3.3抛物线精选题练习-2024-2025学年高二数学上学期苏教版（2019）

3.3抛物线精选题练习-高二数学上学期苏教版（2019） 期末真题精讲 1．（2023益阳市）已知是抛物线上一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值. 【答案】(1) (2)，最小距离为. 【分析】（1）假设的坐标，根据两点间的距离公式可以表示出的函数，进而利用二次函数求解最小值； （2）利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，再根据二次函数求解最小值 【详解】（1）设点， 所以当时，，所以. （2）点到直线的距离， 当时，，此时点的坐标为. 2．（2023武汉市）已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； （2）联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令即可证得题中的结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 故抛物线方程为． 其准线方程为 （2）证明：因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为，设直线l的方程为. 与抛物线方程联立可得． 故． 设，则， 直线OM的方程为，与联立，可得，同理可得． 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的方程为． 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 针对性训练 一、单选题 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．若抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 3．抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线与相交于，两点，且满足，在上的射影为，若的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D．9 4．已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是的中点，且，则线段的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 6．设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 7．如图所示的圆锥中，高，底面的直径．M为母线PB的中点．若平面经过OM且垂直于轴截面PAB，根据圆锥曲线的定义，可以证明此时平面与圆锥侧面的交线为抛物线的一部分，则下面四个结论中错误的是（    ） A．M为抛物线的顶点 B．直线OM为抛物线的对称轴 C．O是抛物线的焦点 D．抛物线的焦点到准线的距离为 8．“牛角栱”是凉山彝族民房檐枋装饰艺术中的重要特色之一，如图，已知牛角栱外侧弧线部分为抛物线的一部分，宽度，高度，根据图中的坐标系，则这条抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．过拋物线：的焦点作直线交抛物线于A，两点，则（    ） A．以线段为直径的圆与轴相切 B．的最小值为4 C．当时，直线的斜率为 D． 10．已知抛物线，O为坐标原点，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点，设，，抛物线C的准线与x轴的交点为G．则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，直线l的斜率为 C．GF始终平分 D． 11．已知抛物线的焦点到准线的距离恰好等于到点的距离，是抛物线上的三个点，是轴上一点.则（    ） A．的方程为 B．点为上位于右侧的两点，若四边形为正方形，则 C．当点是的顶点，且四边形为正方形时，此正方形的面积32 D．当点不是的顶点时，四边形不可能为正方形 三、填空题 12．已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 . 13．已知抛物线的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是的外心，则的值为 ． 14．已知抛物线，过焦点的直线交于，两点，点为直线上的点，且是等边三角形，则的面积为 . 四、解答题 15．已知抛物线：，过点作直线． (1)若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程． (2)若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，求弦长． 16．已知双曲线 的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)经过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点，求的面积的取值范围． 17．已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 18．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线PA交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点． 19．已知抛物线，为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于点，D．且当点P的坐标是时，线段的中点是(1，)． (1)求抛物线C的方程； (2)证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A C C C D BC BC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】将方程化为标准方程，然后可得. 【详解】将抛物线方程化为标准方程得， 所以，抛物线开口向上，且，故焦点坐标为. 故选：C 2．C 【分析】先求出焦点坐标，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】抛物线的焦点为， 则点到直线的距离，解得. 故选：C. 3．B 【分析】设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由向量的关系，可得，的横坐标关系，整理可得直线的斜率，再由的面积为，即，整理可得的值，进而求出弦长的大小. 【详解】由题意设直线的方程，设，设， 由，整理可得：，可得，， 因为，可得，代入，可得，再代入 ，可得，即， 设在准线上的射影分别为，的面积为， 所以， 即， 所以 即， 整理可得， 所以， 所以，解得，即, 所以. 故选：B 4．A 【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为，再利用点差法，即可求解. 【详解】由抛物线的准线为，可得，可得，所以， 设，可得，且， 两式相减，可得， 可得，所以直线的方程为， 即. 故选：A． 5．C 【分析】由题意得，，由此可得参数，进一步可得抛物线方程以及直线方程，联立结合韦达定理以及抛物线定义即可求解. 【详解】由题意是的中点，所以，， 由图知，所以， 又，所以， 所以， 而，所以直线， 联立抛物线方程得，，化简整理得， 所以，. 故选：C. 6．C 【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解. 【详解】解：抛物线的焦点是，准线方程为：， 设点到准线的距离为，则， 如图所示：    当三点共线时，取得最小值， 故选：C 7．C 【分析】以M为原点，MO为x轴建立坐标系，利用坐标法求出抛物线方程，分别判断各个选项即可. 【详解】如图： 由题可得圆锥的母线，， 所以，所以PB⊥PA. 连结OM，在中，O为AB的中点，M是中点， 所以OM为中位线，所以, 所以. 设平面交底面圆于CD，则. 以M为原点，MO为x轴建立坐标系如图示，则. 可设抛物线，把带入抛物线方程可得：， 所以抛物线为：，焦点，故A，B选项正确；C选项错误， 所以焦点到准线的距离为，D选项正确. 故选：C. 8．D 【分析】设抛物线方程为，通过代入B点坐标即可求得抛物线方程. 【详解】设抛物线方程为：， 由题意可得，将代入抛物线方程得， 所以抛物线方程为， 故选：D. 9．BC 【分析】根据题意设直线，，联立方程可得，进而可得，.根据抛物线的定义结合韦达定理逐项分析判断. 【详解】由题意可知：拋物线：的焦点，准线为， 且直线的斜率可以不存在，但不为0， 设直线，， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 可得， ， 对于选项A：因为线段的中点为，即， 则到准线的距离， 所以以线段为直径的圆与准线相切，故A错误； 对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为4，故B正确； 对于选项C：因为，且， 则，即， 联立，解得， 代入可得，解得， 所以直线的斜率为，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以，故D错误； 故选：BC. 10．BC 【分析】设直线l的方程为：，联立直线与抛物线的方程通过韦达定理可判断A，通过弦长公式可判断B，通过可判断C，由三角形面积公式可判断D. 【详解】显然直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为：， 联立直线与抛物线得，则， 所以，所以A选项错误； 又因为，可得， 即，所以，所以B选项正确； 即证， 即， 所以C选项正确； 由上述知：，为G到的距离，直线的方程为：， 则， 所以， 当且仅当时等号成立，所以，所以D选项错误． 故选：BC． 11．ACD 【分析】A由题设求参数；B设，其中且，求坐标，进而求正方形边长即可；C设点在轴上方，求其坐标，进而得，即可求面积；D设直线为，联立抛物线求，假设四边形为正方形，得到矛盾判断. 【详解】A.由题意得，解得，抛物线的方程为，正确； B.不妨设，其中且， 由抛物线的对称性及正方形的性质得：，得， 则，，不正确. C.当点是的顶点时，设与相交于点，则， 假设点在轴上方，则的坐标为，代入抛物线方程得， 此时正方形的边长为，所以正方形的面积为，正确； D.四边形不可能为正方形，当点不是的顶点时，直线的斜率一定存在， 设其方程为坐标分别为， 联立，则， 则，即， 所以，， 因此，中点的坐标为，， 若四边形为正方形，则的中点也是， 因为点在轴上，所以，所以，代入，得，即， 所以，化简得，① ， 因为，所以，化简得，② 由①②得，或无解，故四边形不可能为正方形，正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于D，设直线为，联立抛物线求，假设四边形为正方形，通过判断相关参数是否存在实数解判断. 12． 【分析】根据已知条件求得圆心坐标及半径. 【详解】由得焦点坐标关于直线对称的对称点， 所以圆的圆心为，设半径为r 点C到直线的距离为d，则， 所以， 所以答案为： 13．2 【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理求以及点M的坐标，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，可知直线l与抛物线必相交， 设直线，，可得， 联立方程，消去x得， 则， 可得， ，且，即线段的中点， 则线段的中垂线方程为， 由题意可知：点M在x轴上， 令，可得，即，则， 所以. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在． 14． 【分析】设：，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，设中点为，表示出点坐标，再分和两种情况讨论，即可表示出、，从而求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】抛物线的焦点，准线为， 由直线的斜率不为，设：，，， 联立，得， 显然，则，， 所以，， 设中点为，所以，，则， 当时，，或（，），显然为直角三角形，不合题意， 当时，， ∴，， ， 又，解得， 所以，，所以． 故答案为：． 15．(1)或； (2) 【分析】（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元，由求出的值，即可得解； （2）首先得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式计算可得. 【详解】（1）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，解得或， 故直线的方程为或；    （2）抛物线的焦点为，则直线的方程为， 设，， 联立，消去得，显然则， 故．    16．(1)； (2) 【分析】（1）根据题意得出的值，结合关系式即可求解； （2）由题知直线的斜率存在，设出直线方程，与双曲线联立，利用韦达定理得到，，然后表示出，根据直线与双曲线右支有两个交点，得到的范围，即可得出结果. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 由题意得，， 又，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）由题意知直线的斜率存在， 设直线方程为，得， 设， 联立，整理可得． 则，， ， 直线与双曲线右支有两个交点， ，即， 设， 则 ， ， 即的面积的取值范围是. 17．(1)4 (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解； （2）设，，，利用点差法化简计算即可得出结果. 【详解】（1）由抛物线的定义得， 故． （2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点， 设，，， ∴，， 当M，F不重合时，相减整理得，， ∴，即， 当M，F重合时，满足上式． ∴点M的轨迹方程为． 18．(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线C的标准方程； （2）方法1：设，，求出直线的方程，与抛物线方程联立解得点的坐标，同理得点坐标，从而求得直线的方程，可得证；方法2：设，，，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，求出直线的方程，从而得点纵坐标，同理得点纵坐标，由对称性可得证. 【详解】（1）设抛物线C的标准方程为或， 将A坐标代入，得，所以； 将A坐标代入，得，所以， 所以抛物线C的标准方程为或． （2）方法1：由抛物线C开口向右得标准方程为， 准线，设，， 则，即， 由，得， 所以， 所以，， 所以， 用代m，得，则， 所以， 化简得 所以，直线MN过定点． 方法2：由抛物线C开口向右得标准方程为，准线， 直线MN不垂直于y轴，设，，， 由得， 所以，， 所以， 所以， 令，则，同理． 因为P，Q关于x轴对称， 所以， 则． 所以，直线MN过定点． 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 19．(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）设，求出圆P的方程，令可得，再由韦达定理结合线段的中点，可求出，即可写出抛物线方程. （2）设，得圆为，令，得，设，应用韦达定理得到，设的方程为，联立直线的方程和抛物线的方程可得，经过等量代换，可知，进而得到直线的方程，并求出定点的坐标. 【详解】（1）由题得，圆P的方程为， 令得：， 设， 则， 则，         化简得：， 抛物线C的方程是 . （2）设，圆P的方程为， 令得，设， 则，        设的方程为， 由，消y得， 则，         即，又，得 直线的方程，直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$