精品解析：广东省湛江市雷州市第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

雷州二中 2024-2025 学年度第一学期第一次月考 高二数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，三棱锥中，，，，点中点，点N满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】. 故选：C. 2. 在正三棱柱中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三棱柱的性质，可得，从而算出，然后在正中算出，进而利用向量的加法法则与数量积的运算性质，算出的值． 【详解】根据题意得，所以， 等边中，， 因此，． 故选：B． 3. 若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助待定系数法设，结合所给定义及其在基底下的斜坐标计算即可得. 【详解】由题意可得， 设， 即有 即可得，解得，即 即向量在基底下的斜坐标为. 故选：A. 4. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 5. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，结合选项，即可作答. 【详解】直线的斜率，所以直线的一个方向向量为， 故选：A. 6. 如图，平行六面体各棱长为1，且，动点P在该几何体内部，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量共面定理可知：点在平面内，则的最小值即为点到平面的距离，求出三棱锥为正四面体，过点作平面，求解即可得出答案. 【详解】因为， 则， 即， 由平面向量共面定理可知：点在平面内， 则的最小值即为点到平面的距离， 连接因为平行六面体各棱长为1， 且，所以， 所以三棱锥为正四面体， 过点作平面，因平面， 所以，如图，所以， 所以， 所以的最小值为. 故选：B. 7. 已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意知，平面，平面， 所以，又， 故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得 所以，， 记， 则， 所以F到直线BC的距离为. 故选：A 8. 已知函数若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得范围. 【详解】令作出的图象如图所示：等价于，表示点与点所在直线的斜率， 可得曲线上只有一个整数点与所在的直线斜率小于0， 而点在直线上运动， 由, 可知当时， 只有点满足，当时， 只有点满足， 当时，至少有，满足， 不满足唯一整数点，故舍去， 当时，至少有，满足， 不满足唯一整数点，故舍去，因为为整数，故可取. 故选：B 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9. 已知点，，点在轴上，且，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设出点的坐标，利用斜率坐标公式及垂直关系列式计算即得. 【详解】设点的坐标为，由，得， 又直线与直线的斜率都存在，且，整理得， 解得或，所以点的坐标为或． 故选：AD 10. 已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，求出直线的倾斜角可以是或或或，从而可得直线斜率，利用点斜式可写出直线方程，最后检验即可得答案. 【详解】解：由题意，直线的倾斜角可以是或或或， 所以直线的斜率或或或， 所以直线的方程可以为或或 或， 由，整理得，此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形. 故选：ABC. 11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的值域是 C. 先减小后增大 D. 方程有且仅有一个解 【答案】AC 【解析】 【分析】由题得，设，，，则，作出图形，由点在轴的移动得出的性质，从而判断各选项． 【详解】由已知， 设，，，则，如图， 由图形可得点关于对称时，的值相等，因此的图象是轴对称图形，它关于直线对称，A正确； 显然轴，当时，，即， 又，而不可能共线，即， 所以，B错； 设在轴上，且在右侧，在点右侧，与交于点，则，， ∴， ∴，在轴上点的右侧，， ∴，即 这说明点从向右移动时，递增，同理在轴从左侧向点移动时，减小，C正确； ，， 设，则的解是和， 有一个解，而有两个解，因此有三个解，D错． 故选：AC． 【点睛】本题考查数形结合思想，题中函数转化为轴上点到两定点距离差的绝对值，然后通过点的移动确定函数的性质，使得较为复杂的函数问题得到解决，解题关键是数与形的结合，如两点间距离公式，直线的斜率公式等等． 三、填空题：本题共三小题，每小题 5 分，共 15分. 12. 已知函数，若在平面直角坐标系中，所有满足的点都不在直线上，则下列方程中：①，③，④可能是直线的方程的是__________.（填写序号）. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】判断原函数的单调性，又可判断函数的对称中心，根据单调性可得，从而得到满足条件的方程. 【详解】在定义域上是单调递增，又，曲线关于点中心对称，，在平面直角坐标系中，所有满足即的点都不在直线上.结合定义域点与阴影三角形无公共点即可）， 故答案为：②③④. 13. 当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】确定直线过定点，再结合结合直线垂直的斜率公式，即可求解. 【详解】 可得：， 令可得：， 所以直线过定点， 当时，两点间的距离即为最大值， 又,所以， 所以直线方程为，即. 故答案为： 14. 已知二元函数的最小值为，则________． 【答案】80 【解析】 【分析】化简后转化为点到点之间距离，利用轴对称实现折化直，转化到两点之间线段最短问题. 【详解】． 设点．则， 这是经典的将军饮马问题如图． 点关于直线与轴的对称点分别为与， 可得，故． 故答案为：80 四、解答题：本题共 5小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在四面体ABCD中，设＝，＝，＝，E，F分别是AB，CD的中点，试用，，表示向量. 【答案】 【解析】 【分析】画出示意图，根据空间向量的加法运算即可. 【详解】如图所示， . 16. （1）已知空间向量，求； （2）已知，若，求实数的值 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出向量的坐标，由坐标计算模长. （2）分别用坐标表示出两个向量，由向量垂直则数量积为0建立等量关系，从而求出参数的值. 【详解】（1），所以 （2）∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得. 17. 一条光线从点射向轴，经过轴上的点反射后通过点. （1）求点坐标； （2）过点直线与线段有公共点，求直线斜率的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用点关于轴的对称点一定在入射光线上可求得直线方程，根据点在轴上求坐标； （2）分别求出直线、的斜率、，由直线与线段有公共点，结合图象可得或. 【小问1详解】 如图，设点关于轴的对称点为，则点在直线上， ∴， ∴直线方程为：，整理得. 令，得， ∴点坐标为. 【小问2详解】 由题意得，，， 由图可知，要使过点的直线与线段有公共点， 直线的斜率的取值范围是或. 18. 在中，已知点，，边的中点在轴上，边上的高所在直线方程为. （1）求线段的中点坐标； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）由边上的高所在直线方程为，根据直线的斜率可推出直线的斜率，再结合斜率的坐标公式和中点坐标公式可得结果. （2）先利用点到直线的距离公式求出高，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 设点，由点，得边的中点坐标为， 因为边的中点在轴上，所以，解得. 因为边上的高所在直线方程为，其斜率， 所以，即，解得，则. 所以的中点坐标为. 【小问2详解】 由（1）知点，所以， 直线的方程为，即， 点到直线的距离， 所以的面积. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为. （1）求证：平面BDE； （2）若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离； （3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥平面，⊥，又平行四边形为菱形，故⊥，又，从而得到线面垂直， （2）建立空间直角坐标系，由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为，利用点到平面的距离向量公式求出答案； （3）设，求出，求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，从而得到，换元后，得到. 【小问1详解】 连接，因为在平面ABC内的射影为， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， 因为为边长为2的等边三角形，D是线段的中点， 所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，四边形为平行四边形， 所以平行四边形为菱形，故⊥， 因为D，E分别是线段，的中点，所以， 故⊥， 因为，平面， 所以⊥平面； 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为⊥，D是线段的中点， 所以由三线合一可得， 又，故为等边三角形， ， 由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为， 点到平面BDE的距离； 【小问3详解】 点F为线段上的动点（不包括端点），设， ，则，故，故， 设平面法向量为， 则， 解得，令，则，故， 又平面的一个法向量为， 故， 令， 则， 因为，故， ， 平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围是. 【点睛】立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雷州二中 2024-2025 学年度第一学期第一次月考 高二数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 正三棱柱中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ） A. B. C D. 5. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行六面体各棱长为1，且，动点P在该几何体内部，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数的取值集合为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9. 已知点，，点在轴上，且，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ） A. B. C. D. 11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的值域是 C. 先减小后增大 D. 方程有且仅有一个解 三、填空题：本题共三小题，每小题 5 分，共 15分. 12. 已知函数，若在平面直角坐标系中，所有满足的点都不在直线上，则下列方程中：①，③，④可能是直线的方程的是__________.（填写序号）. 13. 当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为_______________. 14. 已知二元函数的最小值为，则________． 四、解答题：本题共 5小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在四面体ABCD中，设＝，＝，＝，E，F分别是AB，CD的中点，试用，，表示向量. 16 （1）已知空间向量，求； （2）已知，若，求实数的值 17. 一条光线从点射向轴，经过轴上的点反射后通过点. （1）求点的坐标； （2）过点的直线与线段有公共点，求直线斜率的取值范围. 18. 在中，已知点，，边的中点在轴上，边上的高所在直线方程为. （1）求线段中点坐标； （2）求的面积. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为. （1）求证：平面BDE； （2）若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离； （3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$