精品解析：河北省保定市高碑店市2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024—2025学年度第一学期第一次月考教学质量监测 八年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟。 2．请将各题答案填写在答题卡上。 3．本次考试设卷面分。答题时，要书写认真、工整、规范、美观。 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像…，等有这样规律的数． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A. 是有限小数，属于有理数，故选项不合题意； B.是分数，属于有理数，故选项不合题意； C.是无理数，故选项符合题意； D.，是整数，属于有理数，故选项不合题意． 故选：C． 2. 若二次根式有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，得出，然后求出x的值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∵， ∴只有D选项符合题意． 故选：D． 3. 以下列数据为边长，其中不能组成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. C. D. 7，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果一个三角形满足两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．逐项判断两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，根据勾股定理逆定理即可作出判断． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，不能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 正数的算术平方根一定比它本身小 B. 负数没有平方根 C. 的相反数是 D. 立方根是本身的数只有，0，1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根、平方根、相反数、立方根等知识，根据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 正数的算术平方根不一定比它本身小，例如，故选项错误，符合题意； B. 负数没有平方根，故选项正确，不符合题意； C. 的相反数是，故选项正确，不符合题意； D. 立方根是本身的数只有，0，1，故选项正确，不符合题意． 故选：A 6. 若可以与最简二次根式合并，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简．先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】解：， ∵即与最简二次根式能合并， ∴， 解得， 故选：D． 7. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杯折断之前的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意． 图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可． 【详解】解：根据题意得，旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为， 旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， ∴是直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：B． 8. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，代数式求值，根据算术平方根和平方的非负性，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 9. 一个正数的两个平方根分别是与，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根的性质即可解题. 【详解】解：正数的平方根有两个,且互为相反数, ∴1-2a+a-2=0, 解得：a=-1, 故选B. 【点睛】本题考查了平方根的性质,属于简单题,熟悉平方根的性质即可解题. 10. 如图，，且，，，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 由题意可知且，依次由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：；；． 故选：B． 11. 已知，，则a与b的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键．将a，b分母有理化，然后求出，，，即可得出结论． 【详解】解： ， ∴， ， ，故D正确． 故选：D． 12. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”，若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积． 【详解】解：直角三角形直角边的较短边为=6， 正方形EFGH的面积=10×10-8×6÷2×4=100-96=4． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简，的结果是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴， 则 ． 故选：B． 14. 如图，一圆柱体的底面圆周长为12，高为8，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理中最小路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段距离最短得到最小距离线段．将圆柱展开根据图像得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段距离最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为12，高为8，， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 故选：D． 15. 如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均在格点（网格线的交点）上．下列同学的结论中，正确的有（ ） 甲同学：． 乙同学：直线与直线互相垂直． 丙同学：和互余． A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理在网格中的应用，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，根据勾股定理和逆定理判断为直角三角形，根据等腰三角形的性质，得出，判断甲正确；连接，证明四边形为平行四边形，得出，根据，证明，判断乙正确；说明，证明不是直角三角形，得出，根据三角形内角和定理得出，即可判断丙错误． 【详解】解：甲：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴，故甲正确； 乙：连接，如图所示： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，故乙正确； 丙：∵， ∴， ∴不是直角三角形， ∴， ∴， ∴与不互余，故丙错误； 综上分析可知：正确的是甲、乙； 故选：A． 16. 对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似地，要想让2024变为2，需进行的操作次数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解已知条件的规定：用表示不小于的最小整数，是解题的关键．仿照题目已知的例题即可解答． 【详解】解：由题意得： 2024， ∴对2024只需进行4次操作后变为2； 故选：B． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分） 17. 将化成最简二次根式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的化简方法求解即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的化简方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法． 18. 如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是1．过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点D，且点D所表示的数是d． （1）__________． （2）__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，多项式乘多项式以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得出，结合勾股定理得，结合，即可作答． （2）结合代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵数轴上A表示的数是，点B表示的数是1， ， ，， ∴在中，， ∵以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D所表示的数是d， ， 即， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 19. 世界上第一次给出的勾股数公式，是记录在我国古代的数学著作《九章算术》中，书中提到：当，，时，其中，m，n是互质的奇数． （1）任意写出满足条件的一组勾股数：__________． （2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为，且，该直角三角形的面积为__________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】此题考查勾股数， （1）根题意写出一组勾股数即可； （2）分三种情况：①时，②时，③，分别进行解答即可． 【详解】解：（1）当时，，，； ∵ ∴勾股数满足题意； 故答案为：（答案不唯一） （2）∵， ∴， ∵直角三角形的一边长为， 分三种情况讨论： ①当时，， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，（不合题意，舍去）； ③当， 解得， ∵，m，n是互质的奇数． ∴， 把代入得到， 综上所述，一边长为，且，该直角三角形的三条边长分别为， ∴面积为， 故答案为： 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 已知，． （1）求和的值． （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则即可求出，根据二次根式的乘法法则即可求出； （2）先根据完全平方公式变成，再代入求出答案即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ． ∴的值为，的值为． 【小问2详解】 ∵，， ． ∴的值为． 21. 已知的平方根为它本身，的算术平方根是3，的立方根是2． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的运算，掌握以上知识的综合运算方法是解题的关键． （1）根据平方根的运算可求出a的，算术平方根的运算及a的值可求出b的值，立方根的运算可求出c的值； （2）把（1）中的a，b，c的值代入，根据平方根的运算即可求解． 【小问1详解】 解∶的平方根为它本身，平方根等于其本身的是0， ， ， 的算术平方根是3， ， ， 的立方根是2， ， ， 即，，； 【小问2详解】 解：的平方根为． 22. 小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米． （1）求线段的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）线段的长为5米； （2）（平方米） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长即可； （2）由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后由三角形面积公式求出四边形的面积即可． 【小问1详解】 解：，米，米， （米， 即线段的长为5米； 【小问2详解】 解：，米，米，米， ， 是直角三角形，且， （平方米）． 23. 阅读理解：因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：的小数部分为．类似地，因为，所以的小数部分就是． 请根据上述材料，解答下列相关问题． （1）的整数部分是__________，小数部分是__________． （2）若的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了无理数的估算、无理数整数部分和小数部分的计算． （1）由得到，即可得到答案； （2）分别求出的小数部分为，的整数部分为，代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：， 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴的小数部分为，的整数部分为， ∴ 24. 如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． （1）当秒时，求的长． （2）如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及二次根式的性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出； （2）折叠性质可知：，进而求出，然后根据列方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即 解得：； ∴将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，此时t的值； 25. 观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】（1）一；（2）①；②1248平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）①根据解析（1）中规律进行解答即可； ②先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】解：（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． （2）①∵， ∴； ②∵正方体的体积为3000立方米， ∴正方体的棱长为：米， ∴需要铁皮的面积为： （平方米）． 26. 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．如图1，这是1955年希腊发行了一枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成． （1）如图2，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，直接写出它们的面积，，之间的数量关系． （2）如图3，在中，于点，以为直角顶点，分别以，为直角边，向外作等腰和等腰，过点E，F作射线的垂线，垂足分别为、． ①试说明：． ②若，，求的长． （3）如图4，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形，连接，，．若，，直接写出六边形的面积． 【答案】（1） （2）①证明： ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； ②； （3） 【解析】 【分析】（1）利用的边长就可以表示出的大小，根据直角三角形的三边满足勾股定理即可求解． （2）①利用“”证明，，由全等三角形的性质可得，，即可证明结论；②先面积法求出的边长，再利用勾股定理求出，，由①中三角形全等可知，，再由可得结论． （3）延长作于点P，作于点Q，证明，可得，同理可以证明，由六边形的面积=三个正方形+四个三角形面积可得答案． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握勾股定理． 【小问1详解】 解： ∵中，， ， ， ∴ ∵， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ， 由①得，， ∴，， ∴． 【小问3详解】 延长作于点P，作于点Q，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， 同理：，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵六边形的面积=三个正方形+四个三角形面积， ∴六边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期第一次月考教学质量监测 八年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟。 2．请将各题答案填写在答题卡上。 3．本次考试设卷面分。答题时，要书写认真、工整、规范、美观。 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 3. 以下列数据为边长，其中不能组成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. C. D. 7，24，25 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 正数的算术平方根一定比它本身小 B. 负数没有平方根 C. 的相反数是 D. 立方根是本身的数只有，0，1 6. 若可以与最简二次根式合并，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杯折断之前的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 9. 一个正数的两个平方根分别是与，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，且，，，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 11. 已知，，则a与b的关系是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”，若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简，的结果是（ ） A. B. C. D. 0 14. 如图，一圆柱体的底面圆周长为12，高为8，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 10 15. 如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均在格点（网格线的交点）上．下列同学的结论中，正确的有（ ） 甲同学：． 乙同学：直线与直线互相垂直． 丙同学：和互余． A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 16. 对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似地，要想让2024变为2，需进行的操作次数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分） 17. 将化成最简二次根式为_____． 18. 如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是1．过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点D，且点D所表示的数是d． （1）__________． （2）__________． 19. 世界上第一次给出的勾股数公式，是记录在我国古代的数学著作《九章算术》中，书中提到：当，，时，其中，m，n是互质的奇数． （1）任意写出满足条件的一组勾股数：__________． （2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为，且，该直角三角形的面积为__________． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 已知，． （1）求和的值． （2）求的值． 21. 已知的平方根为它本身，的算术平方根是3，的立方根是2． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 22. 小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米． （1）求线段的长； （2）求四边形的面积． 23. 阅读理解：因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：的小数部分为．类似地，因为，所以的小数部分就是． 请根据上述材料，解答下列相关问题． （1）的整数部分是__________，小数部分是__________． （2）若的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 24. 如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． （1）当秒时，求的长． （2）如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 25. 观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 26. 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．如图1，这是1955年希腊发行了一枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成． （1）如图2，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，直接写出它们的面积，，之间的数量关系． （2）如图3，在中，于点，以为直角顶点，分别以，为直角边，向外作等腰和等腰，过点E，F作射线的垂线，垂足分别为、． ①试说明：． ②若，，求的长． （3）如图4，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形，连接，，．若，，直接写出六边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $