2.2-2.3数轴、绝对值专题培优 （压轴类）练习2023-2024学年北师大版数学七年级上册

北师大版七年级上册2.2-2.3数轴、绝对值培优讲义（压轴类） 考点目录： 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 考点一．数轴 考点二．绝对值 考点三．非负数的性质：绝对值 考点四．非负数的性质：偶次方 考点五．有理数的混合运算 考点一．数轴 1．（2024秋•大理市校级月考）若数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则a+b是（　　） A．正数 B．0 C．负数 D．都有可能 2．（2024秋•莲湖区校级月考）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1．若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点B所对应的数为1，则连续翻转2024次后，点B所对应的数是（　　） A．不对应任何数 B．2022 C．2023 D．2024 3．（2024秋•望城区校级月考）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024秋•姜堰区校级月考）根据下面给出的数轴，解答下面的问题： （1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：　 　；B：　 　； （2）观察数轴，与原点距离为3的点表示的数是　 　； （3）若将该数轴中标有刻度的部分折叠，使得A点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ①B点与数　 　表示的点重合； ②若数轴上C、D两点之间的距离为2024（C在D的左侧，且折痕与①折痕相同），且C、D两点经折叠后重合，则C点表示的数是　 　，D点表示的数是　 　． 5．（2023秋•顺义区期末）数轴上有M，N，P三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”． 例如，数轴上点M，N，P所表示的数分别为1，4，5，此时点N是点M，P的“三倍点”． （1）点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，下列各数1，4，6，8所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“三倍点”的是 　 　； （2）点D表示的数是﹣10，点E表示的数是14，F为数轴上一个动点，若点F是点D，E的“三倍点”，求点F表示的数． 6．（2022秋•鄄城县期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　，点P表示的数是 　 　（用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 7．（2023秋•柘城县期中）如图，相距5km的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位于A、B两地之间且距A地2km，小明同学骑自行车从A地出发沿马路以每小时5km的速度向B地匀速运动，当到达B地后立即以原来的速度返回，到达A地时停止运动，设运动时间为t（小时），小明的位置为点P． （1）以点C为坐标原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示1km画数轴，指出点A所表示的有理数； （2）在（1）的数轴上，求t＝0.5时点P表示的有理数； （3）当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值． 8．（2022秋•碑林区校级期末）将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）动点P从点A运动至点C需要 　 　秒，动点Q从点C运动至点A需要 　 　秒； （2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数； （3）是否存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 9．（2023秋•分宜县校级月考）【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为C点D对应的数为d，且有[c﹣3+d|+（d+2）2＝0，则CD的中点N所对应的数为 　 　； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为ts，t为何值时，PQ的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为 　 　． ②在（2）的条件下，若E是PQ最靠近Q的五等分点，F为PC的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 10．（2023秋•管城区校级月考）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP． （1）若BP＝7，则x＝　 　； （2）若AP＝BP，则x＝　 　； （3）若AP+BP＝8，求x的值． 11．（2023秋•都昌县期末）如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点表示数1，C点表示数9． （1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 　 　表示的点重合； （2）若点 A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． ①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； ②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 12．（2023秋•宣威市期末）A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣10，A、B两点的距离是点A到原点O的距离的3倍，即AB＝3OA．点C为数轴上的动点． （1）数轴上点B表示的数是 　 　； （2）当AC+BC＝58时，求点C表示的数； （3）若点M为AC的中点，点N为CB的中点，点C在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度． 13．（2023秋•沛县校级月考）根据下面给出的数轴，解答下面的问题： （1）请根据图中A、B两点的位置，A、B两点表示的数分别为a、b，则ab＝　 　； （2）若经过折叠，A点与﹣3表示的点重合，则B点与数 　 　表示的点重合； （3）若数轴上M、N两点之间的距离为12（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中折叠后重合，M点表示的数是：　 　． 14．（2023秋•越秀区期末）已知多项式2m2n4﹣3mn﹣2 的次数为a，项数为b，常数项为c．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，P点表示数x（x≠3）． （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）若将数轴对折，使得对折后A点与C点重合，此时点B与点P也重合，求点P所表示的数x； （3）若将数轴从点P处对折，使得对折后PB＝2AC，求点P所表示的数x． 15．（2023秋•西平县期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 16．（2023秋•铁东区期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为　 　cm． （2）图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 17．（2022秋•阳新县校级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣4，20． （1）若P点为线段AB的中点，求P点对应的数． （2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位长度/秒的速度向右运动． ①几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数． ②是否存在M点，使3MA＝2MB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，请说明理由． 18．（2023秋•拱墅区校级期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b﹣16）2互为相反数． （1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？ （2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？ （3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 19．（2023秋•肥城市期末）已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… （1）求出5秒钟后动点Q所处的位置； （2）如果在数轴l上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由． 20．（2023秋•馆陶县期末）如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15． （1）点B在数轴上表示的数是　 　，点C在数轴上表示的数是　 　，线段BC的长＝　 　； （2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，M为AC中点，N为BD中点，则线段MN的长为多少？ 21．（2023秋•德惠市校级月考）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若表示﹣1的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5的点与表示数 　 　的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ （2）若点D表示的数为x，则当x为 　 　时，|x+1|与|x﹣2|的值相等． 22．（2022秋•雁塔区校级期中）如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b、c的值； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 23．（2023秋•高新区校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值； （3）受（2）的启发，当数a的点在图1什么位置时，|a+5|+|a﹣2|的值最小，最小值是多少？ （4）有理数a、b、c在数轴上对应的位置如图2所示．试化简：|b﹣a|﹣|b﹣c|+|a+b|+|a﹣b|． 24．（2023秋•保定期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为|m﹣n|． （1）例如：数轴上表示4和1的两点之间的距离为|4﹣1|＝　 　 数轴表示5和﹣2的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝　 　 （2）数轴上表示数a的点与表示﹣4的点之间的距离表示为　 　 数轴上表示数a的点与表示2的点之间的距离表示为　 　 若数轴上a位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值； （3）当a＝　 　时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为　 　． 考点二．绝对值 25．（2023秋•雁塔区校级月考）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 　 　． 26．（2023秋•鼓楼区校级期中）先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　 　和 　 　，B，C两点间的距离是 　 　； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 　 　；如果|AB|＝3，那么x为 　 　； （3）若点A表示的整数为x，则当x为 　 　时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　 　． 27．（2023秋•太康县期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|5﹣（﹣2）|＝　 　． （2）同理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣5和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 　 　． （3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+6|+|x﹣3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 28．（2022秋•定远县期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 （1）求|5﹣（﹣2）|＝　 　； （2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝　 　 （3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 　 　． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 29．（2023•莲湖区校级开学）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　 　，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是　 　，数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是　 　． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是　 　，如果|AB|＝2，那么x是　 　． （3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是　 　． 考点三．非负数的性质：绝对值 30．（2024秋•商南县月考）若|2x﹣4|与|y﹣3|互为相反数，求2x﹣y的值． 考点四．非负数的性质：偶次方 31．（2023秋•榆阳区校级期中）已知|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，求a+2b+3的值． 考点五．有理数的混合运算 32．（2023秋•碑林区校级期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？ $$