯一）， 证明如下：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 13. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用．根据多边形内角和定理：，列方程解答出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理得， ， 解得． 故答案为：6． 14. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则_________°． 【答案】 【解析】 【分析】此题要求的度数，可先求得其邻补角的度数，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”以及折叠的性质就可求解的度数． 【详解】解：四边形是长方形， ， ，（两直线平行，内错角相等） 由折叠得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 15. 如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点E，F，再以点E为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为____________． 【答案】##56度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，，利用证明，即可得出结果． 【详解】解：根据作图过程可知： ，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，．如图所示，已知，正方形的边长是2，，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，正方形的边长为2，则，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：正方形的边长为2，则， 设， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为：． 数轴表示如下： 19. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】解∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 20. 如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标注它的位置（尺规作图，不写作法，保留作图的痕迹）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作直线m和直线n所夹锐角的角平分线，作的垂直平分线，二者的交点即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求， 【点睛】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 21. 如图，在中，，是的中线，平分交于点E，交于点F，连接． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）先证明，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据三角形内角和定理求出的度数，根据证明，可求出的度数，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 证明∶∵是的中线， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴，， ∴垂直平分； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 22. 张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 （1）求商品A、B的标价； （2）若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 【答案】（1）商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个 （2）张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A，4个商品B；方案二：购买10个商品A，8个商品B；方案三：购买5个商品A，12个商品B 【解析】 【分析】（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可； （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案． 【小问1详解】 解：设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个． 【小问2详解】 设张老师购买m个商品A，n个商品B， 根据题意得：， ∴． 当时，；当时，；当时，． 答：张老师共有三种购买方案， 方案一：购买15个商品A，4个商品B； 方案二：购买10个商品A，8个商品B； 方案三：购买5个商品A，12个商品B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键． 23. 阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的倍，那么这样的三角形我们称为“特征三角形”，其中称为“特征角”例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“特征三角形”，其中“特征角”为．反之，若一个三角形是“特征三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的倍． （1）一个“特征三角形”的一个内角为，若“特征角”为锐角，则这个“特征角”的度数为 ． （2）如图，中，点在边上，平分交于点． ①若，，判断是否为“特征三角形”，并说明理由； ②若，是“特征三角形”，请直接写出的度数； ③如图，若为线段上一点，且，．若是“特征三角形”，求的度数． 【答案】（1） （2）①是为“特征三角形”，理由见解析；②或或；③或 【解析】 【分析】（1）根据特征角的定义，设这个“特征角“的度数为，则另一个角为，利用三角形的内角和定理得方程，解方程即可得解； （2）①根据特征三角形的定义证明即可；②设，则，，根据是“特征三角形”，分为特征角，为特征角，及为特征角三种情况讨论求解即可；③设，利用平行线的判定及性质得，，再根据是“特征三角形”，得或，解方程即可得解． 小问1详解】 解：∵一个“特征三角形”的一个内角为，若“特征角”为锐角， 设这个“特征角“的度数为，则另一个角为， ∴， 解得：， ∴这个“特征角“的度数为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是为“特征三角形”； ②设， ∵平分， ∴， ∴，， ∵是“特征三角形”， ）为特征角时，当时，，则， 当时，， 解得：（舍去） ）为特征角时，当时，，则， 当时，， 解得：（舍去） ）为特征角时，当时，， 解得：（舍去） 当时，， 解得：，则， 综上所述，或或； ③设 ∵，， ∴， ∴， ∴ 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，， ∵是“特征三角形”， ∴或， 解得：或， 即或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，平行线的性质及判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理等，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键． 24. 问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米 【解析】 【分析】（1）根据△ABE≌△ADG可得BE=DG，根据△AEF≌△AGF得EF=GF，进而求得结果； （2）延长CD至H，使DH=BE，可证得△ADH≌△ABE，进而证得△FAH≌△FAE，进一步求得EF． 【详解】解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为：EF=BE+DF； 实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∴∠ADH=∠B， 在△ADH和△ABE中， ， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， 在△AEF和△AHF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∵BE=10米，DF=15米， ∴EF=10+15=25（米）． 【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$