精品解析：重庆市育才中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

重庆育才中学教育集团初2025届初三（上）第一次自主作业数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑． 1. 6的相反数为　　 A. -6 B. 6 C. D. 2. 下列图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚元硬币落地后，有数字的一面向上 B. 打开电视任选一频道，正在播放新闻 C. 到一条线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上 D. 某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票张一定中奖 4. 已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板两个顶点分别落在直线、上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，是上的三个点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，°，°，将绕点旋转得，使得点，，在同一条直线上，则旋转的角度是（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形都是由三角形按一定规律组成的，其中第①个图形共有个顶点，第②个图形共有个顶点，第③个图形共有个顶点，…，按此规律排列下去，第⑧个图形顶点的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，分别是⊙的直径和弦，，垂足为，连接，若，则的长度为（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 9. 如图，四边形是正方形，点、分别在边、上，连接、和，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ） ①存在实数，使得； ②若，则； ③已知代数式、、满足，，则． A 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（本大题8个小题，每题4分，共32分）请将答案书写在答题卡中对应的位置上． 11. 计算=______． 12. 若一个边形的每一个外角为，则边数的值是__________． 13. 陶行知先生提出一句著名教育箴言“千教万教教人求真，千学万学学做真人”，在这句教育箴言中，“真”字出现的频率是______． 14. 有大小与材质完全相同的四张卡片，其正面分别书写化学元素符号“，，，”，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取一张，则上面书写的符号是金属元素的概率是______． 15. 如图，在边长为2的正方形中，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以边的中点为圆心，长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是______（结果保留）． 16. 如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为________________． 17. 如图，是⊙的直径，、、、是上的点，过点作为切线交延长线于点，若，，则半径是_____． 18. 若一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定． （1）若为“平衡数”且，则_____； （2）若和都是“平衡数”，其中．（，且均为整数），规定：，若为正整数，则最小值为_______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1）； （2）． 20. 已知四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，并在上作一点，使． （2）连接，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即________①________， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴________②________， ∵， ∴． ∴________③________ ∴， ∴是菱形．（________④________） 21. 某学院的大学生，去某中学调研，了解刚步入初三小陶子们的生物地理结业成绩，从某中学两个班级各随机抽取名学生的结业考试成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（结业成绩用表示，共分成组：，，，）．下面给出了部分信息： 甲班学生组的结业成绩为：，，，，，，，． 乙班被抽取学生的结业成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲乙班级抽取的结业成绩统计表 年级 甲班 乙班 平均数 中位数 众数 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个班级的学生的结业成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校甲班级满分学生是名男生和名女生，乙班级满分学生刚好是名女生，现甲乙两班分别选一名学生去参加学院问答环节，用树状图或列表法求刚好抽到两名女生参加的概率． 22. 在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． （1）第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ （2）在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 23. 如图1，在四边形中， ，，，，，动点从点山发，沿着的方向以个单位每秒匀速运动，且到达点时停止运动．设的运动时间为秒，连接、，设的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明的取值范围（不取端点）； （2）请在图2平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图2所示，结合函数图像，直接写出时的取值范围．（结果精确到，误差） 24. 如图，在平面直角坐标系内，有，顶点与原点组合，、、、，连接、． （1）在给定的平面直角坐标系内作图，将绕点逆时针旋转，得到，并直接写出点旋转后对应点的坐标； （2）连接，求四边形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，是抛物线上一点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，问：是否存在点，使得面积有最小值，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）抛物线沿方向平移个单位长度，点是新抛物线与轴的交点，点是新抛物线上一点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 26. 如图1，在中，，，是线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，为的对应点，连接、，为延长线和延长线的交点． （1）如图1，当时，求此时四边形的面积； （2）如图2，连接，若、分别是、的中点，连接、，猜想和的关系，并证明你的猜想； （3）如图3，当在射线上运动时，将沿着翻折，得到，连接，与交于点，当时，直接写出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆育才中学教育集团初2025届初三（上）第一次自主作业数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑． 1. 6的相反数为　　 A. -6 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义进行求解. 【详解】6的相反数为：﹣6．故选A. 【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 2. 下列图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果一个图形绕某一点旋转后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，对各个选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项是等腰三角形，绕一点将等腰三角形旋转后不能与自身重合，故A不符合题意； B选项的图形绕一点旋转后不能与自身重合，故B不符合题意； C选项是等腰梯形，绕一点将等腰梯形旋转后不能与自身重合，故C不符合题意； D选项是圆，将圆绕圆心旋转后能与自身重合，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚元硬币落地后，有数字的一面向上 B. 打开电视任选一频道，正在播放新闻 C. 到一条线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上 D. 某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票张一定中奖 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】、抛掷一枚元硬币落地后，有数字的一面向上是随机事件，此选项不符合题意； 、打开电视任选一频道，正在播放新闻是随机事件，此选项不符合题意； 、到一条线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上是必然事件，此选项符合题意； 、某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票张一定中奖是随机事件，此选项不符合题意； 故选：． 4. 已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板的两个顶点分别落在直线、上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的属性，根据题意，得到，再根据三角板的特点得到，代入计算即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如图，，，是上的三个点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及圆的基本性质，由得，再根据等边对等角得，由三角形内角和定理得，可得结论．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【详解】解：∵在中，和所对的弧是，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B。 6. 如图，在中，°，°，将绕点旋转得，使得点，，在同一条直线上，则旋转的角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，由直角三角形的性质得出，再由旋转性质得，再通过等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】∵°，°， ∴， ∵将绕点旋转得，使得点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴旋转的角度是， 故选：． 7. 下列图形都是由三角形按一定规律组成的，其中第①个图形共有个顶点，第②个图形共有个顶点，第③个图形共有个顶点，…，按此规律排列下去，第⑧个图形顶点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形类规律，根据已知图形找到规律：第个图形中顶点的个数为：．解题的关键是通过观察图形得出规律． 【详解】解：第①个图形的顶点有：（个）， 第②个图形顶点的个数：（个）， 第③个图形顶点的个数：个顶点； ……， ∴第个图形顶点的个数：（个）， ∴第⑧个图形顶点的个数：（个）． 故选：B． 8. 如图，分别是⊙的直径和弦，，垂足为，连接，若，则的长度为（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理． 先根据圆周角定理得，则利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵为直径， ， ， ， ， 在中，， 故选：A． 9. 如图，四边形是正方形，点、分别在边、上，连接、和，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．将逆时针旋转，使与重合，得到，先证，得到，即可解答． 【详解】解：将逆时针旋转，使与重合，得到， 则，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，，， ∴，， 则，点三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ） ①存在实数，使得； ②若，则； ③已知代数式、、满足，，则． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用， ①先把左边配方，再根据非负数的性质判断； ②根据的值得到，再将化为，最后整体代入求值即可； ③先把左边分解因式，再整体代入求值； 掌握完全平方公式及整体代入法是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴不存在实数，使得， 故说法①不正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∴， 故说法②不正确； ③∵，， ∴， ∴ ， 故说法③不正确； ∴说法正确的有个， 故选：A． 二、填空题：（本大题8个小题，每题4分，共32分）请将答案书写在答题卡中对应的位置上． 11. 计算=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，先计算算术平方根，再进行减法计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若一个边形的每一个外角为，则边数的值是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角，根据多边形外角和定理进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ． 故答案为：8． 13. 陶行知先生提出一句著名教育箴言“千教万教教人求真，千学万学学做真人”，在这句教育箴言中，“真”字出现的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率=频数÷数据总数．先计算“千教万教教人求真，千学万学学做真人”的总数，再数“真”字个数，根据频率频数除以总数的定义即可得． 【详解】解：∵在“千教万教教人求真，千学万学学做真人”，在这句教育箴言中，总字数有16个字，其中“真”字有2个， ∴“真”字出现的频率是， 故答案为：． 14. 有大小与材质完全相同的四张卡片，其正面分别书写化学元素符号“，，，”，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取一张，则上面书写的符号是金属元素的概率是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，直接利用概率计算公式即可求解，掌握概率的计算是解题的关键． 【详解】解：化学元素符号“，，，”中金属元素符号的为“，”， ∴摇匀后随机抽取一张，书写的符号是金属元素的概率是， 故答案为：． 15. 如图，在边长为2的正方形中，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以边的中点为圆心，长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是掌握扇形面积计算公式并能够正确表示出阴影部分面积． 根据题意有， 然后根据扇形的面积公式：和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可． 【详解】解：根据题意得，， ，， ， 故答案：． 16. 如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为________________． 【答案】-2 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，由解为负整数，求出a的范围，不等式组整理后，根据解集确定出a的范围，进而求出整数a的值即可得出答案． 【详解】解：分式方程去分母得：a﹣3x﹣3＝1﹣x， 解得：x， 由分式方程有负整数解，得到0且1，即a＜4，且a≠2， 解不等式组 得：， 由解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3， 因为分式方程有负整数解， ∴符合条件的整数a为：-2， 0， ∴-2+0=-2． 故答案为：-2 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意分式方程有负整数解包括解为负数且解不能使分母为0两个条件． 17. 如图，是⊙的直径，、、、是上的点，过点作为切线交延长线于点，若，，则半径是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，连接，设的半径为，证明和都是等边三角形，得，继而得到，根据切线的性质得，，根据角所对的直角边等于斜边的一半得，即可得解．解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 【详解】解：连接，设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径是是． 故答案为：． 18. 若一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定． （1）若为“平衡数”且，则_____； （2）若和都是“平衡数”，其中．（，且均为整数），规定：，若为正整数，则的最小值为_______． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，整式的加减运算，理解新定义的运算：“平衡数”定义是解题的关键． （1）根据“平衡数”的定义，列式得到，，可求出、的值； （2）根据“平衡数”定义，可得出，m和n不可以是2和3， ， x、y不可以是1和5，，进而确定和的值，再由为整数分情况讨论求值即可． 【详解】解：， ， 则， ∴， 又∵M是“平衡数”， ∴，即， ∵、为自然数， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵s、t是“平衡数”， ∴，即，m和n不可以是2和3， ， x、y不可以是1和5， 又， ， ∴， ∵为整数， ∴为整数， 当时，最大值是17， (舍去)， m，n无解， 当时，最大值是17， (舍去)， (舍去)， ∴K的最小值是， 故答案为：30；． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，分式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先进行完全平方和单项式乘以多项式的运算，再合并同类项即可； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，进行约分化简即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ． 20. 已知四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，并在上作一点，使． （2）连接，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即________①________， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴________②________， ∵， ∴． ∴________③________ ∴， ∴是菱形．（________④________） 【答案】（1）作图见解析 （2）；；；有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）先四边形是平行四边形，再证明，即可得证． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即①， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴②， ∵， ∴． ∴③， ∴， ∴是菱形．（④有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 故答案为：；；；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意并画出图形，掌握平行四边形判定和性质及菱形的判定． 21. 某学院的大学生，去某中学调研，了解刚步入初三小陶子们的生物地理结业成绩，从某中学两个班级各随机抽取名学生的结业考试成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（结业成绩用表示，共分成组：，，，）．下面给出了部分信息： 甲班学生组的结业成绩为：，，，，，，，． 乙班被抽取学生的结业成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲乙班级抽取的结业成绩统计表 年级 甲班 乙班 平均数 中位数 众数 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个班级的学生的结业成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校甲班级满分学生是名男生和名女生，乙班级满分学生刚好是名女生，现甲乙两班分别选一名学生去参加学院问答环节，用树状图或列表法求刚好抽到两名女生参加的概率． 【答案】（1），，； （2）甲班学生掌握垃圾分类知识较好，理由见解析（答案不唯一）； （3）刚好抽到两名女生参加的概率为． 【解析】 【分析】（）根据中位数、众数的定义，通过“甲班学生组人数抽取人数”求解即可； （）根据中位数、众数的定义进行分析即可； （）画树状图求概率即可； 本题主要考查了平均数、中位数、众数的概念，画树状图或列表法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可知： 甲班学生组人数为：人， 甲班学生组人数为：（人）， 甲班学生组人数为：（人）， 则甲班学生组人数：（人）， ∴， ∴， ∵甲班学生组人数共人，组人数为人， ∴中位数落在， 由，，，，，，，，排序为：，，，，，，，， ∴中位数为组的第个学生的平均数，， ∴， ∵乙班被抽取学生的结业成绩出现次，次数最多， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：甲班学生掌握垃圾分类知识较好，理由如下： 因为甲、乙班学生成绩的平均数相等，而甲班成绩的中位数大于乙班； 【小问3详解】 解：画树状图如下， 一共有种等可能情况，刚好抽到两名女生参加的有种， ∴刚好抽到两名女生参加的概率为． 22. 在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． （1）第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ （2）在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 【答案】（1）购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设购买绿龟挂件单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，然后可得方程，进而求解即可； （2）由（1）及题意易得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，然后可得方程，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，由题意得： 解得：； ∴绿龟玩偶的单价为60元； 答：购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元． 【小问2详解】 解：由（1）及题意得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，则有： 解得：． 23. 如图1，在四边形中， ，，，，，动点从点山发，沿着方向以个单位每秒匀速运动，且到达点时停止运动．设的运动时间为秒，连接、，设的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明的取值范围（不取端点）； （2）请在图2平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图2所示，结合函数图像，直接写出时的取值范围．（结果精确到，误差） 【答案】（1） （2）作图见解析，答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当点在线段上时，；当点在线段上时，，由三角形面积公式可得出答案； （2）由题意画出图像，由一次函数的性质可得出结论； （3）由（2）中的图像及一次函数与反比例函数的交点坐标可得出答案； 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点，交于点， ∴，， ∵动点从点山发，沿着的方向以个单位每秒匀速运动，且到达点时停止运动．设的运动时间为秒， ∴， ∵，，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴在中，， 当点在线段上时，此时， ∵， ∴四边形矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的面积：， 当点在线段上时，此时，如图， ∴， ∴， ∴的面积：， 综上所述，与的函数关系式为：； 【小问2详解】 如图， 该函数的一条性质：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； 【小问3详解】 联立， 整理得：， 解得：或（舍去）， 联立， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴时的取值范围是． 【点睛】本题是一次函数及反比例函数的综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，列函数关系式，勾股定理，三角形的面积，一次函数的性质，一次函数与反比例函数的交点坐标，图像法解不等式等知识点．确定与的函数关系式解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系内，有，顶点与原点组合，、、、，连接、． （1）在给定的平面直角坐标系内作图，将绕点逆时针旋转，得到，并直接写出点旋转后对应点的坐标； （2）连接，求四边形的面积． 【答案】（1）图见详解， （2）32 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标及旋转的性质，熟练掌握图形与坐标及旋转的性质是解题的关键； （1）根据旋转的性质可得点、的坐标，然后连线即可，进而根据坐标可得点的坐标； （2）根据（1）图及各个点的坐标可求解四边形的面积． 【小问1详解】 解：由题意可得点C绕点B逆时针旋转得到的点，点E绕点B逆时针旋转得到的点，所以如图所示： 【小问2详解】 解：由（1）图可知： ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，是抛物线上一点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，问：是否存在点，使得面积有最小值，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）抛物线沿方向平移个单位长度，点是新抛物线与轴的交点，点是新抛物线上一点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】（1） （2）的面积没有最小值，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点和代入，得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）确定、，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，设，其中，，根据，得，再根据二次函数的性质即可得解； （3）确定抛物线沿方向平移个单位长度相当于向右平移个单位向上平移个单位，得到新抛物线解析式为，如图，在取点，使，连接并延长交新抛物线于点，过点作于点，延长到点，使，连接交新抛物线于点，过点作轴于点，作轴于点，根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一性质得，即点为符合条件的点，确定直线的解析式为，联立，可得，根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一性质得，即点为符合条件的点，证明四边形是矩形，得，，证明，得，即，确定，根据点是线段的中点，得，确定直线的解析式为，联立，可得解． 【小问1详解】 解：∵点、在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 的面积没有最小值．理由如下： 由（1）知：抛物线的表达式为， 当时，得：， 当时，得：， 解得：或， ∴、， 过点作轴于点，过点作轴于点，连接，设，其中，， ∵、，， ∴，，，，，， ∴ ， ∴的图像是抛物线， ∵，对称轴， ∴图像开口向上，图像上越接近对称轴的点的函数值越小， 但∵， ∴的面积没有最小值； 【小问3详解】 ∵，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，即直线与轴正方向的夹角为， 又∵，， ∴抛物线沿方向平移个单位长度相当于向右平移个单位向上平移个单位， ∴新抛物线解析式为，即， 当时，得， ∴， 如图，在取点，使，连接并延长交新抛物线于点，过点作于点，延长到点，使，连接交新抛物线于点，过点作轴于点，作轴于点， ∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴，即点为符合条件的点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即点为符合条件的点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵轴， 轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点是线段的中点，且，设， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 综上所述，符合条件的点坐标是或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，图像的平移，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点等知识点．掌握二次函数的图像与性质，图像的平移，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 26. 如图1，在中，，，是线段上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，为的对应点，连接、，为延长线和延长线的交点． （1）如图1，当时，求此时四边形的面积； （2）如图2，连接，若、分别是、的中点，连接、，猜想和的关系，并证明你的猜想； （3）如图3，当在射线上运动时，将沿着翻折，得到，连接，与交于点，当时，直接写出的长． 【答案】（1）18.5 （2），理由见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据勾股定理可得，然后问题可进行求解； （2）分别取的中点M、N，连接，然后根据三角形中位线可得，进而可得，最后通过证明进行求证即可； （3）由折叠可知，分别过点E、作，垂足分别为R、Q，根据“K型全等”可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由旋转可知：， ∵分别是的中点，， ∴， 分别取的中点M、N，连接，如图所示： ∴， ∵点M、N、O分别是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由旋转可知：， ∴， 根据沿着翻折，得到，可知：， ∴， 分别过点E、作，垂足分别为R、Q，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、三角形中位线、旋转的性质、轴对称的性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理及等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$