2024-2025学年人教版九年级上册数学期中考试冲刺讲义第11讲：期中复习（二）

2024年秋季初中数学专属讲义 课题：期中复习（二） 学生姓名：*** 授课教师：*老师 2024年 月 日 学科网（北京）股份有限公司 适用学科 初中数学 适用年级 九年级 适用版本 人教版 课时时长（分钟） 120 知识点 期中复习 教学目标 1. 掌握代数板块中常见题型 2. 掌握几何作图中常见策略 教学重点 1. 二次函数与方程 2. 几何作图 教学难点 二次函数代几综合 专题一：二次函数与一元二次方程 【典例精讲】 【例1】已知a、b、m、n为互不相等的实数，且(a＋m)(a＋n)＝2，(b＋m)(b＋n)＝2，则ab－mn的值为（ ） A． 4 B． 1 C．－2 D．－1 【例2】抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－2)2＋bx＝2b－c的解是（ ） A．x1＝－1，x2＝6 B．x1＝－5，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－2，x2＝5 【例3】已知抛物线y＝x2－(m－2)x－． (1)求证：无论m取什么实数，抛物线总与x轴有两个不同交点； (2)若抛物线与x轴两交点分别为(x1，0)，(x2，0)，且满足|x1|＝|x2|＋2，求m的值． 【牛刀小试】 【练1】抛物线与轴正半轴交于A、B两点，且AB=2，则 ___________ 【练2】已知a，b是方程 x2＋3x－1＝0的两根，则a2b＋ab2＋2的值是 【练3】如图，函数y1＝x2＋2x－3与y2＝－x－3 (1) 求出y1与y2的交点坐标 (2) 将绕(－1，－2)顺时针旋转得到y3，在图中画出y3的图象，并直接写出y1＜y3＜y2的解集 【典例精讲】 【例4】如图，二次函数的图象过点(-2，0)，对称轴为直线． 有以下结论： ①abc＞0； ②7a+c＜0； ③a+b≤m(am+b)( m为任意实数)； ④若A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y＝c； ⑤若方程a(x+2)(4-x)=-1的两根为x1，x2，且x1＜x2，则-2≤x1＜x2＜4． 其中正确结论的个数有 【例5】已知抛物线C：y1＝－x2＋bx＋4与x轴相交于两点(1－m，0)、(1＋m，0) ① 求b的值 ② 当n≤x≤n＋1时，二次函数有最大值为3，求n的值 【牛刀小试】 【练4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②a＋b＋c≥ax2＋bx＋c；③若M(n2＋1，y1)、N(n2＋1，y2)为函数图像上的两点，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p(p＞0)有整数根，则p的值2个，其中正确的有 【练5】关于x的二次函数在范围内，函数值有最小值21，求b的值 专题二：二次函数应用 【典例精讲】 【例1】某农场要建一个饲养场(矩形ABCD)两面靠现有墙(AD位置的墙最大可用长度为21米, AB位置的墙最大可用长度为15米), 另两边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地及一处通道,并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏）建成后木栏总长45米.设饲养场(矩形ABCD)的一边AB长为x米 (1)饲养场另一边BC= 米(用x的代数式表示） (2)若饲养场ABCD的面积为180平方米求x的值； (3)饲养场ABCD的面积能围成面积比180更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由. 【例2】某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售两y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如下表：[注：日销售利润＝日销售量×(销售单价－成本单价)]． 销售单价x（元） 75 78 82 日销售量y（件） 150 120 80 日销售利润w（元） 5250 a 3360 (1)根据以上信息，填空：该商品的成本单价是元；表中a的值是，y关于x的函数关系式是； (2)求该商品日销售利润的最大值； (3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件(m＞0)，该商品在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量于销售单价仍然满足(1)中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，直接写出m的值． 【牛刀小试】 【练1】在一块矩形ABCD的空地上划一块四边形MNPQ进行绿化．如图，四边形的顶点在矩形的边上，且AN＝AM＝CP＝CQ＝xm，已知矩形的边BC＝200m，边AB＝am，a为大于200的常数，设四边形MNPQ的面积为Sm2. ①求s关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； ②若a＝400，求S的最大值，并求出此时x的值； ③若a＝800，请直接写出s的最大值. 【练2】某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量 m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表： 时间t/天 1 3 10 20 日销售量m/件 98 94 80 60 这20天中，该产品每天的价格y(单位：元/件)与时间t的函数关系式为：y＝t＋25(t为整数)，根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m关于t的函数关系式； （2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？ （3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜4）给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围． 专题三：几何作图 【例题精讲】 【例1】如图，在7×7正方形的网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C都为格点，且点A(1，2)．请分别仅用一把无刻度的直尺画图： (1)过点C画出一条线段AB的平行线段CD，直接写出格点D的坐标； (2)过点C画出一条线段AB的垂直线段CE，直接写出格点E的坐标； (3)作∠DCE的角平分线CF，直接写出格点F的坐标； (4)作∠ABM，使∠ABM＝45°，直接写出格点M的坐标． 【例2】如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形； （2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形． 【牛刀小试】 【练1】如图，在7×7的正方形网格中建立平面直角坐标系，A(1，4)，B(6，4)，C(5，6)． (1)直接写出△ABC的形状； (2)用无刻度的直尺作图； ①作∠ACB的角平分线CE交x轴于E点，写出E点的坐标 ； ②在CE上存在一点D，使AD＝BD，作出D点，并写出D点坐标 ； ③直接写出CD长为 ． 【练2】在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹)． (1)在图1中作弦EF，使EF∥BC； (2)在图2中以BC为边作一个45°的圆周角. 板块三：二次函数代几综合 【典例精讲】 【练1】抛物线y＝－x2＋2x＋3交x轴于A、B两点(A在点B的左边)，交y轴正半轴于点C． ①直接写出A，B，C的坐标； ②若抛物线上有一点P，使∠ACP＝∠BAC，求点P的坐标 ③若抛物线上有一点M，使，求M点横坐标取值范围 【例2】如图，抛物线y＝－x2－2x＋3的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C. (1)求A、B、C的坐标； (2)过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G．若FG＝AC，求点F的坐标； (3)E（0，－2），连接BE．将△OBE绕平面内的某点逆时针旋转90°得到△O’B’E’，O、B、E的对应点分别为O’、B’、E’．若点B’、E’两点恰好落在抛物线上，求点B’的坐标. 【牛刀小试】 【练1】抛物线经过点(0,-1),交x轴于A(-1,0),B两点，点P是第一象限内抛物线上一动点. (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，已知直线l的解析式为,过点P作直线l的垂线，垂足为H，当PH=时，求点P的坐标； 抛物线y=a x2-4a x +3a（a>0）交x轴正半轴于A,B两点（A在B的左边）,交y轴正半轴于C ; (1）如图①, 连接AC , BC ,若△ABC的面积为3 ①求抛物线的解析式； ②抛物线上是否存在点P，使∠PCB+ ∠ACB ≤45°? 若存在，求出P点横坐标的取值范围； (2)如图②, 若Q为B点右侧抛物线上的动点,直线QA, QB分别交y轴于点.D, E,判断CD : DE的值是否为定值,说明理由。 课后作业 1. 开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点（4，2），且抛物线的对称轴在y轴的右侧，则的值可能是（ ） A．－3 B．－4 C．－5 D．－6 2. 如图，已知抛物线y1＝ax2＋k经过点(－2，－2)和(0，2) (1) 求y1的解析式 (2) 直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为__________ 3. 小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ① ＞0； ② ＜0； ③ ＞0；  ④ ＞0； ⑤ 你认为其中正确信息的个数有(     ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图。 (1)在图1中，已知OD⊥BC于点D，画出∠A的角平分线； (2)在图2中，已知OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，画出∠A的角平分线。 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A(2，5)，B(1，3)，C(4，3)，D(1，-3)，E(1，0)，M(8，0)，N(8，3). (1)将线段DE平移得到MF，使点D与点M重合，点E与点F对应，画出线段MF，并写出点F的坐标； (2)将绕某点逆时针旋转后得到，请直接写出旋转中心的坐标； (3)判断NF与AC的关系，并加以证明； 6. 某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格＝150（1＋x％），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y＝－2x＋24，若该公司按浮动－12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10％. (1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元； (2)当该公司的商品定价为每件多少元时，日销售利润为660元； 说明：日销售利润＝（销售价格一成本）×日销售量） (3)该公司決定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于－2时，扣除捐贈后的日销售利润随x增大面减小，直接写出a的取值范围. 7. 已知二次函数与轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与轴交于C（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边，当，求P点坐标； 8. 已知抛物线C1：向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2： (1)直接写出抛物线C1的解析式 (2)如图1，已知抛物线C1交轴于点A、点B，点A在点B的左侧，点P(2， t)在抛物线C1上，QBPB交抛物线于点Q，求点Q的坐标 (3)已知点E、点M在抛物线C2上，EM//轴，点E在点M左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点(MD与y轴不平行)，直线DE与抛物线交于另一点N.若线段NE=DE，设点M、N的横坐标分别为m、n，求m和n的数量关系(用含m的式子表示n) 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$