精品解析：广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年高一数学上学期第一次月考 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题满分5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列各式一定成立是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，集合，则的真子集个数为（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 15 5. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的韦恩图中，，是非空集合，若，，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 7. 2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热､干咳､浑身乏力”的（　　） 已知该患者不是无症状感染者 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设集合，，定义集合，则集合中元素个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 二､多选题：本题共3小题，每小题满分5分，共15分．（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．） 9. 已知集合，集合，则集合可以是（ ） A B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ）． A. 一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数为实数，若，则的最大值为3 D. 设为实数，若，则的最大值为 第II卷（非选择题） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分 12. 已知集合，则__________． 13. 已知，，则的最大值是________． 14. 若不等式的解集是，则不等式的解集为__________． 四､解答题（共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）求； （2）求． 16. 已知命题p：关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）若p是真命题，求实数m的取值集合A； （2）在（1）的条件下，集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 17. 解不等式. 18. 为了抗击新冠，某区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米，侧面长为x米，且x不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，问：当x为多少时，总价最低． 19. 设集合为非空实数集，集合，且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期第一次月考 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题满分5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题否定为特称命题即得. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：C 2. 已知全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的补集、并集运算法则进行混合运算即可求得结果. 【详解】根据题意由补集运算可知， 又，所以. 故选：C 3. 已知，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ABC，由作差法判断D即可得解. 【详解】因为，所以， 由不等式的性质可得，A正确，B错误； 由不等式的性质可得，若，C错误； 若，则，即，D错误. 故选：A 4. 已知集合，集合，则的真子集个数为（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法和集合的交集运算求解. 【详解】由解得， 又因为，所以， 所以， 所以的真子集的个数为个， 故选:B. 5 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将集合N表示成取值范围的形式，再根据交集运算求解. 【详解】由可得，即， 又集合，可得 故选：A. 6. 如图所示的韦恩图中，，是非空集合，若，，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的运算法则即可求解. 【详解】由已知得，， 令,则阴影部分表示的集合是， 故选：B. 7. 2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热､干咳､浑身乏力”的（　　） 已知该患者不是无症状感染者 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征，充分的同，但有发热､干咳､浑身乏力等外部表征的不一定是新冠肺炎患者，不必要，即为充分不必要条件． 故选：A． 8. 设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件，，对，进行取值，再验证是否成立，满足条件的数对即为集合的元素，从而即可求解. 【详解】∵集合，，，， ∴可取1，2，3，可取0，1，2，4. （1）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； （2）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； （3）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素. 综上，的元素有八个，分别为：，，，，，，，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解元素与集合的关系，并且分类讨论时要做到不重复，不遗漏. 二､多选题：本题共3小题，每小题满分5分，共15分．（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．） 9. 已知集合，集合，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据子集和真子集定义直接判断即可. 【详解】，，，，， 可以是、和. 故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ）． A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，举例时不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件；对于B，按和两种情况去探究方程的解即可；对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件；对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解. 【详解】对于A，当时满足，但不成立， 所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误； 对于B，当时，方程的解为， 此时集合中只有一个元素，满足题意， 当时，为一元二次方程， 则由集合中只有一个元素得，故， 所以符合题意的有两个，或，故B错误； 对于C，一元二次方程有一正一负根，则， 所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确； 对于D，因为，所以， 又，故集合N的个数为个，故D正确. 故选：CD. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数为实数，若，则的最大值为3 D. 设为实数，若，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断A；变形式子并利用基本不等式求解判断B；利用基本不等式“1”的妙用求解判断C；配方变形并利用基本不等式建立关系，再解不等式判断D. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，当时，，， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，正数为实数，由，得， 则， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，由，得， 则，解得，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 第II卷（非选择题） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分 12. 已知集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义求解. 【详解】；经检验满足题意； 故答案为：. 13. 已知，，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最大值是， 故答案为： 14. 若不等式的解集是，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解集与对应方程的关系，结合韦达定理，求的关系，代入所求不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，，，， 则，即， 即，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四､解答题（共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）求； （2）求． 【答案】（1）或， （2）或或 【解析】 【分析】（1）首先对集合化简，然后利用集合交集和并集的运算进行求解即可； （2）利用补集运算进行求解即可. 【小问1详解】 因为，解得， ， 又，解得或， 或， 则或，. 【小问2详解】 由（1）知，或， 则或或. 16. 已知命题p：关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）若p是真命题，求实数m的取值集合A； （2）在（1）的条件下，集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，解得即可； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围； 小问1详解】 若是真命题，则，解得， 则； 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为． 17. 解不等式. 【答案】当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【解析】 【分析】需要分类讨论，先讨论，和，时，相应方程的两根大小易判断，可直接得出不等式的解集，时，相应方程的两根的大小不确定，需按两根大小分类． 【详解】当，原不等式等价于，解得． 当时，原不等式 1）当时，原不等式，此时，原不等式解集为 2）当时，原不等式 ①当，即时，原不等式解集为 ②当，即时，易得原不等式解集为 ③当，即时，易得原不等式解集为 综上所述得：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【点睛】思路点睛：本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时要注意分类讨论，分类讨论有三个层次：第一层次是最高次项系数是否为0，在最高次项系数不为零时，还应分正负，第二层次是相应的二次方程有无实根，在有实根的前提下，第三层次就是比较两根的大小． 18. 为了抗击新冠，某区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米，侧面长为x米，且x不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，问：当x为多少时，总价最低． 【答案】当时，时总价最低；当时，时总价最低 【解析】 【分析】根据题意表达出总造价，再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可. 【详解】由题意，正面长为米，故总造价，即. 由基本不等式有，当且仅当，即时取等号. 故当，即，时总价最低；当，即时，由对勾函数的性质可得，时总价最低； 综上，当时，时总价最低；当时，时总价最低. 19. 设集合为非空实数集，集合，且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由． 【答案】（1） （2）7 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用积集的定义直接求解即可. （2）设，且，利用积集的定义分析中元素大小关系，再举例即可求解； （3）不存在，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾即可. 【小问1详解】 因为， 故集合中所有可能的元素有，即， . 【小问2详解】 设，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又当时，，此时中元素个数等于7个， 所以积集B中元素个数的最小值为7. 【小问3详解】 不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，使其积集， 不妨设，则集合A的生成集 则必有，其4个正实数的乘积； 又，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，关键要在理解新定义的基础上，利用列举法和反证法进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$