精品解析：黑龙江省大庆市东传高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

东传高中2024-2025学年上学期高二年级 第一次质量检测数学试题 考试：120分钟 总分：150时间 一、单选题（每题5分，40分） 1. 甲、乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用3局2胜制，则甲以2：1获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】甲以2：1获胜指前两局甲胜一局，第3局甲胜，则概率为． 【详解】甲以2：1获胜指前两局甲胜一局，第3局甲胜 则概率为 故选：A 2. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以， 即实数的值为12. 故选：C 3. 空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于yOz平面的对称点的特征可得答案. 【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于yOz平面的对称点的坐标为， 故选：C. 4. 已知直线，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 若直线与y轴的夹角为，则 C. 直线的斜率不可能等于0 D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】B 【解析】 【分析】对于直线方程（、不同时为），点在直线上则；直线斜率（）；两坐标轴截距相等分过原点和不过原点两种情况.我们将依次对每个选项进行分析判断. 【详解】选项A，将点代入直线中，得到，等式成立，所以直线恒过点，该选项正确. 选项B，直线的斜率，若直线与轴的夹角为，则直线的倾斜角为或. 当倾斜角为时，斜率，则. 当倾斜角时，斜率，则.该选项错误. 选项C，直线的斜率，因为（若，则直线方程变为，不是一般式直线方程），所以斜率不可能为，该选项正确. 选项D，当时，直线，在轴上无截距，不符合题意. 当时，令，得；令，得. 因为直线在两坐标轴上的截距相等，则，即，，解得或，该选项正确. 故选：B. 5. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”．若，则向量的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设及空间向量的加减、数乘运算得，即得坐标. 【详解】由题设，，， 所以，则， 所以，其对应坐标为. 故选：D 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式和同角的商关系可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】由，得， 即，所以. 故选：B 7. 已知，，若点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线得到方程，求出，，求出，得到模长. 【详解】因为点共线，所以与共线， 所以，解得，， 故，， . 故选：C. 8. 如图，在直二面角中，是直线上两点，点，点，且，，，那么直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出向量的坐标，利用向量的夹角公式求得答案. 【详解】如图，以B为坐标原点，以过点B作BC垂线为x轴，以BC为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系， 则 , 故 , 则 , 故直线与直线所成角的余弦值为 ， 故选：B. 二、多选题（每题6分，18分） 9. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误. 【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”， 为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则，，故A正确. ，，故B错误. 而，故C正确. 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件， 故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC的正误，根据线面平行定义可判断D的正误. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则，而，故，故B正确； 对于C，若，，则，而，故，故C正确； 对于D，若，，则或异面，故D错误， 故选：BC 11. (多选)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中为定值的是（ ） A. 点P到平面QEF的距离 B. 三棱锥P－QEF的体积 C. 直线PQ与平面PEF所成的角 D. 二面角P－EF－Q的大小 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合已知，分别分析点到平面的距离、直线与平面所成的角、棱锥的体积、二面角的大小， 观察它们的值可得到答案. 【详解】A选项中，∵平面QEF也就是平面，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面的距离是定值，∴点P到平面QEF的距离为定值； B选项中，∵△QEF的面积是定值（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A的结论P到平面QEF的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定，∴三棱锥的体积是定值； C选项中，∵Q是动点，E，F也是动点，推不出定值的结论，∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值； D选项中，平面也就是平面，又平面即为平面，∴二面角的大小为定值． 故选：ABD． 【点睛】本题主要考查直线与平面所成角，二面角，三棱锥的体积以及点到面的距离，属于中档题. 三、填空题（每题5分，15分） 12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC的直观图，则三角形 ABC的面积是_______. 【答案】2 【解析】 【分析】画出原图形可得答案. 【详解】由直观图画出原图，如图， 可得是等腰三角形，且， 所以三角形面积. 故答案为:2. 13. 甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出（至少有一人解出来）概率 【详解】设数学题没被解出来为事件A，则. 故则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率. 故答案为： 14. 正方体的棱长为2，M，N，E，F分别是，，，的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为______，CE和该截面所成角的正弦值为_______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】取的中点G，BC的中点P，CD的中点H，连接GM，GN，FH，PE，PH，PF，则可得截面为矩形PEFH，从而可求出其面积，以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求CE和该截面所成角的正弦值. 【详解】如图，取的中点G，BC的中点P，CD的中点H，连接GM，GN，FH，PE，PH，PF， ∵，，，， ∴平面平面PEFH， ∴过且与MN平行的平面截正方体所得截面为四边形PEFH， ∵PE＝2，，四边形PEFH是矩形， ∴过且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积； 以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则E（1，2，0），F（0，1，0），H（0，1，2），， ，，， 设平面PEFH的法向量为， 则，取x＝1，得， 设和平面PEFH所成角为θ，则， ∴CE和该截面所成角的正弦值为． 故答案为：， 四、解答题 15. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出. （2）利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平. 【小问1详解】 设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B， 则， 由已知得，解得， 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； 【小问2详解】 由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个， 用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球， 表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间，． 可得， 记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件， 则，所以， 所以， 因为，所以此游戏不公平． 16. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0． 【解析】 【分析】（1）直线方程化y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）证明： 直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）． （2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A，B（0，1＋2k）． 又且1＋2k＞0， ∴k＞0． 故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求平面和夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）若为中点，连接，易证是平行四边形，有，再由线面平行判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 若为中点，连接，又为棱的中点，， 所以，且，即是平行四边形， 所以，面，面，则面. 【小问2详解】 由平面，，构建如图所示空间直角坐标系， 由，，，则，显然面的一个法向量为， 所以，若面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面和夹角的余弦值为. 18. 已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位. （1）求复数的共轭复数; （2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，再根据复数的除法运算及实数的定义求出，再根据共轭复数的定义即可得解； （2）先求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【小问1详解】 设，则， 为实数，，解得， 为实数， ，解得， ， ； 【小问2详解】 由（1）可知，， 复数在复平面内对应的点在第一象限， ，解得， 故实数的取值范围为. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）； （2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值； （3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 【答案】（1） （2） （3）体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为 【解析】 【分析】（1）记平面，的法向量为，设直线的方向向量，由直线为平面和平面的交线，则，，列出方程即可求解； （2）设，由平面经过点，，列出方程中求得，记平面的法向量为，求出与交线方向向量为，根据，即可求得的值； （3）由题可知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为，由题得出平面和平面的法向量，根据两平面夹角的向量公式计算即可． 【小问1详解】 记平面，的法向量为，设直线的方向向量， 因为直线为平面和平面的交线， 所以，，即，取，则， 所以直线的单位方向向量为． 【小问2详解】 设， 由平面经过点，， 所以，解得，即， 所以记平面的法向量为， 与（1）同理，与确定的交线方向向量为， 所以，即，解得． 【小问3详解】 由集合知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示， ，， 设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为， 平面，设平面法向量， 平面，设平面法向量， 所以， 所以几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出空间图形，求出相关法向量，利用二面角的空间向量求法即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东传高中2024-2025学年上学期高二年级 第一次质量检测数学试题 考试：120分钟 总分：150时间 一、单选题（每题5分，40分） 1. 甲、乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用3局2胜制，则甲以2：1获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ） A. B. C. 12 D. 3. 空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，则下列说法不正确的是（ ） A 直线恒过点 B. 若直线与y轴的夹角为，则 C. 直线的斜率不可能等于0 D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则或 5. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”．若，则向量的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A B. C. D. 3 7. 已知，，若点共线，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直二面角中，是直线上两点，点，点，且，，，那么直线与直线所成角余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，18分） 9. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件 10. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 11. (多选)如图，在棱长为a正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中为定值的是（ ） A. 点P到平面QEF的距离 B. 三棱锥P－QEF的体积 C. 直线PQ与平面PEF所成的角 D. 二面角P－EF－Q的大小 三、填空题（每题5分，15分） 12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC的直观图，则三角形 ABC的面积是_______. 13. 甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是________． 14. 正方体的棱长为2，M，N，E，F分别是，，，的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为______，CE和该截面所成角的正弦值为_______． 四、解答题 15. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 16. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求平面和夹角的余弦值. 18. 已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位. （1）求复数的共轭复数; （2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）； （2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值； （3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$