精品解析：湖北省黄冈市武穴市第三实验中学教联体2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024年秋九年级月考数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 5. 把一个小球以的速度竖直向上弹出，它在空中的高度与时间满足关系：.当时，小球的运动时间为( ) A. B. C. D. 6. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 7. 中，于F，于为的中点，若的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的实数根为（ ） A. B. C. D. 9. 已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 10. 已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. C. 关于x的一元二次方程（）的两解为，，则 D. 方程有3个根，则 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 把一元二次方程化成的形式时，__________，__________． 12. 鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红光养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡______只． 13. 若抛物线不动，将平面直角坐标系的x轴、y轴分别向上平移1个单位长度、向右平移2个单位长度，则在新坐标系中此抛物线对应的函数解析式为__________． 14. 如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(－3,－6)，点B(1,－2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为___________. 15. 要围成一面积为的鸡舍，鸡舍的一边靠墙（墙长18m），并在与墙平行的一边开一个宽1m的门，现有32m的能围鸡舍的木板，则鸡舍的长与宽分别为__________m、__________m． 三、解答题（共75分） 16. 用恰当的方法解下列方程： （1） （2） 17. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 18. 随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个． （1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率； （2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？ 19. 为了解九年级甲、乙两个班级学生寒假期间每天体育锻炼的情况，体育老师从九年级甲、乙两班各随机抽取30名学生进行了“寒假期间平均每日体育锻炼时长（单位：分）”的调查，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息： a．甲班学生平均每日体育锻炼时长条形统计图． （平均每日体育锻炼时长用表示，共分为四个组别：．；．；．；．） b．甲班抽取的30名学生的平均每日体育锻炼时长在组中的全部数据： ，，，，，，，，，，，． 乙班抽取的30名学生的平均每日体育锻炼时长在两个组的全部数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，． c．甲、乙两班抽取的学生的平均每日体育锻炼时长的统计量如下． 平均数 中位数 众数 优秀率 甲班 44.1 48 乙班 44.0 43 45 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，并补全条形统计图． （2）若该校九年级共有600名学生，请你估计寒假期间平均每日体育锻炼时长低于40分钟的学生人数． （3）根据以上信息，请你对甲、乙两班寒假期间的体育锻炼情况作出评价，并说明理由． 20. 如图，海中有一小岛，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在处测得小岛在北偏东60°方向上，航行16海里到处，这时测得小岛在北偏东30°方向上． （1）如果渔船不改变航向继续向东航行，是否又触礁危险？请说明理由． （2）求点与小岛的距离． 21. 中秋节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 根据他们的对话解决下面所给的问题： （1）该超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，这种水果的销售价应为每千克多少元？ （2）该超市每天获得的销售利润能否达到4200元？若能，求出此时这种水果的销售价；若不能，请说明理由． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点B出发沿边以的速度向点C运动，同时点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，当一个点到达终点时另一点也同时停止，设运城的时间为． （1）填空：__________，__________（用含t的代数式表示），t的取值范围为__________． （2）当t为何值时，的长度为？ （3）当t为何值时，的面积为？ 23. （1）[问题归纳] 如图1，已知D为边上的中点，记，，，求中线的取值范围． 解∶延长到点E，使，连接， 在和中，，，， ∴ ________，（请在、、、中选择一个填空） ∴，在，，即， ∴ 解后反思：通过添加适当辅助线将零散的条件和结论整合在同一个三角形中，使得问题得以解决． （2）[类比迁移] 如图2，已知点P为正外一点，，试探究线段、、之间的数量关系，并证明你发现的结论． （3）[拓广探究] 如图3，已知为等腰直角三角形，其中，，点D为外一点，且，，求的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点E，F在x轴上，且，x轴上有两点，，二次函数的图象经过A、B两点，且与y轴正半轴交于点C，．点．将沿x轴向左平移，平移距离为． （1）求a、b、c的值； （2）当点D首次落在抛物线上，求m的值； （3）当抛物线落在内的部分，满足y随x的增大而增大时，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋九年级月考数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：形如的方程为一元二次方程， 化简得，故选项A符合题意； 不符合一元二次方程的定义，故选项B不符合题意； 不符合一元二次方程的定义，故选项C不符合题意； 化简得不符合一元二次方程的定义，故选项D不符合题意； 故选A． 2. 关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【详解】∵△=＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D． 3. 已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把函数化成的形式进行判断即可； 【详解】∵函数是二次函数， ∴，，． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数一般式的人数，准确分析是解题的关键． 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以逐一判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数， A、该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； B、对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意； C、顶点坐标是，故选项C正确，符合题意； D、当时，方程无解，即该函数图象与轴无交点，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 5. 把一个小球以的速度竖直向上弹出，它在空中的高度与时间满足关系：.当时，小球的运动时间为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，把h的值代入函数关系式，列方程求解即可． 【详解】解：依题意，将代入， 解方程得：． 故选B． 6. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴是y随x的增大而增大， 是y随x的增大而减小， 又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键． 7. 中，于F，于为的中点，若的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的两底角相等求出和，再根据平角的定义求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】解：，为的中点， ， ， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 8. 若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的实数根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解一元二次方程，能求出二次函数解析式中是解此题的关键．先把代入求出，然后解方程即可． 【详解】解：把代入二次函数得：， 解得：， 关于的方程为：， 解得：或， 即关于x的方程的实数根为或． 故选：A． 9. 已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根， ∴22﹣4m+3m=0，m=4， ∴x2﹣8x+12=0， 解得x1=2，x2=6． ①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14； ②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 所以它的周长是14． 故选B． 10. 已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. C. 关于x的一元二次方程（）的两解为，，则 D. 方程有3个根，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的平移，函数与坐标轴的交点． 把点C的坐标代入中，求出抛物线解析式即可得到抛物线的顶点坐标，判断A选项．根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断B选项．方程的解，是抛物线先下平移m个单位长度后，与x轴的交点的横坐标，根据抛物线平移的性质即可判断C选项．画出函数的图象，根据数形结合的思想即可判断D选项． 【详解】∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线为，即， ∴抛物线的顶点坐标为．故A选项正确； 把代入函数中，得， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∵抛物线的开口向上， 且抛物线上的两点，中， ∴．故B选项正确； 将抛物线向下平移m个单位长度，得到， 该抛物线与x轴的一个交点在点的左侧，另一交点在店的右侧， ∴关于x的一元二次方程（）的两解为，，满足，故C选项正确． ∵方程有3个根， ∴函数的图象与直线有3个交点， ∵函数的图象与x轴的交点为，， 如图，当直线经过点时，直线与函数的图象有3个交点，即 此时把点代入函数中，得到， 解得， 当时， 如图，当直线与函数只有一个交点时，直线与函数的图象有3个交点 ∴对于方程可化为，即， ∴， 解得， 综上所述，或．故D选项错误． 故选：D 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 把一元二次方程化成的形式时，__________，__________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，利用配方法将一元二次方程化成，则可得到和的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 所以，， 故答案为：5，． 12. 鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红光养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡______只． 【答案】12 【解析】 【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：1+x+x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可． 【详解】解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）=169， 整理，得， 解得（不符合题意舍去）． 答：设每只病鸡传染健康鸡12只． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解． 13. 若抛物线不动，将平面直角坐标系的x轴、y轴分别向上平移1个单位长度、向右平移2个单位长度，则在新坐标系中此抛物线对应的函数解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化解答抛物线的变化，准确找出新坐标系中顶点的坐标是解题的关键． 先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据平移确定出新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标，然后根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，根据顶点坐标写出解析式即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵将x轴、y轴分别向上平移1个单位、向右平移2个单位， ∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为， ∴新坐标系下抛物线的解析式是． 故答案为：． 14. 如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(－3,－6)，点B(1,－2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n交点的横坐标，然后根据图像法，即可求出不等式ax2+bx<mx+n的解集. 【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(－3,－6)，点B(1,－2)， ∴方程ax2+bx=mx+n的解为：x=－3或x=1， 根据图像可知：不等式ax2+bx<mx+n的解集为： 或； 故答案为：或. 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数与直线的交点的横坐标是一元二次方程的解，以及熟练运用图像法解不等式. 15. 要围成一面积为的鸡舍，鸡舍的一边靠墙（墙长18m），并在与墙平行的一边开一个宽1m的门，现有32m的能围鸡舍的木板，则鸡舍的长与宽分别为__________m、__________m． 【答案】 ①. 13 ②. 10 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设鸡舍与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设鸡舍与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为，由题意，得： ， 解得：或， 当时，； 当时，（不合题意，舍去）， ∴鸡舍的长与宽分别为； 故答案为：13，10． 三、解答题（共75分） 16. 用恰当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程因式分解法，公式法． （1）先把方程右边的项全部移到左边，再运用因式分解法进行求解即可； （2）观察方程的形式，先利用根的判别式判断是否有根，再利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：原方程变形得：， 分解因式得：， 所以或， 解得，． 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，． 17. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得； （2）由一元二次方程根与系数关系， ∵， ∴ 即，解得． 又由（1）知：， ∴． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程． 18. 随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个． （1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率； （2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？ 【答案】（1）2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．（2）预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩． 【解析】 【分析】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据该省2018年及2020年公共充电桩，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据该省2021年公共充电桩数量=该省2020年公共充电桩数量×增长率，即可求出结论． 【详解】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x， 依题意得：2（1+x）2=2.88， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%． （2）2.88×20%=0.576（万个）． 答：预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 为了解九年级甲、乙两个班级学生寒假期间每天体育锻炼的情况，体育老师从九年级甲、乙两班各随机抽取30名学生进行了“寒假期间平均每日体育锻炼时长（单位：分）”的调查，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息： a．甲班学生平均每日体育锻炼时长条形统计图． （平均每日体育锻炼时长用表示，共分为四个组别：．；．；．；．） b．甲班抽取的30名学生的平均每日体育锻炼时长在组中的全部数据： ，，，，，，，，，，，． 乙班抽取的30名学生的平均每日体育锻炼时长在两个组的全部数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，． c．甲、乙两班抽取的学生的平均每日体育锻炼时长的统计量如下． 平均数 中位数 众数 优秀率 甲班 44.1 48 乙班 44.0 43 45 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，并补全条形统计图． （2）若该校九年级共有600名学生，请你估计寒假期间平均每日体育锻炼时长低于40分钟的学生人数． （3）根据以上信息，请你对甲、乙两班寒假期间的体育锻炼情况作出评价，并说明理由． 【答案】（1）45，20，补全的条形统计图如下： （2）估计寒假期间平均每日体育锻炼时长低于40分钟的学生为180名 （3） 甲班学生寒假期间体育锻炼情况较好．理由： 甲班抽取的学生寒假期间平均每日体育锻炼时长的平均数、中位数、众数、优秀率均大于乙班． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，中位数，样本估计总体，对于（1），先求出甲班D组的人数，可求出中位数a，并补全条形统计图，再确定乙班D组的人数，可求出m； 对于（2），求出甲乙两班A，B两组人数和占样本总人数的百分比，再乘以总人数； 对于（3），根据各数的大小比较即可． 【小问1详解】 甲班A组有3人，B组有6人，C组有12人，所以D组有（人），甲班数据最中间的两个数在C组，且都是45，所以中位数是； 乙班级最中间的两个数都是43，可知B，D组都有6个数据，则， 所以． 故答案为：45，20； 补全的条形统计图略． 【小问2详解】 甲班A，B两组有9人，乙班A，B两组也有9人， ∴（名）． 答：估计寒假期间平均每日体育锻炼时长低于40分钟的学生为180名． 【小问3详解】 略． 20. 如图，海中有一小岛，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在处测得小岛在北偏东60°方向上，航行16海里到处，这时测得小岛在北偏东30°方向上． （1）如果渔船不改变航向继续向东航行，是否又触礁危险？请说明理由． （2）求点与小岛的距离． 【答案】（1）解：没有触礁危险；理由： 过点P作于点Q，如图所示： 则， 根据题意得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴海里， ∵，， ∴， ∴海里， ∴海里， ∵， ∴没有触礁危险． （2）海里 【解析】 【分析】（1）过点P作于点Q，根据三角形外角的性质证明，根据等腰三角形的判定得出海里，根据含30度直角三角形的性质得出海里，根据勾股定理求出海里； （2）根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据解析（1）可知，海里，海里， ∴（海里）， 根据勾股定理得：（海里）， 点与小岛的距离为海里． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定，求一个数的算术平方根，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 21. 中秋节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 根据他们的对话解决下面所给的问题： （1）该超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，这种水果的销售价应为每千克多少元？ （2）该超市每天获得的销售利润能否达到4200元？若能，求出此时这种水果的销售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）水果的销售价应为每千克29元 （2） 解：设每千克降低元，超市每天获得的销售利润能达到4200元，由题意得， ， 整理得， ∵， ∴方程无解， ∴该超市每天获得的销售利润不能达到4200元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每千克降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案； （2）设每千克降低元，超市每天获得的销售利润能达到4200元，据此列出关于x的一元二次方程，检验是否大于0即可解答． 【小问1详解】 解：设每千克降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得， ， 整理得， 或． 要尽可能让顾客得到实惠， ， 售价为元千克． 答：水果的销售价应为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元． 【小问2详解】 略 22. 如图，在矩形中，，，点P从点B出发沿边以的速度向点C运动，同时点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，当一个点到达终点时另一点也同时停止，设运城的时间为． （1）填空：__________，__________（用含t的代数式表示），t的取值范围为__________． （2）当t为何值时，的长度为？ （3）当t为何值时，的面积为？ 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可； （2）利用勾股定理构建方程即可解决问题； （3）利用面积构建方程求解即可解决问题； 本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，多边形的面积，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【小问1详解】 解：根据题意， ， 综上所述： 【小问2详解】 当 时， ∵， ∴，整理得 ， 解得 (不合题意，舍去)， ∴当时， 的长度为． 【小问3详解】 当时， ， 整理得， 解得 (不合题意，舍去) ∴当时，的面积为． 23. （1）[问题归纳] 如图1，已知D为边上的中点，记，，，求中线的取值范围． 解∶延长到点E，使，连接， 在和中，，，， ∴ ________，（请在、、、中选择一个填空） ∴，在，，即， ∴ 解后反思：通过添加适当辅助线将零散的条件和结论整合在同一个三角形中，使得问题得以解决． （2）[类比迁移] 如图2，已知点P为正外一点，，试探究线段、、之间的数量关系，并证明你发现的结论． （3）[拓广探究] 如图3，已知为等腰直角三角形，其中，，点D为外一点，且，，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【解析】 【分析】（1）由，，，得到，即可求解； （2）延长至点,使得,得到等边，由，，，得到，，结合，即可求解； （3）作，得到等腰直角，由，，，得到，，，由，，得到，，即可求解． 本题考查了，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：（1）∵，，， ∴； （2）延长至点,使得,连接， ∵， ∴， ∵, ∴是等边三角形， ∴，， ∵正， ∴，， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过点作，交于点，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，即：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点E，F在x轴上，且，x轴上有两点，，二次函数的图象经过A、B两点，且与y轴正半轴交于点C，．点．将沿x轴向左平移，平移距离为． （1）求a、b、c的值； （2）当点D首次落在抛物线上，求m的值； （3）当抛物线落在内的部分，满足y随x的增大而增大时，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1），，； （2）； （3）； 【解析】 【分析】本题考查待定系数求解二次函数解析式，二次函数与直线交点问题，二次函数与不等式问题： （1）根据，得到，即可得到，再将，代入求解即可得到答案； （2）根据，得到，根据D首次落在抛物线上代入求解即可得到答案； （3）根据二次函数性质对称轴右边y随x的增大而增大结合（2）求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵，， ∴，即：， 将，代入解析式得， ， 解得：， ∴，，； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ∵，， ∴， ∵D首次落在抛物线上， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：在中， ∵抛物线落在内的部分，满足y随x的增大而增大， ∴在B点右侧， ∴且， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $