精品解析：四川省成都市第四十三中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

成都西北中学实验学校2024-2025学年度（上）十月学情检测试卷 九年级数学 （满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可判断． 【详解】解：A、该方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、该方程中含两个有未知数．不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、该方程中分母中含有未知数．不属于整式方程，故本选项不符合题意； D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，代入式子进行计算即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 3. 下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不具有的是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对边平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及平行四边形的性质进行做题． 【详解】解：矩形的特性是：四个角都是直角，对角线相等． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了特殊四边形的性质，掌握平行四边形的性质，矩形的性质是解题的关键． 4. 如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DE＝3，DF＝8， ∴， 即＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例． 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， 点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4， 即， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 7. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则点A到的距离为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由菱形的性质求得，， ，再根据勾股定理求得，设点A到的距离是h，由得，即可求得，得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ，，，， ， ， 设点A到的距离是h，则菱形的高是h， ， ， ， ∴点A到的距离是， 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理的应用，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求出菱形的边长是解题的关键． 8. 某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设月平均增长率的百分数为x ，根据棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，可列方程求解． 【详解】解∶ 设月平均增长率的百分数是x，则 ． 故选∶ D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，是增长率问题，关键找出等量关系列出方程． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知是方程的一个根，则a的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】把代入方程就能求出的值． 【详解】是方程的一个根， ∴把代入方程有：， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查方程的解的概念，只须把方程的解代入方程中，就能求出系数的值． 10. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，据此列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设的长为，则， 根据黄金分割的定义可知：，即， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的长为； 故答案为：． 11. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_． 【答案】＞ 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得：＜ 再列不等式，解不等式可得答案． 【详解】解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根， ＜ ＜ ＜ ＜ ＞ 故答案为：＞ 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 12. 如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，菱形的性质，勾股定理；延长交于点，交于点，如图，根据菱形的性质得到，，利用作法得垂直平分，所以，，接着计算出，，然后计算出，最后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：延长交于点，交于点，如图， 四边形为菱形， ，， ， 由作法得垂直平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 13. 如图，已知ABC∽AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，得，代入数据得出AN的长即可． 【详解】解：∵△ABC∽△AMN， ∴， ∵M是AC的中点，AB＝6，AC＝8， ∴AM＝MC＝4， ∴， 解得AN＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据配方法进行求解即可； （2）用公式法进行求解即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， 故方程有两个不相等的实数根， 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，正确的计算是解决本题的关键． 15. 若关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若方程有一个根是0，求方程的另一个根． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根：，进行求解即可； （2）将代入方程中，求出的值，再解一元二次方程，求出另一个根即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根， ∴，即：， 解得：； 【小问2详解】 解：将代入得：， ∴， ∴方程为：， 即：， ∴， ∴方程的另一个根为：1． 【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程解的定义．熟练掌握使等式成立的未知数的值是方程的解，以及因式分解法解一元二次方程，是解题的关键． 16. 在等腰中，，，是的两个根，试求的周长． 【答案】或 【解析】 【分析】分为腰，和为底边，两种情况分类讨论，当为腰时，方程的一个根是确定的，利用根与系数的关系，求出的值，从而得出的值，进而求出三角形的周长；当为底边时，说明方程有两个相等的实数根，利用，求出的值，从而得出的值，进而求出三角形的周长． 【详解】解：、是方程的两个根， ， 若为腰，则． ，即 解得， ． 周长； 若为底，则． ． ，， 或舍去． 周长． 答：的周长为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形两腰相等，以及一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．解题时，要注意分类讨论． 17. 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是矩形， 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形为平行四边形，再结合“对角线相等的平行四边形为矩形”，即可证明结论； （2）首先结合（1），利用勾股定理解得，设，在中，，求得,然后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得：， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形面积公式等知识，熟练运用平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键． 18. 如图，在菱形中，，交的延长线于点，连接交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若菱形的边长为，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，． ， ， ； （2） 证明：四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得到，，然后结合，即可证明，进而得到； （2）先由菱形得到，，从而得到，再结合，得到，证明得到，再由，即可得到结论； （3）先由菱形的性质可得，，结合以及平行线的性质可得，由含30角的直角三角形的性质及勾股定理可得，，再证明，，求出的长，最后由进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 菱形边长为2， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ，， ，； ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 一元二次方程的两根为、，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质，得，，通过计算即可得到答案． 【详解】∵一元二次方程的两根为、 ∴， ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数关系的性质，从而完成求解． 20. 若，则k＝_____． 【答案】或﹣1． 【解析】 【分析】根据a+b+c的值是否为0分类讨论：a+b+c＝0时，根据等式的基本性质可得a＝﹣（b+c）,代入即可求出k；当a+b+c≠0时，根据等比性质即可求出k． 【详解】解：当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），则k＝＝＝﹣1； 当a+b+c≠0时，根据等比性质可以得到：k＝＝＝． 则k＝或﹣1． 【点睛】此题考查的是比例的基本性质，掌握等比性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键. 21. 如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么______． 【答案】##1:2 【解析】 【分析】根据题意先过D作BF的平行线，交AC边于G，得出DG∥BF，再根据D为BC中点可得出△CDG∽△CBF，即，CG=FC=FG；同理得出△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，从而得出AF=FG=GC，即可得出的值． 【详解】解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示： ∵D为BC中点，DG∥BF， ∴∠CGD=∠CFB， 又∵∠C=∠C， ∴△CDG∽△CBF， ∴，即：CG=CF=FG， 又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF， 同理可得：△AEF∽△ADG， ∴，即：AF=AG=FG， ∴AF=FG=GC， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解． 22. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意可得，和是扇形的边，则，根据正方形性质可得，，因为是的中点，则；根据勾股定理可得，直角中，，即，综合可得即可求得的值． 【详解】解：依题得：， 设， 则正方形中，，， 是的中点， ， 又， ， 在直角中，， 即 ，， ，即， ， 舍去， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、圆的性质、勾股定理、一元二次方程的解，解题关键是找到和两个等量关系式列一元二次方程． 23. 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点；把两个端点均为整点且长度为整数的线段称为整点线段．如图，梯形的四个顶点均为整点，点，直线过定点，作点关于直线的对称点，点为梯形内一点（包含边界），连接，当恰好落在梯形上，且是长度为5的整点线段，则这样的点共有_____个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题轴对称图形以及勾股定理，图形与坐标，勾股定理：先由“直线过定点，作点关于直线的对称点”，得对称点的轨迹为圆心M以为半径的圆上，结合整点线段的概念，可知满足题意的对称点有三个，根据“是长度为5的整点线段，且点为梯形内一点（包含边界）”，得分别以点，，为圆心，以5为半径画圆，与梯形相交于在整点上，即为满足条件的点，据此作答即可． 【详解】解：∵点，直线过定点， ∴， 依题意，如图：对称点的轨迹为圆心M以为半径的圆上， 因为恰好落在梯形上， 所以满足题意的对称点有三个，分别为图中的点，，； ∵是长度为5的整点线段，且点为梯形内一点（包含边界）， ∴分别以点，，为圆心，以5为半径画圆，与梯形相交于在整点上， 即为图中点，，，，； 所以当恰好落在梯形上，且是长度为5的整点线段，则这样的点共有5个； 故答案为：5 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若设降价元，降价后的销售量为件，请写出与的函数关系式． （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1） 由销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式； （2）根据利润等于单件商品利润乘以销售量，列一元二次方程，解方程即可求得答案． 【小问1详解】 依题意得： ∴y与x的函数关系式为：； 【小问2详解】 设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为1200元 依题意得： 整理得： 即 解得， ∵每件盈利不少于25元 ∴ 解得： ∴ 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数解析式，解题的关键是根据题意列出方程． 25. 已知直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线：与y轴交于点C，与直线交于点D．点P是线段上一动点（不与O，A重合），连接CP． （1）如图1，点D的横坐标为5. ①求直线的函数表达式； ②连接，若，求线段的长； （2）如图2，若，在线段上取点M，将线段绕点P顺时针旋转得到，点N恰好在直线上，且，求线段的长． 【答案】（1）①；②1； （2）． 【解析】 【小问1详解】 ①将点D的横坐标代入：得： ∴ 将点代入：得： 解得： ∴直线的函数表达式为： ②如图1，过点D作x轴垂线，垂足为H． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则 代入得： 解得：， 又∵点P不与A重合， ∴线段的长为1． 【小问2详解】 如图2，过点N作x轴垂线，垂足为Q ∵由②可知， ∴ ∵，， ∴ 设，，则 ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵为直角三角形 ∴，解得 ∴． 【点睛】本题考查了代入法求函数解析式，相似三角形的证明和性质的应用；解题的关键是利用相似三角形的性质合理设未知数列方程求解． 26. 如图1，在中，，点是边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． （1）先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． （3）将图1特殊化，如图3，当时，若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作，交的延长线于点，如图，证明，得到，再通过线段的代换得出，即得，进而求解； （2）延长并截取，如图，证明，得到，，再通过线段的代换得出，即得，进而求解； （3）证明都是等边三角形，可得，，进而得，可证，设，则，根据相似三角形的性质求出，进而可得，过点作，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：作，交的延长线于点，如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 延长并截取，连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 延长并截取，连接，如图，由（2）可得，， ∴都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， ∴，， 过点作 ∴， 在中，， 在中，， ∵，则是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线、证明三角形全等与相似是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都西北中学实验学校2024-2025学年度（上）十月学情检测试卷 九年级数学 （满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不具有的是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对边平行 4. 如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则点A到的距离为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 8. 某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知是方程的一个根，则a的值是______． 10. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 11. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_． 12. 如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为________． 13. 如图，已知ABC∽AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解下列方程 （1） （2） 15. 若关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若方程有一个根是0，求方程的另一个根． 16. 在等腰中，，，是的两个根，试求的周长． 17. 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，，求四边形的面积． 18. 如图，在菱形中，，交的延长线于点，连接交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若菱形的边长为，，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 一元二次方程的两根为、，则______． 20. 若，则k＝_____． 21. 如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么______． 22. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则_____________． 23. 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点；把两个端点均为整点且长度为整数的线段称为整点线段．如图，梯形的四个顶点均为整点，点，直线过定点，作点关于直线的对称点，点为梯形内一点（包含边界），连接，当恰好落在梯形上，且是长度为5的整点线段，则这样的点共有_____个． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若设降价元，降价后的销售量为件，请写出与的函数关系式． （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 25. 已知直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线：与y轴交于点C，与直线交于点D．点P是线段上一动点（不与O，A重合），连接CP． （1）如图1，点D的横坐标为5. ①求直线的函数表达式； ②连接，若，求线段的长； （2）如图2，若，在线段上取点M，将线段绕点P顺时针旋转得到，点N恰好在直线上，且，求线段的长． 26. 如图1，在中，，点是边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． （1）先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． （3）将图1特殊化，如图3，当时，若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $