广东省东莞市五校联考2024-2025学年高二上学期第一次联考（10月）数学试题

1 2024-2025 学年度第一学期五校第一次联考 高二数学 命题人:张艳华 东莞外国语学校 审题人:张爱湘 东莞外国语学校 说 明:本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上正确书写班级、姓名、试室号、座 位号、学校准考证号。用 2B 铅笔将学校准考证号填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 第 I卷（选择题） 一、单选题：本小题共 8 题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知直线 1l 经过  3,4A  ，  8, 1B   两点，直线 2l 的倾斜角为135，那么 1l 与 2l （ ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 2. 若向量  1, 2,0a  ，  2,0,1b    ，则（ ） A. cos , 120a b     B. a b  C. a b  D. / /a b  3．已知直线 1l ：3 3 0x y   与 2l ：3 0x y C   之间的距离为 10 ，则C （ ） A．13 B．13 或−7 C．7 D．7 或 13 4. 已知直线m过点  0,0,0O ，其方向向量是  1,1,1a  ，则点  3,4,5Q 到直线m的距离是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 5. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面 为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵 1 1 1ABC A BC- 中， ,M N分别是 1 1 1,AC BB 的中点，G是MN的 中点，若 1 32 2 AG xAB yAA zAC       ，则 x y z  （ ） A. 1 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 4 6．如图，在正三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1 2AB AA  ，M、N 分别是 1 1 1BB BC和 的中点，则直线 AM 与 CN 所 成角的余弦值等于（ ） A. 5 2 B. 3 5 C. 2 5 D. 2 5 2 2 7. 过点 P(2，0)有一条直线 l，它夹在两条直线 1 2: 2 2 0 : + +3 0l x y l x y   与 之间的线段恰被点 P 平 分，则直线 l的方程为( ) A. 4 8 0x y   B. 4 8 0x y   C. 4 8 0x y   D. 4 8 0x y   8. 如图，已知正四面体 1 2 3 4A A A A ，点 5A ， 6A ， 7A ， 8A ， 9A ， 10A 分别是所在棱中点，点 P满足 4 4 1 4 2 4 3A P xA A yA A zA A       且 1x y z   ，点 Q 在平面 1 2 3A A A 上，记 4 4 min| | | |A Q A P   ，则当1 i ， 10j  且 i j 时，数量积 4 i jA Q A A   的不同取值的个数是（ ） A. 21 B. 9 C.5 D. 3 二、多选题：本小题共 3 题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9.已知直线 l的一个方向向量为  ,1,3a m ，平面 的一个法向量为  2, ,1b n   ，则（ ） A．若 / /l  ，则 2 3m n  B．若 l  ，则 2 3m n  C．若 / /l  ，则 2 0mn  D．若 l  ，则 2 0mn  10.下列说法中，正确的有（ ） A. 在空间直角坐标系Oxyz中，点  3,2,1M 关于平面 yOz对称的点的坐标是  3,2,1 B. 在平面直角坐标系中，直线3 4 5 0x y   与直线3 4 5 0x y   关于 y轴对称. C．在平面直角坐标系中，直线 : 4 0l x y   上的动点 P到坐标原点距离的最小值为 2 2 D. 将正方形 ABCD沿对角线 BD折成直二面角，则 AB与平面 BCD所成角为 3  11. 已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的边长为 2，M 为 1CC 的中点， P为侧面 1 1BCC B 的动点，且满足 / /AM 平面 1A BP，则下列结论正确的是（ ） A. 1AM BM B. 1 / /CD 平面 1A BP 3 C. 1 1A B BP D. 以M 为球心， 2 为半径的球被正方体表面所截的总弧长为 2π π 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分. 12. 直线 0x By C   经过点 P(0,2),且与直线 4 0x y   平行，则 B C  ________. 13. 已知平面 的法向量为 ( 2, 2,1)n     ，点 ( ,3,0)A x 在平面 内，若点 ( 2,1,4)P  到平面 的距离d 为 2，则 x  ________. 14．在平面直角坐标平面 xOy中，圆心在原点，半径为 r 的圆可以用 2 2 2=x y r 表示.已知两定点 1( 4,0)F  与 2 (4,0)F 位于动直线 : 0( , 0l ax by c a b   其中 不同时为 ）的同侧，设集合 { |P l 点 1F 与点 2F 到直线 l 的距离之差等于 4 2}，  2 2( , ) | 8, ,Q x y x y x y   R ，记 {( , ) | ( , ) , }S x y x y l l P   ， {( , ) | ( , ) }T x y x y Q S   ，则由 T 中的所有点所组成的图形的面积是_________ . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤. 15．(满分 13 分）已知点      1,3 3,1 1,0A B C ､ ､ ，求： (1) BC边上的中线所在的直线的方程； (2) BC边上的高所在的直线的方程； (3)三角形 ABC的面积. 16．(满分 15 分）已知空间三点  0, 2,3A  、  2, 1,6B   、  1,1,5C . (1)若向量m  与 AB  平行，且 14m   ，求m  的坐标； (2)求以CB、CA为邻边的平行四边形的面积． 17．(满分 15 分）如图，在底面 ABCD为菱形的平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， ,M N分别在棱 1 1,AA CC 上， 且 1 1 1 1 1, 3 3 AM AA CN CC  ，且 1 1 60A AD A AB DAB      . (1)求证： 1, , ,D M B N共面； 4 (2)当 1 AA AB 为何值时， 1MN BB . 18．(满分 17 分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ,ABCD ABEF的边长都是 2，且它们所在的 平面互相垂直．活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 AC和 BF上移动，且CM 和BN的长度保持相等， 记 (0 2 2)CM BN a a    ． （1）求证： BC BE ； （2）a为何值时，MN的长最小？ （3）当MN的长最小时，求平面MNE与平面MNB夹角的余弦值. 19．(满分 17 分）已知点 0 0( , )P x y ，直线 : 0( , 0 l Ax By C A B   其中 不同时为 ），且点 P不在直线 l上. （1）若点 0 0( , )P x y 关于直线 3 0x y   的对称点为 ( , )Q x y ，求Q点坐标； （2）求证：点 P到直线 l的距离 0 02 2 | |Ax By Cd A B     ； （3）当点 0 0( , )P x y 在函数 ( )y f x 图像上时，（2）中的公式变为 0 0 2 2 ( )Ax Bf x C d A B     ， 请参考该公式，求 2 23 1 3 1x x t t       ( , )x t R 的最小值. 2024-2025学年度第一学期五校联考 陆1-2(×+20-4-41-2. 得-9或-3.故答案为:v-9段-3 高二数学答案 4+4+1 一、选择题: 4.8】评】过分期作的线。是分为AV题意知 M-FVAF-434E-4A-90404)0- 所以合表示的这为与A平行,且分别为直线A5及其上的部分,以及直 线A7及其向下的部分,0对应的勃读为以原点为因心.是为r25的及其内部. 6.【详解】作C中点:选接BE,作贴的中点P。接A。A卢,即乙AMF为异面直 由于A-AA-00--2四此直线A与限,所以7对 线,4M与C(阳成的角,由已知件得E--、5.则Mr-5 5.AM+f5. 恰好为圆及其内部,故图积为,故答案为: 15.【答案】(1x-102y--4r+7(305 三、解答题: 【详解】()8C的中点为 #). 由AF- ”. ) ) A-AM'MF-2AM·MF-00乙AMF跟.解得coSzA3F- 由于4f13).以aC边上的中视听在直线跨方程为1-1. 7.【】在百线七2间的境段是A(A在上在号上A.的标分是())因为4 (2一-2-。 所以aC选上的高的斜率为一4.. 点平分,所x+4+=0,干是七-4-七5=-,由A在七上,8在i上.所以 1(4-)(--3:0' 所以aC过上的高所在直线方程为y-3---1 得&,-3)-4.即A的座标是(3.4)直线P4的方程是,-01-2 闻-47 .即4-¥-8-0 4-;-2 (3)直线8C的方程为y~--(+)一x-4+1-.. 8.【解】条件A.P-AA+yAA+24A且+y:-1”说点P在平百4A.A上.百A.0-+A.P 说 A判r-4y+1-n的距题s 12-110 暗2为平面A.A.A.的中心,此A01平面AAA.由向量数是积的几料意义,AA在A0的投影有5情况: 71 6.4140.402.数量程404.4的不回取个数是5 aC。r-、 11【详第】如图是立空问直角生标.没正方体长为2.对于A.A(002).4(022).8(000)M(2.1.0) P[x¥.0).所以A-(0-2-2).8-(.y.AM-(21-.AM77平ABP,可a 16.【答完】(1-(-21.3)-12-1-3c7 【详W】(1)由已知官得A8-(-213). &-7 M-A+BP,-2a+b=1.可得3x-2=0.以动P在线3r-y=0上.AM-(2.1.2) 因为量与ā平行,选--(-21.其中eB. __. -2--2 期--4+1-、短 得_._... 寸4 8M-(2-10).AM-8M-2x2+(-1+(-2){0-3.所以A与M不。A选项:对于B 码知CD71A8:A8一平面4BP,CD平ABP,段CD77面4BP,B选项正确:对千C.AB1 所以。=8-(-213或--8-12-1-3 平面BCCB.BC面BCCB内.所AB1P,C正.对干D.球心M是面BCCBDCCD的 (2可得C-(-1-3-2).C-(-1.-2.1). 雨! 和ABCD上蓝球在孤的轻均为1,图小圆圆心分跳为C、C.,心角均为,氛长为a,这因既知长之 }.(-c- ._分 所以,以C。CA为这的平行国诗形的面积 和为、+:D选正 行# s-C__m 二、填空: -#,.. ___.是 12.:【详】知-1.题意可得o+28+C--初c-2.g-C-1 _._._.i5 17.【答x】(1正解析(2)44-2时,10188 _0 【详解】(1)在平行六面4BCD-48CD中,MD.DV.N、a.M.因为AM--44.C-CC。. 所以=+A=A+-+ .-2 1-1-11 -nv--, +1111; .-分 平面与平面M夹知的条弦是 _17 所以w-. .-.5分 19【答案】(1)0(3-.3-1:(2)见解析(3)6-2、5 【详】(1因为点P0于直线x+¥-3-0对稿 W-MWB _6 7 所现选0为平四达形。D其。 高。 1%. ....8分 122 8-%00-3-) 现由如下:没A4-40-5-.且与。与.与均为6r r-_+. 为闻4aC0为变想,i因-同. (2)证法一:设AD,般据定义,点P到直线的距离是点P到直线i的线段的长,设点到直线了的线为” oT-M4AC+CN.... __....10 ---- _._6 ....ō 与联立方细解得坚点② 若0101-+--1s6 [r-AB-Ac-A-c 4+ __._.-..-..12分 {第0)) 4 s0-+lco-叫-封-。 ___._分 4, _14分 _ .-.....5是 18【案】(兄解c25 f(A+yCrr(Ax++c)(arn+C) -mu.4B.C [) 4gf + (&) -10分 aC81平. 【译1为平面ACDI平Aa,8C1A8:1A8,且平配ABCD平面A8EF-A8.BC-平ABCD. 可证,出A-0成立. ___③分 _.._.11分 又二平. 故C1庭,.... -.-.....4分 证法二:没4200,这时1与x。y轴相交. 过点作)的线,交1于点时x。是):过点P作:的看线,交!子点&fu:号. (2)出(1)知&CA、两两直,超立如所示空到直是标系。... 一. 有(00.0).A(20mC(0.0.2)F(220)r(02m. _6 高 .P=-d+&C cx8-)) u.,nC 以__可明.当4-&-o度文。 号)-号)::占 1 w-.2v---2.- 正法三。(课本第76页) 8 1-- 1-1-3- 5时,题小,最小植为、5: 1_| _. -、 。 1.) .....1. 3由(1)可知.封.v为AC。中点V最短(礼Bl.N11) -(-12-D-(01--010. _11分 a.表示的数--图象上的点(即园心在原点的单位漏x上半园)到直线x-y+3=的距离,14分 令平r与平落0的法判分别为-3).n=(5y乙3. -.表示涌数y--图象上的点(耳题心在点的位园;上)到直线x×+y-3-0的距离,15分 -_。 {{_。 一1-8--1. -(0.-0-1-0.-15分 两以小2---6~2~ -+-:。2024-2025学年度第一学期五校联考 3x=-9度一3【解】山赠意=《x+22.4).由室斯中点到面距离的向敏会式d= 1=1 高二数学答案 .达挥题： 号123 45 6 18 9 10 11 用2+2-2，期得r一9成-3答米为：-9减-于 V4+4+ 答第A B AD AC BCD■ 小4，【i详解】过F,F分灯作伯意执.康是分胡为.N,打图意可料： 6【环解】作微C的中点E,连按及E,作E蜂中点F,连接MF、A,F,甲∠AWF为异面当 M-NAN=45又F5-s所说∠Af5:+4行.∠F453-0,A利®4,0，-4 诉以紫合P表示轨迹为与AF,F,平行，且分月为直规A:使其向上的富分，以及直 花，M与N斯成的角，由已划条作将积E-2+下。5，瑞F=5 生《及其向下的年分，Q对肉的连为以眼由为展0，半径为？-2反的州及其内落， 由于A诉=4，∠F4F,=0,00=r=22因虎直规4F为黑相切：所以7对应约数迹 712 价好为程及其内二，量有队为标当养第为：数 2 三、解答题： 中，有余装定理可知F2:M2+WF-1AMF0s∠AVF耳解得e0s∠AMF=亏道 15【答米】)：-12三-4r+15 【1田cm中点为》 1分 远：总 7.【鲜等】段直拽夹在直线(4之句的线段是A8《A在4上。s在名上，（的生标分别是耳，月4，因为 由千1,3补，所送C边上的中线所在直姓的方程为- 3分 8坡直P平分，所以x十马-4，男+为-0，干是=4-力“一为由于A在4上，日血4上，所以 1-01 ,4分 动手0-甲A的生标是.线以方是君-号每红-于8=司 2x-月-2=0 2)(-可4 所以C边上的高的氧事为4， 5分 师以C边上的高丙在直线方程为-3=中x- 6分 y-4x+7... 7分 3【解】繁件4P-玉可+y,◆：4且有+7+江=“，说明点P在平套44上，网dPL视 6)直线aC的为程为g-9-+号4+10 8分 明Q为半面44的中心，北时无Q1平面A44:由向景数最积的几料仓义，AA在0的投匙有5料情混： 0,±与0.±0，：数量积A0不的不H取值的个数是s A折-少+1-0的消为业-12+。0 10分 6d=4+平=厅， 11分 11【解】帝建立空国直角坐标蔡。位正方博棱长为2，对千A,则A00,2),4(0,2,2斗，8(0,0,0， M(2,10叫.Px,0),所B=(0,-2,-2引，BF=x,,0叫.A丽=2L,-2,由AM/平面4BP.可得 陈以号克厅 13分 0+hx=2 16.【答案】1e=-2,1,3升线喻-2.-1，-引2、5 A丽=4+h8P,甲-2a+y-【,化简可智3江-2y=0,斯以功点P在直线3x-2r=0上 【解】1)由是可得酒-(21,3， 1分 -2g=-2 四为向慧而与平行，设W=AB=(-2机，A从》，其中1R, 口分 AM-2L,-2,M-2.-1,0,AMM-2x2+1-川+(-引x0-3*0,斯以M与RM不熏直，A 划=4国e++g三雨4， ,3分 证要量提：对干B,号知CD(4B,4BC平H4即，CD,g平4P,所过CD平出4BP,B意项正 解海2=士1 5分 :对干C,最特4B1平面℃片，5Pc平童℃民内，开以A岛18P,C果：时于D,球七M是 所以。m=A店=-213到或m-店-2-1-3到 7分 育C工风听0CCD修公发收CG中，在这香上数有孩牛药为，万，程角高为经长为 2)山题可得：⑦--1，-3-。C-(-3,-2,, 9分 兰、2，在面BCD整4C0,上球面得的半静鸡为1，截百小其心分为C、.G,期心角均为 床以s区L.C8- CA-CR 7 C4k14.14”2 11分 受放领长为，该四段道长之和为红+x,D店现正面 因为C.c到e,小.所以@i,面-于满c- 12分 所以。以Cg、CA为都遗的平行国边形的面和 二、填空题： s-kiBsuc. -13分 121【解】易知影-1由题意可香0+284C-0:卵得C=2液8+C▣1 -4×-7及-15分 【爷】正明见解行当会-时西1两 =-1,2,-.=l,-:4✉14，， 1分 【鲜解】)在平内面棒C0-4C马中，态银0.DN,岛w,因为4M-4,CN-CG 令平面E与十面图的法代量分划为，五=(X芳：) 期有%-5-0 高+2乐-0属+0顶与1，测有.--， 为=马=0 15 所以顺=瓜+-+=， .2分月 南秀 1-1-1 4分 谢之65n,而 网+++有” 16分 :平面WNE与F山WNm夹角的条经是字 17分 所以D示原， 5分 19.【答案】(1》2川1-3-)t(2)笔解折：(3》6-2 年DN=M且且DN级， 6分 【单解】1因为对P,Q美于直线·事-1=0对将 所以四达岳D得N为平行四边形，厚D,M,&,N共面： T分 y-五- 当会-3，网1网 X-Y 8分 所以 2分 +人++-3=0 混由如下：我=6AD:A前=日，且当么当在码的米角均为0， 2. g为馆图ACD为差形，所以网- ,9 W少-+3保03-634 4分 AMN=店+A,CNaa4a4a 10分 (2)注法一设A幸0，恨送定义，点P再直线的肥离是点P乳直线的段的长。孩点P司直线/的新线为'， 瓜+而℃++0 6足为0、由r1可知车为号 -5分 - 1分 所以简方程一%一 6分 若wL8服，期1照.博G-+--每+ii-0。 2分 与联有程解点C二-C,二4-C + g分 月…知打·月m-月日开-0 A+ 3冷 解容丹可. 140 年台、网1威 15分 9分 移【路案】0证明花都折，厅偶3 【详解】日？因为学面4BCD⊥半面A8,5C上.dB,E上Ag,且平面情CD1平面ABFF=A,Ce卡面 id++C,+,·C++C ASCD. (A2+B +8 P所以d您++g 10分 +R 值CB上平自5F, 3分 可证明.当A=每时成文 -11分 又BEC平AaF, 直8C⊥sE,. 4分 正法二：量4*几B中U,达时与第、推那图文， (2)由1》知C,A及E两两乘度，建文均图所示空可直角坐标系， 分 过点P作了轴的意视。受于直(：过点P作x伯量线。交于房3功五}： 有0,4，，A(20)C002.F(2,2,0·E(0,2, 分 由++C-0 85兰4，网-k09网=% +的tC w=-- ,两-+四。公套新，+日。由三角形面积会式明每，4四-网P四。所 ww=-22+4=-+2 以山++9可证项。5：0或80时的度立 + 当a“反时，￥数小，最小值为点： 正法三：（望本第沁面） 10给 (由目)可知，当，N为C,部中别，x晨超，期LL,Ll, (3)令u- 上同同.上可 13分 画表示用数，=-工图象上的（屑心在期的单位国×结上半刺）到直线-于+3=的距肉，4分 鸟表示函数y=-子阁象上的点（拜题心在原点的单丝眉：轴上华低）到直线+y-子-0的严离，15分 所以最小值为2x52--6-25 17分