精品解析：安徽省滁州市定远县2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的； 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D．四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列函数一定是二次函数是（ ） A. B. C D. 2. 二次函数与y轴的交点是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线与相同的性质是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 有最低点 D. 对称轴是x轴 4. 将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向上平移个单位 D. 向下平移个单位 5. 已知点，在抛物线图象上，则该抛物线的顶点可能是（ ） A. B. C. D. 6. 某文学书的售价为每本30元．每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价元后，每星期售出此文学书的销售额为元，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0，则k的值是( ) A. B. － C. D. － 8. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. (为任意实数) 10. 如图，正方形的边长是4，点E，F分别是，AD的中点，点P，Q为正方形边上的两个动点，点P从点D出发，沿匀速运动，到达点C时停止运动；同时，点Q从点E出发，沿匀速运动，动点P，Q速度的大小相同．设点P运动的路程为x，的面积为y，下列图象中能反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的顶点位于第________象限． 12. 抛物线 的对称轴是直线， 如果点、 在此抛物线上，那么 _____（填“”、“”或“”）． 13. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________． 14. 在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数） （1）直线经过的定点坐标为______； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则取值范围是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知函数（为常数）．若这个函数是二次函数，则的值满足什么条件？ 16. 已知抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在此抛物线上． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若要使绿地面积增加，则长与宽都要增加多少米？ 18. 抛物线的对称轴是直线，且过点． （1）求抛物线的表达式； （2）当为何值时，随的增大而增大？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知抛物线． （1）求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为，求的值． 20. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，用五点法画出该二次函数的图象； … 0 1 … … … （2）根据图象回答下列问题： ①当时，取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A与原点重合，顶点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线经过点． （1）求a的值与对称轴． （2）将抛物线向右平移m个单位使得新抛物线与，分别交于M，N，点M，N的纵坐标相等，求m的值和点M的坐标． 七、（本题满分12分） 22. 5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 10x+10 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： （1）A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）； （2）求A樱桃园第x天利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） （3）①与x的函数关系式是______； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ （4）这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 八、（本题满分14分） 23. 如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标； （3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的； 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D．四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，一般地，形如的函数（是常数，），叫做二次函数． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是一次函数，故本选项不符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 二次函数与y轴的交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点坐标，解题的关键是掌握二次函数图象与坐标轴交点坐标的求解方法．令求出y的值即可得到与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， ∴与y轴的交点坐标是． 故选：C． 3. 抛物线与相同的性质是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴y轴 C. 有最低点 D. 对称轴是x轴 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数性质分析即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，有最低点； ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为y轴，有最高点． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上；时，开口向下． 4. 将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向上平移个单位 D. 向下平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，已知点平移前后的坐标判断平移方式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 点向右平移个单位可得到点， 将抛物线向右平移个单位可得到抛物线， 故选：． 5. 已知点，在抛物线图象上，则该抛物线的顶点可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象性质，根据抛物线的对称性以及抛物线的图象性质进行判定，即可作答． 【详解】解：∵点，在抛物线图象上 ∴ ∴抛物线的顶点坐标的横坐标为1 则B和C选项是错误的 ∵抛物线是对称性的光滑的曲线 ∴抛物线的顶点坐标的纵坐标不等于3 故选：A． 6. 某文学书的售价为每本30元．每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价元后，每星期售出此文学书的销售额为元，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，设每本书降价元，则每星期可售出本，根据每星期的销售总额销售单价每星期的销售数量，即可得出与之间的函数关系式． 【详解】解：设每本书降价元，则每星期可售出本， 每星期售出此文学书的销售额． 故选：A． 7. 已知二次函数y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0，则k的值是( ) A. B. － C. D. － 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的最小值为0可得(2k+1)2-4(k2-1)=0，求出k的值即可. 【详解】∵二次函数y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0， ∴(2k+1)2-4(k2-1)=0， 解得k=. 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的性质及最值，当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即图像的最低点，最小值为y=，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式是解题关键. 8. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式． 【详解】∵高CH=1cm，BD=2cm，且B、D关于y轴对称， ∴D点坐标为（1，1）， ∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上， ∴AB关于直线CH对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0）， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0）， 设右边抛物线的解析式为y=a（x-3）2， 把D（1，1）代入得1=a×（1-3）2，解得a=， ∴右边抛物线的解析式为y=（x-3）2， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 9. 已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. (为任意实数) 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 10. 如图，正方形的边长是4，点E，F分别是，AD的中点，点P，Q为正方形边上的两个动点，点P从点D出发，沿匀速运动，到达点C时停止运动；同时，点Q从点E出发，沿匀速运动，动点P，Q速度的大小相同．设点P运动的路程为x，的面积为y，下列图象中能反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了动点的函数图像，根据点Q在上运动时和Q在上运动时分别表示出的面积，然后根据一次函数和二次函数的图像性质即可得出答案． 【详解】解：当Q在上运动时， 的面积为：， 当Q在上运动时， 的面积为， 综上：当时， ，为一次函数，且y随x的增大而增大． 当时， 为二次函数，且开口向下， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的顶点位于第________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质及各象限内点的坐标特点，根据题意得出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．先根据抛物线的顶点式求出抛物线的顶点坐标，再根据各象限内点的坐标特点进行解答． 【详解】解：抛物线的顶点的横纵坐标为：，即， ， ∴顶点在第四象限． 故答案为：四． 12. 抛物线 的对称轴是直线， 如果点、 在此抛物线上，那么 _____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，因为抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可判断． 【详解】解：抛物线的图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a的值，再令x=0，求得y的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k， 由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0）， ∴0=a（6-2）2+5，解得：， ∴抛物线解析式为： 当x=0时， ∴水管的长度OA是m． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数） （1）直线经过的定点坐标为______； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）求得直线过定点； （2）求得抛物线与轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值． 【详解】解：（1）∵直线，当时，， ∴直线经过的定点坐标为； 故答案为：； （2）∵抛物线与轴的交点为，， 当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论为何值，直线和抛物线总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； 综上，当或时，抛物线与直线总有公共点． 故答案为：或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知函数（为常数）．若这个函数是二次函数，则的值满足什么条件？ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数，根据二次项系数不能为0列不等式，即可求解 【详解】解：若这个函数是二次函数，则， 即， 解得且． 16. 已知抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在此抛物线上． 【答案】（1） （2）不在 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入线求出a的值即可； （2）在中，令，求出对应的y值，即可判断． 【小问1详解】 解：把代入线得：， 解得， ； 【小问2详解】 解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若要使绿地面积增加，则长与宽都要增加多少米？ 【答案】（1）y与x之间的函数表达式为： （2）绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，列方程即可求解； （2）令代入方程求解即可． 【小问1详解】 解：长和宽增加后矩形的长为，宽为， 则由题意得 ， ∴y与x之间的函数表达式为：. 【小问2详解】 解：将代入中得，， 解得，，（舍去）， ∴绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 18. 抛物线的对称轴是直线，且过点． （1）求抛物线的表达式； （2）当为何值时，随的增大而增大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质； （1）由题意设抛物线的表达式为，把代入，再进一步解答即可； （2）由可得抛物线开口向下，再结合抛物线的对称轴可得答案． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 抛物线的表达式为， 抛物线过， ， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：， 抛物线开口向下， 对称轴为， 当时，随的增大而增大． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知抛物线． （1）求证：不论何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明判别式即可判断； （2）把代入即可求得的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； 【小问2详解】 把代入抛物线得：， 解得：． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及抛物线与轴的交点，当时，函数图像与轴有个交点，当时函数图像与轴只有个交点,即顶点在轴上，当时函数图像与轴没有交点． 20. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，用五点法画出该二次函数的图象； … 0 1 … … … （2）根据图象回答下列问题： ①当时，的取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________． 【答案】（1）0，3，4，3，0，画图见解析 （2）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，作出函数图象并利用图象是解题关键． （1）先列表，再描点连线即可； （2）①观察图象当时，图象在轴的下方即可得出的范围，②观察这一段的图象可得函数值的范围． 【小问1详解】 解：列表如下： … 0 1 … … 0 3 4 3 0 … 描点并画图如下： 【小问2详解】 解：观察图象，①当时，x的取值范围是或； ②当时，y的取值范围是； 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A与原点重合，顶点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线经过点． （1）求a的值与对称轴． （2）将抛物线向右平移m个单位使得新抛物线与，分别交于M，N，点M，N纵坐标相等，求m的值和点M的坐标． 【答案】（1），直线； （2）， 【解析】 【分析】（1）由抛物线经过点，再建立方程求解，再进一步求解即可； （2）先求解新抛物线的解析式，再结合矩形的性质与点M，N的纵坐标相等，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点． ∴， 解得：， ∴抛物线为； ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线； ∴抛物线向右平移m个单位为， ∵抛物线为， 当，则，则， ∵矩形的顶点A与原点重合，顶点B在x轴的正半轴上，， ∴，， ∵新抛物线与，分别交于M，N，点M，N的纵坐标相等， ∴当与时，新抛物线的函数值相等， ∴， 解得：， ∴新抛物线为：， 当时，， ∴； 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数关系式，抛物线的平移，矩形的性质，抛物线的性质等相关知识，熟练掌握待定系数法求二次函数关系式是解决本题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 10x+10 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： （1）A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）； （2）求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） （3）①与x的函数关系式是______； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ （4）这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 【答案】（1） （2） （3）①；②第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元； （4）4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求结合利润单价销售量固定成本进行求解即可； （3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可； （4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案． 【小问1详解】 解：第天的单价与满足的一次函数关系式为， 把代入中得， ∴， ∴第天的单价与满足的一次函数关系式为， ∴A樱桃园第x天的单价是元/盒， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得， 【小问3详解】 解：①把代入中得：， 解得， ∴； ②∵，， ∴ ， ∵，且（x为正整数）， ∴当时，有最大值，最大值为4800， ∴第10天两处樱桃园利润之和（即）最大，最大是4800元； 【小问4详解】 解：当时，则， ∴， ∴， ∴， ∵x的正整数解有4个， ∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 八、（本题满分14分） 23. 如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标； （3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值 【答案】（1） （2） （3） 的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设 且 记OA与对称轴的交点为Q，设直线为： 解得： 可得直线为： 则 利用列方程，再解方程即可； （3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标． 【小问1详解】 解： 抛物线经过点， ∴设抛物线为： 抛物线过，且它的对称轴为． 解得： ∴抛物线为： 【小问2详解】 解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限， 设 且 记OA与对称轴的交点为Q， 设直线为： 解得： 直线为： 解得：或 ∵ 则 【小问3详解】 如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大， 设AB为： 代入A、B两点坐标， 解得： ∴AB为： 解得： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定最大时P的位置是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$