精品解析：福建省龙岩市龙岩北附高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

龙岩北附高级中学2024-2025高二上学期9月月考 数学试题（创新班） 考试时间：120分钟 满分：150分 考试日期：2024.10.5 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 2. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若过点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：和：．若，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 1或3 D. 或3 5. 经过两条直线，交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若点，到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或2 7. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（ ） A 4 B. 6 C. 9 D. 12 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设是数列的前项和，，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C 当时， D. 数列的前100项和为 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 C. ，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D. 直线的距离为 11. 已知两点，点是直线：上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 存在使最小 B. 存在使最小 C. 存在使最小 D. 存在使最小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为__________． 13. ，动直线过定点，动直线过定点，若直线与相交于点（异于点），则周长的最大值为_________ 14. 已知点分别在直线上移动，若为原点，，则直线斜率的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 16. 等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足． Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ设，，求数列的前n项和． 17. 已知直线，试求： （1）点关于直线l的对称点坐标. （2）直线关于直线l对称的直线的方程. （3）直线l关于点对称直线方程. 18. 已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标； （2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与x、y轴正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程. 19. 如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，. （1）若过点，且为线段的中点，求直线的方程； （2）若，求的面积取得最大值时直线的方程； （3）设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙岩北附高级中学2024-2025高二上学期9月月考 数学试题（创新班） 考试时间：120分钟 满分：150分 考试日期：2024.10.5 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项与等差数列前项和得出，，即可代入已知得出答案. 【详解】由等差数列的性质可得： ，， 则，即， ， 故选：C. 2. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可知，设等比数列的首项为，公比，可知，由并根据等比数列的前项和公式得出，进而得出，从而可求出的结果. 【详解】解：由题可知，，则， 设等比数列的首项为，公比，可知， 因为，所以， 则， 所以， 故. 故选：B. 3. 若过点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形分析，结合直线的倾斜角以及斜率的关系即可求解. 【详解】如图所示： 当点从点向点运动时，则直线的倾斜角越来越大， 当点与点重合时，直线的倾斜角的最小值为， 由直线倾斜角与斜率的关系可知， 所以， 当点与点重合时，直线的倾斜角的最大值为， 由直线倾斜角与斜率的关系可知， 所以， 又注意到当点从点向点运动时，是连续变化的， 因此满足题意的直线的倾斜角取值范围为. 故选：D. 4. 已知直线：和：．若，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 1或3 D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】借助直线平行的性质计算即可得，注意检验是否重合. 【详解】由，则有，即， 解得或， 当时，有，， 即两直线重合，不符，故舍去， 当时，有，， 符合要求，故. 故选：B. 5. 经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】求出交点，由方向向量可得斜率，然后由点斜式可得方程. 【详解】联立，解得：， 即直线的交点为， 又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 故该直线方程为：，即 故选：D. 6. 若点，到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或2 【答案】C 【解析】 分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 7. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，边上的高所在直线方程为，得到边所在直线的方程，再与边上的中线所在直线方程联立求得点C，设，由点B在AC的高线上和AB的中线上求解. 【详解】解：因为，边上的高所在直线方程为， 所以， 所以边所在直线的方程为，即. 又边上的中线所在直线方程为， 由，解得， 所以. 设，则线段的中点， 则 解得 即， 所以所在直线的方程为. 故选：D 8. 已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出关于直线的对称点的坐标，线段的长即为所求最小值． 【详解】设关于直线的对称点， 则，解得，即, 设关于直线的对称点， 则，解得，即, 所以，当且仅当共线时取等号． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设是数列的前项和，，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C 当时， D. 数列的前100项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推公式可求解选项A；利用构造法和等差、等比数列的定义求解选项B；根据的关系可求解选项C；利用错位相减法可求解选项D. 【详解】对A，由及，得，A错误． 对B，因为， 所以， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 则，即，所以， 则数列是等比数列，B正确． 对C，由，得， 当时，， 即，则，C正确． 对D，设， 则， 两式相减得 ， 即，D正确． 故选:BCD. 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 C. ，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D. 直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求出直线所过定点即可判断，对于B，漏掉了过原点的直线，对于C，两条直线垂直求出的值有2个，对于D，求出两条平行线的距离可判断. 【详解】对于A，，即， 直线恒过与的交点，解得，恒过定点，A正确； 对于B，直线过点，在轴上截距相等，当截距不为0时为， 截距为0时为，故B错误； 对于C，由题意，“直线与直线垂直” 则，解得或， 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，C正确； 对于D，直线的距离为，故D正确； 故选：ACD 11. 已知两点，点是直线：上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 存在使最小 B. 存在使最小 C. 存在使最小 D. 存在使最小 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：先求关于的对称点，根据与的交点坐标即可判断； B：设出点坐标，根据二次函数的性质求解出取最小值时点坐标； C：结合图示进行分析判断； D：根据绝对值的特点先判断出取最小值时点的位置，然后联立对应直线方程求解出点坐标. 【详解】对于A：设点关于直线的对称点为，所以，所以，所以， 所以，当且仅当为与交点时满足题意， 又因为，即， 所以，所以，所以，故A正确； 对于B：设，所以， 所以，当且仅当时有最小值， 此时，所以，故B正确； 对于C：如下图，根据与的位置关系可判断出有最大值，无最小值，故C错误； 对于D：因为，取等号时，即为垂直平分线与的交点， 因为垂直平分线方程为，即， 所以，所以，所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出，满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可． 【详解】因为，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：． 13. ，动直线过定点，动直线过定点，若直线与相交于点（异于点），则周长的最大值为_________ 【答案】 【解析】 【详解】由条件得直线过定点，直线过定点，且． 又直线， 所以, ∴，当且仅当时等号成立， ∴，即周长的最大值为． 答案： 14. 已知点分别在直线上移动，若为原点，，则直线斜率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式，求得斜率，结合的范围，即可求得结果. 【详解】因为点分别在直线上移动， 所以0， 两式相减得， 所以直线的斜率， 因为，所以， 所以， 即直线斜率的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可. 【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设， ⑧ 则． ⑨ 由⑧-⑨得． 所以． 因此． 故． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. [方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知，令，且，即， 通过等式左右两边系数比对易得，所以． 则，下同方法二． [方法四]：导函数法 设， 由于， 则． 又， 所以 ，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解； 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 16. 等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足． Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ设，，求数列的前n项和． 【答案】（Ⅰ）an=（n∈N*）（Ⅱ）1- 【解析】 【分析】Ⅰ根据条件列关于公比与首项的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可，Ⅱ先化简，再根据裂项相消法求结果. 【详解】解：（Ⅰ）设公比为，则因为，，成等差数列， 所以2=+，即 因为，所以 （Ⅱ）bn= = =-，n∈N*， ∴数列{bn}的前n项和Sn=++…+ =1-，n∈N*． 【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题. 17. 已知直线，试求： （1）点关于直线l的对称点坐标. （2）直线关于直线l对称的直线的方程. （3）直线l关于点对称的直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）设对称点为，由与直线垂直，中点在直线上列方程组求解； （2）求出与的交点坐标，再求出直线上一点关于直线的对称点的坐标，由这两点可得直线方程； （3）设直线关于点对称的直线方程为，由点到这两条平行线间距离相等求解． 【小问1详解】 设点P的对称点为， 则，解得， 所以对称点坐标为； 【小问2详解】 由，解得，即直线与的交点为， 点是直线上的一点，设它关于直线的对称点为， 则，解得，即， ，所以直线的方程为，即； 【小问3详解】 设直线关于点对称的直线方程为， 由，解得（舍去）或， 所以对称直线方程为． 18. 已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标； （2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；直线方程为3x＋4y－12＝0（3）3x＋3y－10＝0 【解析】 【分析】（1）将题目所给直线方程重新整理，由此证得直线恒过定点，并求得定点坐标. （2）设出直线方程截距式，根据题目所给条件，求出直线方程. （3）设出直线的倾斜角，求得的表达式并结合三角函数的知识求得最小值，以及此时的直线方程. 【详解】（1）依题意直线方程为， 即， 即， 所以由，解得，故直线过定点 （2）依题意设直线方程为，将代入得①. 则，则，解得或. 其中不满足①，满足① 所以存在直线，即满足条件. （3）由（1）知直线过定点，而若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线的倾斜角， 所以， 所以②， 令， 由于，所以，所以， 所以. 则②可化为，由于在上为减函数，所以在上为增函数，故当，即时，取得最小值为.此时直线方程为，即， 也即. 【点睛】本小题主要考查直线方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 19. 如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，. （1）若过点，且为线段的中点，求直线的方程； （2）若，求的面积取得最大值时直线的方程； （3）设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析，定点. 【解析】 【分析】（1）由题意，可设，，，由中点列关于方程组即可求解出坐标，计算斜率，利用点斜式写出直线方程；（2）由，根据两点距离公式列式，由基本不等式求解得，从而可得当，时三角形面积最大，从而得坐标，计算斜率，利用点斜式写出直线方程；（3）设的方程为，表示出坐标，从而可得，，代入计算可得，即可得直线方程为，判断得定点坐标. 【小问1详解】 易知直线的方程为，设，，， 为线段的中点，则， 解得，所以，， 所以， 故直线的方程为：， 即. 【小问2详解】 设，，. 由，得，即. ∵，∴， 当且仅当，即，时取等号， 所以的面积， 当的面积取最大值时，，， 所以，直线的方程为：， 即. 【小问3详解】 由题意，直线斜率不为，设的方程为. 令，得，即； 令，得，即 ∴， 由得：，即， ∴的方程为，即， ∴直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$