精品解析：山东省临沂市临沭县第一中学2024-2025学年高三上学期10月阶段性教学质量检测数学试题

山东省临沂市临沭县第一中学2024-2025学年高三上学期10月阶段性教学质量检测数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考式结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元一次不等式与一元二次不等式求得集合，进而可求得. 【详解】， 或， 所以或=. 故选：D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设复数，由共轭复数的性质和复数的意义求出复数，再由复数的乘除计算即可得到结果； 【详解】设复数， 所以， 又因为复数满足， 所以， 整理可得，解得， 所以， 所以， 故选：A. 3. 已知．若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直可得，代入向量夹角公式即可得结果. 【详解】因，且， 则，可得， 所以. 故选：B. 4. 如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可． 【详解】对于B.的定义域为R，且 ，故为偶函数； 对于D.定义域为R，且 ，故为偶函数； 由图象，可知为奇函数，故排除B、D； 对于A.当时，则，而，此时，由图像知道排除A； 故选：C. 5. 若是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知根据二倍角公式和同角三角函数的基本关系可得，由是第二象限角，可得，即可求解. 【详解】由得， 因为，所以， 因为是第二象限角，所以， 所以， 所以. 故选：. 6. 在平行四边形ABCD中，，点E为CD中点，点F满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由，求解即可. 【详解】解：连接，如图所示： 因为 . 故选：A. 7. 函数在R上单调，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解. 【详解】由题意，函数在上单调递增，当时，，依题需使恒成立，则； 当时，由在上递增，需使在上恒成立，则，即； 又由在上递增，可得，解得. 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解. 【详解】由对数函数的性质知， ， ， 所以，，； 当时，， 所以 ， 取，则， 所以 ，即， 综上，. 故选：C. 【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 的相位为 B. 是曲线的一个对称中心 C. 函数的图象关于轴对称 D. 在区间上有且仅有2个极值点 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数最小正周期求出，得的相位判断选项A；检验曲线对称中心判断选项B；由平移得新函数解析式求对称性判断选项C；结合函数图象判断极值点个数判断选项D. 【详解】由题意可得的最小正周期为，所以，所以，故的相位为，故A错误； 由A可得，且，是曲线的一个对称中心，故B正确； ，不为偶函数，其图象不关于轴对称，故C错误； 时，，令，结合正弦曲线得函数在区间上有1个极小值点和1个极大值点，故D正确. 故选：BD. 10. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本（均值不等式）可判断ABD的真假；设函数（），分析其单调性，可判断C的真假. 【详解】因为，且，所以（当且仅当时取“”）. 所以，故A正确； ，故B正确； 设（），则在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以， 所以成立，故C正确； 又，又，所以，即，故D错误. 故选：ABC 11. 若函数，则（ ） A. 可能只有1个极值点 B. 当有极值点时， C. 存在，使得点为曲线的对称中心 D. 当不等式的解集为时，的极小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项，根据判别式分类讨论可得；B项，有极值点转化为，结合A项可得；C项，取，验证可得；D项，由不等式解集结合图象可知，1和2是方程的两根且，解出系数，代入函数求解极值即可判断. 【详解】， 则，令， . A项，当时，，则在上单调递增，不存在极值点； 当时，方程有两个不等的实数根，设为，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 故在处取极大值，在处取极小值，即存在两个极值点； 综上所述，不可能只1个极值点，故A错误； B项，当有极值点时,有解，则， 即.由A项知，当时，在上单调递增，不存在极值点； 故，故B正确； C项，当时，， ，所以， 则曲线关于对称， 即存在，使得点为曲线的对称中心，故C正确； D项，不等式的解集为， 由A项可知仅当时，满足题意. 则且，且在处取极大值. 即，则有， 故， ， 又， 解得， 故， 则， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 故在处有极大值，且极大值为； 在处有极小值，且极小值为； 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解决关键在于D项中条件“不等式的解集为”的转化，一是解集区间的端点是方程的根，二是在处取极值，从而. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】 原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将的值代入计算即可求出值． 【详解】因为， 所以． 故答案为： 13. 若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则______. 【答案】 【解析】 【分析】对于根据导数的几何意义可得在处的切线是；对于：，结合导数的几何意义列式求解即可. 【详解】对于：，可得， 当，则， 可知曲线在处的切线是； 对于：，可得， 令得， 由切点在曲线上得. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则______． 【答案】4048 【解析】 【分析】由为奇函数，为偶函数可先判断是周期为4的周期函数，再结合的性质计算、、的值，结合周期性得到. 【详解】由为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，可得， 所以函数关于直线对称， 所以，从而得， 所以函数是周期为4的周期函数， 因为，所以，则， 因为关于直线对称，所以， 又因为关于点中心对称，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：4048. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由代入即可求解； （2）由（1）结合正弦定理可得，再由面积公式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理可得：，即， ； 【小问2详解】 由正弦定理可得：， 则， 解得 16. 已知函数的部分图象，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出，由最小正周期求出，并确定. （2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域. 【小问1详解】 解：根据函数的部分图象 可得，，所以. 再根据五点法作图可得， 所以，. 小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 由，可得 又函数在上单调递增，在单调递减 ，， 函数在的值域. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1）减区间为，增区间为，极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值； （2）由条件可知恒成立，再分离变量求最值即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时， 求导得，整理得：. 由得；由得 从而，函数减区间为，增区间为 所以函数极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由已知时，恒成立，即恒成立， 即恒成立，则. 令函数，由知在单调递增， 从而. 经检验知，当时，函数不是常函数，所以a的取值范围是. 18. 已知在中，满足（其中分别是角的对边）. （1）求角的大小； （2）若角平分线长为1，且，求外接圆的面积； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后结合两角和差公式，以及内角和定理，诱导公式即可得解； （2）通过等面积法即可求得值，然后结合余弦定理即可求出，再利用正弦定理求出外接圆半径，从而得解； （3）利用正弦定理，将转化为角的关系式，然后利用锐角三角形求出角的范围，结合三角函数知识即可求出取值范围. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得 ， 所以，又， 即，且，即. 【小问2详解】 由等面积法：， 即，即， 由余弦定理得， ，则， 设外接圆半径为，则，， 则外接圆的面积为. 【小问3详解】 由为锐角三角形可得，得， 则， 由，得， 又， 所以， 则. 19. 定义：①若定义域为的函数满足其导函数在定义域内恒成立，则称是一个“严格增函数”；②若定义域为的函数满足其导函数是定义域为的严格增函数，则称是一个“T”函数． （1）分别判断新，是否为函数，并说明理由； （2）已知常数，若定义在上的函数是函数，判断和的大小关系，并证明； （3）已知函数的定义域为R，不等式的解集为．证明：在R上严格增． 【答案】（1）答案见详解 （2），证明见详解 （3）证明见详解 【解析】 【分析】(1)求导，根据T函数的定义得到答案； (2)构造函数，确定函数单调递增，根据得解； (3)，设，根据单调性得到恒成立，得到，再排除的情况得到证明. 【小问1详解】 由题意可知：若是一个“严格增函数”，等价于在定义域内单调递增，且， 对于：可知其定义域为R，且， 因为，可知是R上的严格增函数， 即是R上的严格增函数，故是“T函数”； 对于：可知其定义域为R，且， 因为不是R上的严格增函数，故不是“T函数”. 【小问2详解】 ，证明如下 因为定义在上的函数是T函数，则在上严格递增， 设，则， 故在上单调递增，故， 即，所以. 【小问3详解】 T函数的定义域为R，故在R上严格增， ，设，则， 当时，；当时，； 函数在内单调递减，在内单调递增， 故， 即， 当时，恒成立，则恒成立， 故， 若存在，使，则当时，， 这与，矛盾， 故不存在使， ，恒成立，故在R上严格增. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，可以简化运算，是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省临沂市临沭县第一中学2024-2025学年高三上学期10月阶段性教学质量检测数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考式结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ） A B. C. D. 5. 若是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形ABCD中，，点E为CD中点，点F满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数在R上单调，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 相位为 B. 是曲线一个对称中心 C. 函数的图象关于轴对称 D. 在区间上有且仅有2个极值点 10. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 若函数，则（ ） A. 可能只有1个极值点 B. 当有极值点时， C. 存在，使得点为曲线的对称中心 D. 当不等式的解集为时，的极小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则____. 13. 若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则______. 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）若，求的面积. 16. 已知函数部分图象，如图所示. （1）求函数解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 18. 已知在中，满足（其中分别是角的对边）. （1）求角的大小； （2）若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 19. 定义：①若定义域为的函数满足其导函数在定义域内恒成立，则称是一个“严格增函数”；②若定义域为的函数满足其导函数是定义域为的严格增函数，则称是一个“T”函数． （1）分别判断新，是否为函数，并说明理由； （2）已知常数，若定义在上的函数是函数，判断和的大小关系，并证明； （3）已知函数的定义域为R，不等式的解集为．证明：在R上严格增． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$