精品解析：江苏省无锡市南长实验中学2024-2025学年八年级上学期10月自主练习数学试题

2024年秋学期自主练习 七年级数学 考试时间：100分钟 满分分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此判定即可． 【详解】A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C． 不是轴对称图形，不符合题意； D． 不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边和的夹角， ． 故选：D． 3. 在与中，，，则添加下列选项中的条件仍不一定能证得这两个三角形全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等．已知一组边和一组角，添加条件后判断是否满足，或即可． 【详解】解：A．添加后，结合已知，满足，能判定全等； B．添加后，结合已知，满足，不能判定全等； C．添加后，结合已知，满足，能判定全等； D．添加后，结合已知，满足，能判定全等； 故选：B． 4. 说法中正确的是（ ） A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 两个等边三角形是全等三角形 D. 周长相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误； 两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误． 长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确； 故选D． 5. 如图，在中，是的中点，且，，交于点，，，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，由是的中点可得，进而由可得为的垂直平分线，得到，由三线合一得到，又由得，即得，得到，据此可得的周长，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， 又∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：． 6. 如图，在中，，高，高交于点H．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的根据是证明．先由已知得到，根据三角形面积求出，证明，即可求得继而可得答案． 【详解】解：，， ∴为等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 7. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 8. 如图，将一个等腰按如图方式折叠，若、，下列四个结论：①平分；②长为；③是等腰三角形；④的周长等于的长．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，等腰直角三角形的性质．熟练掌握以上知识点是解题的关键； 由△ABC为等腰直角三角形，得，，根据折叠可得，，可判定①错误；而，，可判定②正确；由，可判定③正确；又的周长，可判定④正确，即可得到答案． 【详解】解：为等腰直角三角形， ∴，， 折叠得到， ，，， 为等腰直角三角形， ，， 由折叠得到， ，， ， 不平分， 所以①错误； ，， ， 所以②正确； ， 是等腰三角形， 所以③正确； 的周长， 的周长等于的长， 所以④正确． 故答案为：②③④， 故选：B． 9. 如图，在中，，，且．为内部一点，且，．点为线段上一点，且．当的值发生变化时，下列角度的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，根据相关知识点，分别求出各选项中的角度，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的值不变； 故选B． 10. 如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据可得出，利用判定，从而得出，．则，即；再利用判定，得出，又因为所以，连接，由是等腰直角三角形，即．又因为，得垂直平分．即．在中，是斜边，是直角边，所以．即． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴．故①正确； 在和中， ∵，，且， ∴． 又∵， ∴． ∴；． ∵， ∴；故②正确； 在和中， ∵平分， ∴． 又∵ ∴． ∴． 又由（2）知， ∴；故③正确； 连接． ∵是等腰直角三角形， ∴ 又， ∴垂直平分． ∴ 在中，是斜边，是直角边， ∴． ∵， ∴．故④错误． 综上，正确的是①②③， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分） 11. 正六边形是轴对称图形，它有______条对称轴． 【答案】6 【解析】 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义进行求解即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：如图所示，，正六边形有6条对称轴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的对称轴条数，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和对称轴的定义． 12. 一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，对应边相等，得出和的值即可得解． 【详解】解：两个三角形全等， 对应边相等， 由于两个三角形都有边长为的边， 可能对应，则对应，对应， ，， ． 其他对应关系均导致矛盾，只有这一种情况成立． 故答案为：． 13. 将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=_______度． 【答案】52 【解析】 【详解】解：由折叠得∠3=64°， ∴∠2=180°-64°-64°=52° ∵a∥b， ∴∠1=∠2=52° 故答案为：52 14. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 15. 已知，，的面积为，则边上的高为 ________． 【答案】或10厘米 【解析】 【分析】过A作于M，过D作于N，求出的面积，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过A作于M，过D作于N， ∵， ∴的面积和的面积相等， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴边上的高为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，关键是能根据已知得出的面积． 16. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角为__________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的分类讨论问题，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案．根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可． 【详解】解：①如图所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，， 又∵是边上的高， ∴， ∴， ②如图，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，， ∵是边上的高 ∴， ∴， ∴ 故顶角为：或． 17. 如图，已知，为内任一点，且，请在图中分别画出点关于，的对称点，，连，，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形面积公式．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据题意可得，，可得到，，再由三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接， ∵点关于的对称点， ∴，， ∴，， ∴的面积为． 故答案为：． 18. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________． 【答案】4.8 【解析】 【分析】先作垂直交于点，再作垂直，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点和，进而求得的最小值． 【详解】解：如图所示： 过点作于点，交于点， 过点作于点， 平分， ， ． 中，，，，，， ， ， ． 即的最小值是4.8， 故答案为：4.8 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使最小时的动点和． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 已知∶如图，F、C是上的两点，且． 求证∶ （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ； （2） 证明：， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键； （1）根据，得，由，可得，通过即可证明； （2）由全等三角形的性质得，从而． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）是过网格线的一条直线． （1）求的面积； （2）作关于直线对称的图形； （3）在边上找一点，连接，使得． 【答案】（1）10 （2） 即为所求： （3） 点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查网格中求三角形面积、对称作图及作线段垂直平分线，涉及三角形面积公式、对称性质、等腰三角形性质等，熟练掌握网格中求图形面积、对称作图及作垂直平分线是解决问题的关键． （1）如图所示，在网格中得到三角形的底边与高长，根据三角形面积公式，代值求解即可得到答案； （2）根据点的对称性，作出三个顶点关于直线的对称点，连接三点即可得到； （3）由题意，在边上找一点，使，根据等腰三角形性质得到，将题目转化为作线段的垂直平分线，如图所示即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE,；过点E作EF⊥BC，垂足为F． （1）求证：ABE≌DCE； （2）求证：F为BC边的中点． 【答案】 （1）在ABE和DCE中， ∴ABE≌DCE（ASA） （2）由（1）得ABE≌DCE ∴BE=CE ∵EF⊥BC ∴BF=FC 即F为BC边的中点． 【解析】 【分析】（1）根据对顶角相等再结合已知条件即可利用ASA证明全等； （2）由（1）中全等可得BE=CE，再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，比较基础，理解并熟记等腰三角形的三线合一性质是解题的关键． 22. 如图，已知：在中，的外角的平分线与的平分线交于点O，过点O，且，分别交于点M、N． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）因为是的平分线，根据角平分线的定义，得，因为，根据两直线平行，内错角相等，得，等量代换得，根据等角对等边，得； （2）同理可证得，由图可知，，等量代换得，． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∵． 【点睛】本题目是一道角平分线的综合题，涉及到三角形的内角平分线、外角平分线、平行线的性质、等边对等角等．本题目两次利用“角平分线加平行，出现等腰三角形”模型． 23. 【阅读理解】 （1）如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是____________； 【灵活运用】 （2）如图，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，，求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形的三边关系可得，进而可求解． （2）延长交的延长线于，利用全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的性质即可求解． （3）利用倍长中线法，延长到，使，连接，如图所示，利用等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，最后数形结合得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）延长到 E ，使 ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于，如图2： ∵是的中线， ∴， ∵，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， ； （3）延长到，使，连接，如图3所示： ， ，， 平分， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题 的关键． 24. （动点、全等）如图，在中，，高、相交于点O，，且． （1）求线段的长； （2）动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）证明即可得到线段长； （2）分两种情况讨论：①如图1，当点在线段上时，；②如图2，当点在射线上时，，即可得出 的取值范围； （3）分两种情况讨论：①如图3，当时，；②如图4，当时，，即可求出值． 【小问1详解】 、是的高， ， ，， ， ， 在和中 ， ， ； 【小问2详解】 ，， ，， 设，， ①如图1，当点在线段上时，， ， 的取值范围是， ②如图2，当点在射线上时，， ， 的取值范围是； 综上， 【小问3详解】 存在； ①如图3中，当时， ，， ， ， ， 解得： ； ②如图4中，当时， ，， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，或时，． 【点睛】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质，三角形面积，灵活运用相关知识是解题关键． 25. 已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，则= ． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； （2） 证明：过点E作，交延长于点N， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴； （3）或. 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， 对于（1），根据“角角边”证明，可得，则此题可解； 对于（2），过点E作，交延长于点N，再根据“角角边”证明，可得，由“角角边”可证，可得； 对于（3），，分三种情况：当点D在线段上，当点D在线段的延长线上，当点D在线段的延长线上，根据全等三角形的性质求出相应线段的长，再根据三角形面积公式可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点D在线段上， ∵， 设， 由（1）得，则. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴； 当点D在线段的延长线上，过点E作，交的延长线于点N， ∵， 设， ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上， 由图2得， ∴不可能，舍去. 综上所述，的值为或. 故答案为：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期自主练习 七年级数学 考试时间：100分钟 满分分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在与中，，，则添加下列选项中的条件仍不一定能证得这两个三角形全等的是（ ） A. B. C. D. 4. 说法中正确的是（ ） A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 两个等边三角形是全等三角形 D. 周长相等的两个三角形不一定全等 5. 如图，在中，是的中点，且，，交于点，，，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，高，高交于点H．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，将一个等腰按如图方式折叠，若、，下列四个结论：①平分；②长为；③是等腰三角形；④的周长等于的长．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ 9. 如图，在中，，，且．为内部一点，且，．点为线段上一点，且．当的值发生变化时，下列角度的值不变的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分） 11. 正六边形是轴对称图形，它有______条对称轴． 12. 一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则_____ ． 13. 将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=_______度． 14. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，则的周长为__________． 15. 已知，，的面积为，则边上的高为 ________． 16. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角为__________． 17. 如图，已知，为内任一点，且，请在图中分别画出点关于，的对称点，，连，，，则的面积为__________． 18. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 已知∶如图，F、C是上的两点，且． 求证∶ （1）； （2）． 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）是过网格线的一条直线． （1）求的面积； （2）作关于直线对称的图形； （3）在边上找一点，连接，使得． 21. 如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE,；过点E作EF⊥BC，垂足为F． （1）求证：ABE≌DCE； （2）求证：F为BC边的中点． 22. 如图，已知：在中，的外角的平分线与的平分线交于点O，过点O，且，分别交于点M、N． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 【阅读理解】 （1）如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是____________； 【灵活运用】 （2）如图，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，，求． 24. （动点、全等）如图，在中，，高、相交于点O，，且． （1）求线段的长； （2）动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 25. 已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，则= ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $