精品解析：福建省闽清县天儒初中教育集团2024-2025学年九年级10月月考数学试题

福建省闽清县天儒初中教育集团2024-2025学年九年级10月月考数学试题 （完卷时间90分钟 总分120分） 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分，每小题只有一个正确的选项，请把正确答案写在表格中） 1. 在下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 方程中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ） A. 4、-1、-1 B. 4、-1、2 C. 4、-1、3 D. 4、-1、5 3. 据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 6. 对于函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象顶点是（2，5） B. 图象开口向上 C. 图象关于直线对称 D. 函数最大值为5 7. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 8. 电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为（　　） A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 2或3 10. 实数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解：x2+x=_____． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则______________． 13. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为______． 14. 如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是________． 15. 已知点在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是_____________． 三、解答题（本题共7小题，共60分） 16. 解方程：． 17. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 18. 已知二次函数． … 0 1 2 … … … （1）填写上表，并在平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． （2）利用图象写出当时，的取值范围是________________． 19. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 21. 某网店为满足航天爱好者的需求，推出“空间站”模型，已知该模型平均每天可售出20个，每个可以盈利40元，为了扩大销售，该网站准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个，假设每个模型降价元． （1）在每个模型盈利不少于25元前提下，要使模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ （2）该模型平均每天的销售利润能达到1280元吗？请用所学的知识分析，并写出你的理由． 22. 已知以轴为对称轴的抛物线过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）平面上有一个，点在抛物线上，若点，求周长的最小值； （3）直线与抛物线交于D，E两点，过点的直线与抛物线的另一个交点为，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省闽清县天儒初中教育集团2024-2025学年九年级10月月考数学试题 （完卷时间90分钟 总分120分） 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分，每小题只有一个正确的选项，请把正确答案写在表格中） 1. 在下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，故不符合题意； B．0是整数，属于有理数，故不符合题意； C．是无理数，故符合题意； D．是分数，属于有理数，故不符合题意． 故选：C． 2. 方程中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ） A. 4、-1、-1 B. 4、-1、2 C. 4、-1、3 D. 4、-1、5 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程的一般形式：(a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程，即中二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，-1，-1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，正确把方程化为一般形式是解题的关键． 3. 据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】 故选：C． 4. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 5. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 6. 对于函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象顶点是（2，5） B. 图象开口向上 C. 图象关于直线对称 D. 函数最大值为5 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：∵函数y=（x-2）2中，a=1＞0， ∴该函数图象的顶点坐标是（2，5），A正确； 该函数图象开口向上， B正确； 该函数图象关于直线x=2对称， C正确； 抛物线开口向上，当x=2时，该函数取得最小值y=5，故D错误； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，再根据二次函数与x轴两个交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的两个解即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的一元二次方程的解为， 故选：A． 8. 电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x，列方程为，化简求解即可． 【详解】解：第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x 故根据题意列方程式为： 化简得： 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于正确的表示每天的票房． 9. 如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为（　　） A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 2或3 【答案】D 【解析】 【详解】解：已知正方体相对两个面上的数相同可得，解得， “★”对的数字是； 当时，“★”对的数字是3；当时，“★”对的数字是2 故选：D 10. 实数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；掌握一元二次方程根的判别式是关键；考虑一元二次方程，由，表明一元二次方程有一个实数根，从而得判别式非负即可；当时，，，最后综合越来即可判断． 【详解】解：考虑一元二次方程， ∵， ∴一元二次方程有一个实数根， ∴， 即； 当时，，； 综上，； 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解：x2+x=_____． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可． 【详解】解： 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，根据“左加右减，上加下减”解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为， 故答案为：． 14. 如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且能表示出长和宽，根据面积可列方程． 设宽为，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程． 【详解】解：设宽为，根据题意，得 ． 故答案为：． 15. 已知点在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由可得抛物线开口向下，根据点A，B到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：由题意得：抛物线对称轴， ∵点C为抛物线的顶点，且， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴，即， ∴，即，, 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共60分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，选择合适解一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ，， 解得，． 17. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】略 18. 已知二次函数． … 0 1 2 … … … （1）填写上表，并在平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． （2）利用图象写出当时，的取值范围是________________． 【答案】（1）0；3；4；3；0 描点、连线得到图象如下： （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了求函数值、画二次函数图象，根据交点确定不等式的解集，掌握二次函数图象与性质是关键． （1）把表中自变量的值分别代入函数式中即可求得对应的函数值，从而完成表格；然后描点、连线即得到函数图象； （2）从形的角度理解：，函数图象位于x轴下方，观察函数图象即可； 【小问1详解】 解：完成表格如下： … 0 1 2 … … 0 3 4 3 0 … 描点、连线得到图象如下： 【小问2详解】 解：当时，体现在函数图象上，是函数图象位于x轴下方， 观察函数图象知：或． ∴当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 19. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】（1） （2）石块能飞越防御墙 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为10米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为，化为顶点式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米，得到，当时，，得到石块能飞越防御墙． 【小问1详解】 ∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为，， 即； 【小问2详解】 ∵墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米， ∴点C与点的水平距离为30米、垂直距离为6米， ∴， 当时， ， ∴石块能飞越防御墙． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）的值为1或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 21. 某网店为满足航天爱好者的需求，推出“空间站”模型，已知该模型平均每天可售出20个，每个可以盈利40元，为了扩大销售，该网站准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个，假设每个模型降价元． （1）在每个模型盈利不少于25元前提下，要使模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ （2）该模型平均每天的销售利润能达到1280元吗？请用所学的知识分析，并写出你的理由． 【答案】（1）每个模型应降价10元； （2） 该模型每天的销售获利不能达到1280元，理由如下： 解法1：设每件模型应降价元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得： 整理得: 该方程无实数根 即该模型每天的销售获利不能达到1280元 解法2：设该商店平均每天销售利润为元， 根据题意得： ， 当时，有最大值，最大值为1250， ， 该商店平均每天销售利润不能达到1280元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）解法1：设每件模型应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，根据题意列出一元二次方程，解方程可得，即可得出结论；解法2：设该商店平均每天销售利润为元，根据题意列出函数关系，进而求得最大值，比较即可求解． 【小问1详解】 解：设每个模型应降价元， 根据题意得： 整理得：， 解得： 又每个模型盈利不少于25元， 答：每个模型应降价10元． 【小问2详解】 略 22. 已知以轴为对称轴的抛物线过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）平面上有一个，点在抛物线上，若点，求周长的最小值； （3）直线与抛物线交于D，E两点，过点的直线与抛物线的另一个交点为，求证：直线过定点． 【答案】（1）； （2）； （3） 证明：与二次函数的图象交于D，E两点， ， ， ， ∵过点的直线交二次函数的图象于点， ， ， ， 得：， 设直线EF的解析式为， 联立得：， 即， ， 由②得：，代入④⑤，得：， 即， ， ，得：，即， ⑦代入⑧，得：， ， 直线的解析式为， 直线一定经过定点． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴为y轴，则；再用待定系数法求出系数a与c即可； （2）设，过点B作垂直x轴于点P，过点C作垂直轴于点，由勾股定理求得，则，从而得最小值； （3）联立与抛物线抛物线解析式，得，由一元二次方程根与系数关系得：；联立与抛物线解析式，消去y得到一元二次方程，得；得：；设直线EF的解析式为，与抛物线解析式联立并整理得：，；最后可得，直线的解析式为，由此可得直线所过的定点． 【小问1详解】 解：抛物线以y轴为对称轴， ∴b=0， ∵抛物线过， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，过点B作垂直x轴于点P，过点C作垂直轴于点，如图； ， ， ， 周长的最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的图象与性质，勾股定理，垂线段最短，一元二次方程根与系数的关系等知识，掌握这些知识是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $