精品解析：广西南宁市第八中学2024-2025学年高二上学期9月学业质量阶段诊断测试数学试卷

南宁八中2023级高二9月学业质量阶段诊断测试 数学试卷 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数的模为10，虚部为，则复数的实部为（ ） A. B. 6 C. D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据模长的计算公式，即可求得答案. 【详解】设复数，则， 故选：C 2. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可. 【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”， 事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ，，，， 因为，所以与独立，故选项C正确； 事件与不相等，故选项D错误. 故选：C. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，在直角中，求得，结合斜二测画法的规则，即可求得原平面图形的高，得到答案. 【详解】如图所示，过点作， 因为四边形为直角梯形，且，，可得， 在直角中，可得， 根据斜二测画法的规则，可得原平面图形的高为. 故选：C. 4. 已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定与性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，则或，所以A错误； 对于B中，若，则，所以和相交、平面或异面，所以B错误； 对于C中，由，可得，又因为，所以，所以C正确； 对于D中，如图所示，若，此时与不一定垂直，所以D不正确. 故选：C. 5. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：D 6. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出坐标系，连接，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】如图所示， 设直线l的倾斜角为，， 则，， ∵直线l与连接，的线段总有公共点，∴， 即， ∴． 故选：A． 7. 如图所示，在三棱柱中，若点，分别满足，，三棱柱高为3，面积为，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意确定几何体为三棱台，再结合棱台的体积公式求出三棱台的体积和棱柱的体积之间的关系，即可求得答案. 【详解】因为在三棱柱中，，， 故， 则，故几何体为三棱台； 设三棱台的体积为，几何体的体积为， 设h为三棱柱的高，则， ， 故， 故选：A 8. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，代入面积公式结合角C的范围运算求解. 【详解】因为，则， 整理可得，且，可知， 由题意可得：，解得， 由正弦定理可得， 则面积， 因为，则，可得， 所以面积. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 第一组样本数据：，由这组数据得到第二组样本数据：，其中，其中为正数，则下列命题正确的是（ ） A. 当时，两组样本数据的样本平均数不相同 B. 第二组样本数据的样本极差是第一组的倍 C. 第二组样本数据的样本标准差是第一组的倍 D. 第二组样本数据的样本方差是第一组的倍 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据样本数据的平均数，极差及方差,标准差性质逐个选项判断即可. 【详解】设一组数据的平均数为，方差为， 则的平均数为，方差为. 对于选项，根据以上性质以及可知，第二组样本数据的平均数为， 故平均数不相同，故正确； 对于选项，由极差的定义知：若第一组的极差为， 则第二组的极差为， 即第二组样本数据的样本极差是第一组的倍，故正确； 对于选项，根据样本数的上述性质，第二组样本数据的样本方差是第一组的倍， 第二组样本数据的样本标准差是第一组的倍，故C正确, 错误. 故选:. 10. 已知向量，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的模长的计算公式可判断A，根据单位圆以及向量的加法平行四边形法则即可判断BC，由模长公式以及垂直关系即可判断D. 【详解】，，即有，故选项A错误； 不妨设，如图，设点、、的坐标为，，，即可得点，在单位圆上. 根据向量加法的平行四边形法则，四边形为正方形，据此不妨设，，从而可得：，，即可得选项B成立，选项C错误. 由可得：，可得：，，则可得：，故选项D成立. 故选：BD 11. 如图，在正方体中，点P是底面（含边界）内一动点，且平面，则下列选项正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 异面直线与所成角的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间向量，利用空间向量及空间法向量法逐项分析即可. 【详解】设正方体的边长为2， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： ， ， 所以， 所以，① 设平面的一个法向量为：， 则， 令， 因为平面，所以， 即， 所以有①式，所以，即，故A正确， 由，则，所以可得在线段上（包含端点）， 在正方体中，由，平面，平面， 所以平面， 所以动点到平面距离为定值，而为定值， 由锥体体积公式可得三菱锥的体积为定值，故B正确， 若平面，则 由，则 无解，故C错误， 设异面直线与所成角的为， 由，， 所以， 因为， 所以当时，， 当时， 当且时， 令， 则，此时，所以，即， 又，所以此时， 综上所述：异面直线与所成角的为，即. 故选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则在方向上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的坐标运算求得，然后代入投影向量公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以在方向上的投影向量是. 故答案为： 13. 若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程为________ 【答案】或或 【解析】 【分析】分直线在两坐标轴上截距绝对值相等且不等于0和等于0两种情况，分别设直线方程为或和，进而即得. 【详解】当直线在两坐标轴上截距绝对值相等且不等于0， 设方程为或， ∵直线过 ∴或， ∴或， ∴或 ②当直线在两坐标轴截距绝对值相等且等于0时， 设方程为， ∵直线过， ∴， ∴， ∴， 综上所述，方程为或或. 故答案为：或或. 14. 已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，，PB＝PC＝3，平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间点、线、面的位置关系，根据三棱锥的特点计算其外接球的半径. 【详解】在等腰中，易知，所以，的外接圆的半径为，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径为. 所以其表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明： 连接，交于，连接，则是的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2）证明： 平面，平面， ， 是等边三角形，是的中点， ，又平面， 平面，又平面， 平面平面． 【解析】 【分析】（1）连接，交于，连接，利用中位线定理及线面平行的判定定理即可证明； （2）利用线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理即可证明； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若D为AC的中点，且，b＝3，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得出角B； （2）由向量的运算得出，由余弦定理得出，进而得出，最后得出面积. 【小问1详解】 因为，所以. 即，即 又，所以. 【小问2详解】 由，得，则由平行四边形法则可得， 则，即① 又，即② 由①②可得. 则. 17. 对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差. 【答案】（1）众数为；平均数为 （2）平均数为；方差为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的众数和平均数的定义和计算方法，即可求解； （2）根据题意，得到分数在区间的学生为10人，分别为，得到，设第三组分别为，得到，设第四组分别为，其平均数和方差为，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为， 这800名学生成绩的平均数为： （分）. 【小问2详解】 解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人， 各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人， 其中分数在区间的学生为10人，分别为， 其中平均成绩与方差分别为，则， 设第三组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，则， 设第四组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为， 由，可得， 由， 可得，解得， 所以第四组的学生实际成绩的平均数为与方差为. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求和的值； （2）求函数在的单调增区间； （3）若函数在区间上恰有10个零点，求的最大值. 【答案】（1），;（2）和;（3）. 【解析】 【详解】【试题分析】（1）直接依据图像中所提供的数据信息可得，进而求出；（2）依据正弦函数的单调区间解不等式求出单调增区间，（），然后求出函数在的单调增区间为和.（3）先求出函数中的或（），进而借助周期性求出的最大值为． 解：（1）， . （2）由（1）知，令，（） 得，（） 又因为，所以函数在的单调增区间为和. （3）由得或（）. 函数在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以的最大值为. 19. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示. （1）在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由； （2）求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1）存在， （2）2 【解析】 【分析】（1）设的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到，得出平面，进而得到结论； （2）连接CE，取BE中点O，作于M，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解． 【小问1详解】 解：当F是AC的中点时，直线平面. 证明如下： 设的中点为N，连接EN，FN， 因为，，且，， 所以且，所以四边形DENF是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 所以存在点F，使平面，且. 【小问2详解】 解：在平面图形中，连接CE，则，， 所以， 如图所示，取BE中点O，连接，则， 因为平面，平面平面，且平面平面， 所以平面，又因为平面，所以 作于M，连接， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角中，，，可得， 故二面角的平面角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁八中2023级高二9月学业质量阶段诊断测试 数学试卷 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数的模为10，虚部为，则复数的实部为（ ） A. B. 6 C. D. 36 2. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在三棱柱中，若点，分别满足，，三棱柱高为3，面积为，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 第一组样本数据：，由这组数据得到第二组样本数据：，其中，其中为正数，则下列命题正确的是（ ） A. 当时，两组样本数据的样本平均数不相同 B. 第二组样本数据的样本极差是第一组的倍 C. 第二组样本数据的样本标准差是第一组的倍 D. 第二组样本数据的样本方差是第一组的倍 10. 已知向量，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的值为 11. 如图，在正方体中，点P是底面（含边界）内一动点，且平面，则下列选项正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 异面直线与所成角的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则在方向上的投影向量是______. 13. 若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程为________ 14. 已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，，PB＝PC＝3，平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若D为AC的中点，且，b＝3，求的面积． 17. 对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求和的值； （2）求函数在的单调增区间； （3）若函数在区间上恰有10个零点，求的最大值. 19. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示. （1）在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由； （2）求二面角的平面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $