精品解析：山东省青岛市即墨区第一中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测数学试题

高二级部第一次阶段检测数学试题 一、单选题（每题5分） 1. 数列，…的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数列中每一项的特点可分析得到通项公式的结构. 【详解】由于数列的符号正负项间隔出现，故符号为， 且每项为，故数列的一个通项公式为. 故选：D. 2. 直线的一个方向向量为，点 为直线外一点，点为直线上一点，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再结合已知条件利用距离公式求解即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为，， 所以点到直线的距离为 ， 故选：C 3. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 4. 如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则二面角的大小为，根据，展开计算可得，即可求解. 【详解】设，则二面角的大小为， 由题意，，则， 所以， 即，得，所以， 即二面角的大小为. 故选：C. 5. 已知数列的前n项和为，满足，则（ ） A. 4043 B. 4042 C. 4041 D. 4040 【答案】A 【解析】 【分析】由等差中项的性质及等差数列的定义写出通项公式，再由关系求的通项公式，进而求. 【详解】由知：为等差数列， 又，，则公差， 所以，故， 则，可得，而也满足， 所以，则. 故选：A 6. 如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系,从而在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量. 【详解】∵平面,， ∴,, 故以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，令. 则， 则， ∴在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量为. 故选：C. 7. 已知等差数列，，其前项和为，若，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等差数列求和公式结合题意计算可得的公差，即可得. 【详解】设数列的公差为，则， 故， ， 故，则. 故选：A. 8. 柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．下图是棱长均为1的柏拉图多面体，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量运算得，，再求即可. 【详解】由柏拉图多面体的性质可知，侧面均为等边三角形，四边形为边长为1的菱形，又≌，所以，故四边形为正方形，同理四边形也为正方形． 取的中点，连接，则， 同理， ． 故选：A． 二、多选题（每题6分，错选0分，漏选根据选项平均得分） 9. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线或异面直线 D. 在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可. 【详解】因为平面的一个法向量为，直线的方向向量为，则，即，则或，故A不正确； 又平面的一个法向量为，所以，即 ，所以，故B正确； 由直线的方向向量为，所以不存在实数使得，故与为相交直线或异面直线，故C正确； 在向量上的投影向量为，故D不正确. 故选：BC. 10. 已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 数列中的最小项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列及，判断出、、，再利用等差数列和等差数列前n项和的性质逐项判断即可. 【详解】若，则，，故， 所以，即等差数列是递减数列， A：由上分析，数列前7项为正，其余项为负，故时，最大，对； B：由，，则，， 所以成立的最小自然数，错； C：，则，对； D：当或时，，当时，， 由，，所以数列中的最小项为，对. 故选：ACD 11. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定： ①为同时与，垂直的向量； ②，，三个向量构成右手系（如图1）； ③. 如图2，在长方体中中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项；根据新定义计算等号左右两边可判断；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断. 【详解】对于，同时与，垂直，， 且，，构成右手系，故成立，故正确. 对于，，，则，故错误. 对于，，与共线，且方向相同， ，与共线，且方向相同， ，与共线，且方向相同， 所以，与共线，且方向相同， 所以，故正确. 对于，，， 所以，故正确. 故选：. 三、填空题（每题5分） 12. 在等差数列中，是其前n项和，已知，，则___________. 【答案】15 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出，，由此能求出. 【详解】在等差数列中，是其前n项和，，， ∴， 解得，， . 故答案为：15. 13. 已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值. 【详解】以为空间一组基底， 由于三个向量共面，所以存在， 使得， 即， 整理得， 所以，解得. 故答案为： 14. 如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面夹角，从而求解. 【详解】连接，因为：，，，在中，由余弦定理得： ， 即有：，所以：， 以点为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以：，，，， 因为：，且，， 设平面的一个法向量为：， 则：，令：，得：， 所以得：，解得：. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知等差数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用可得答案； （2）分、求即可. 【小问1详解】 时，， 时，， 又， 所以； 【小问2详解】 由（1）， 当时，， 当时， ， . 16. 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （Ⅰ）依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得、、、、、、、、. 依题意，，， 从而，所以； （Ⅱ）； （Ⅲ）. 【解析】 【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出； （Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ） 依题意，是平面的一个法向量， ，． 设为平面的法向量， 则，即， 不妨设，可得． ， ． 所以，二面角的正弦值为； （Ⅲ）依题意，． 由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是． 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题. 17. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面平面ABEF，，，，，，且． （1）已知点G为AF上一点，且，证明：平面DCE； （2）若平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为，求点F到平面DCE的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABEG为平行四边形，故O为AE中点，由中位线得到且，即四边形BCHO为平行四边形，故，得到平面DCE，即平面DCE； （2）由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用锐二面角的余弦值列出方程，求出，从而得到点到平面的距离. 【小问1详解】 证明：如图，连接AE交BG于点O，取DE中点为H，连接HO，HC，GE， 在四边形ABEG中，，， 故四边形ABEG为平行四边形． 故O为AE中点，所以在中，OH为中位线， 则且，又且， 故且，即四边形BCHO为平行四边形， 所以，又∵平面DCE，平面DCE， ∴平面DCE，即平面DCE． 【小问2详解】 因为平面平面ABEF，平面平面，，平面ABCD，所以平面ABEF， 如图，以点A为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系， 设，，，，，， 则，，， 设平面DCE的法向量为， 则，取， ∵，， 设平面BDF的法向量为，∴，取． 由平面BDF与平面DCE所成锐二面角的余弦值为， 可得， 解得或（舍去） 故，点F到平面DCE的距离， 故点F到平面DCE的距离为． 18. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用 来求得的通项公式. （2）利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列的前2n项和． 【小问1详解】 依题意，，， 当时，，解得，（舍去）. 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以（也符合）. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 . 19. 《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2） 埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与 （1）求异面直线与成角余弦值； （2）求平面与平面的夹角正弦值； （3）求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）. 【答案】（1）； （2）； （3）表面积为，体积为. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.写出点的坐标，求出，，根据向量即可结果； （2）根据坐标，求出平面与平面的法向量，根据向量法可以求出法向量夹角的余弦值，进而得出结果； （3）由已知可得，四边形为菱形.根据向量法求出四棱锥的体积以及表面积即可得出结果. 【小问1详解】 解：由题意可知，两两垂直，且.以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，如图5，建立空间直角坐标系. 则由题意可得，，，，，，，. 又分别是的中点，所以，. 所以，， 则， 所以异面直线与成角余弦值为. 【小问2详解】 解：由（1）可得，，，，. 设是平面的一个法向量， 则， 即， 令，可得是平面的一个法向量. 设是平面的一个法向量， 因为 则， 即，取，可得是平面的一个法向量. 则， 所以平面与平面的夹角正弦值为. 【小问3详解】 解：由（1）（2）可得，，，，，，. 所以， 所以∥且，所以四边形为平行四边形. 又， 所以，即， 所以四边形为菱形. 又，， 所以. 设是平面的一个法向量，则， 即，取， 则是平面的一个法向量. 又，所以点到平面的距离. 所以四棱锥的体积， 四棱锥的体积 因为，，. 所以在方向上的投影为， 所以点到直线的距离. 同理可得点到直线的距离. 所以四棱锥的侧面积. 所以埃舍尔体的表面积为，体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二级部第一次阶段检测数学试题 一、单选题（每题5分） 1. 数列，…的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量为，点 为直线外一点，点为直线上一点，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 4. 如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前n项和为，满足，则（ ） A. 4043 B. 4042 C. 4041 D. 4040 6. 如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列，，其前项和为，若，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 8. 柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．下图是棱长均为1的柏拉图多面体，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，错选0分，漏选根据选项平均得分） 9. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线或异面直线 D. 在向量上的投影向量为 10. 已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 数列中的最小项为 11. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定： ①为同时与，垂直的向量； ②，，三个向量构成右手系（如图1）； ③. 如图2，在长方体中中，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分） 12. 在等差数列中，是其前n项和，已知，，则___________. 13. 已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______. 14. 如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则______． 四、解答题（共77分） 15. 已知等差数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面平面ABEF，，，，，，且． （1）已知点G为AF上一点，且，证明：平面DCE； （2）若平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为，求点F到平面DCE的距离． 18. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前2n项和． 19. 《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2） 埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与 （1）求异面直线与成角余弦值； （2）求平面与平面的夹角正弦值； （3）求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $