精品解析：福建省莆田第一中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

莆田第一中学2024-2025年度上学期八年级月考一 数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 下列图中不具有稳定性是（ ） A B. C. D. 2. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边长不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 下列叙述中，正确的是（ ） A. 每条边都相等的多边形是正多边形； B. 每个角都相等的多边形是正多边形； C. 当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加； D. 当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加． 4. 判断两个三角形全等方法不正确的有（ ） A. 两边及其夹角对应相等的两个三角形 B. 两角及其夹边对应相等的两个三角形 C. 斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形 D. 一条直角边和一个锐角对应相等的两个直角三角形 5. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为直角三角形，，，则图中互余的角有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 7. 如图，在中，已知点、、分别是、、的中点，且的面积为，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 8. 如图所示，，下列四个结论中，不正确的是（ ） A. B. ，且 C. 和的面积相等 D. 和的周长相等 9. 如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． （1）如图1，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则； （2）已知条件同（1），则； （3）如图2，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； （4）如图3，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则． 以上结论正确的共有几个（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 12. 如图，在中，，则__________． 13. 如图，岛在A岛的南偏西方向，岛在A岛的南偏东方向，岛在岛的北偏东方向，求从岛看A，两岛的视角__________°． 14. 在中，，且，则__________． 15. 如图，直角三角形中，，，，，点从向运动，每分钟走，点在过点且垂直于的射线上运动，则点运动__________分钟时才能和全等． 16. 如图，为的边上一点，过点作交的平分线于点，作交的延长线于点，若，现有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是______________（填序号）． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤．） 17. 如图，，是五边形的三个外角，若，求的度数． 18. 如图，，，，求证：． 19. 如图，在中，是的平分线，是边上的高，且，，求和的度数． 20. 如图，已知的周长是10，点为与的平分线的交点，且于．若，求的面积． 21. 求证：全等三角形对应边上的中线相等（请根据图形，写出已知、求证、证明） 已知： 求证： 证明： 22. 如图，中，，，是边上中线，，，与相交点． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图，在四边形中，平分，过作于，并且． （1）求证：． （2）求证：． 24. 如图，在四边形中，，，． （1）利用尺规作的平分线，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：； （3）求证：点是的中点． 25. 【问题呈现】 我们学习了三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”），事实上，在一定条件下，“”定理是能够用来论证三角形全等的．下面我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 〔初步探究〕 如图，不妨设：在和中，，，，然后对且进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 〔深入探究〕 第一种情况：当是直角时，． （1）如图①，在和中，，，，根据___________，可以得到． 第二种情况：当钝角时，． （2）如图②，在和中，，，，且、都是钝角，求证：．（请写出证明过程） 第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． （3）如图③，在和中，，，，且、都是锐角，请你根据图③作出，使得和不全等．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （4）当和满足什么条件时，则．请直接写出结论：在和中，，，，且、都是锐角，当__________，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田第一中学2024-2025年度上学期八年级月考一 数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 下列图中不具有稳定性是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性、四边形的不稳定性，根据三角形的稳定性、四边形的不稳定性逐一验证即可得到答案，熟记三角形的稳定性、四边形的不稳定性是解决问题的关键． 【详解】解：由三角形的稳定性、四边形的不稳定性可知，含有四边形，不具有稳定性， 故选：B． 2. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边长不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为， ∵三角形的两边长分别为和， ∴，即． ∴第三边可能为，，，不可能为 故选：D． 3. 下列叙述中，正确的是（ ） A. 每条边都相等的多边形是正多边形； B. 每个角都相等的多边形是正多边形； C. 当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加； D. 当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的知识，根据正多边形的定义判断选项A、B都错误，根据正多边形的内角和与外角和即可判断选项C和D． 【详解】解：A、每个角都相等且每条边都相等的多边形是正多边形，故A选项说法错误，不符合题意； B、每个角都相等且每条边都相等的多边形是正多边形，故B选项说法错误，不符合题意； C、边形内角和是，当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加，故C选项说法正确，符合题意； D、多边形的外角和为，故D选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 4. 判断两个三角形全等的方法不正确的有（ ） A. 两边及其夹角对应相等的两个三角形 B. 两角及其夹边对应相等的两个三角形 C. 斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形 D. 一条直角边和一个锐角对应相等的两个直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，根据选项中的描述，利用两个三角形全等的判定定理、、等逐项验证即可得到答案，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、两边及其夹角对应相等的两个三角形，说法正确，不符合题意； B、两角及其夹边对应相等的两个三角形，说法正确，不符合题意； C、斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形，由于是直角三角形，还有直角对应相等，从而根据两个三角形全等的判定定理即可确定说法正确，不符合题意； D、一条直角边和一个锐角对应相等的两个直角三角形，由于没有确定直角边与锐角的关系是邻边还是对边，无法利用两个三角形全等的判定定理确定全等关系，原说法错误，符合题意； 故选：D． 5. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由于，，添加条件，不能用证明，故本选项符合题意； B、由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； C、由于，，添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意； D、由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，为直角三角形，，，则图中互余的角有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，余角的定义，垂直的定义，先根据三角形内角和定理和角之间的关系得到，再由垂线的定义得到，，再由度数之和为90度的两个角互余即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴互余的角一共有4对， 故选：D． 7. 如图，在中，已知点、、分别是、、的中点，且的面积为，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高，由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则，再求出，，，然后利用，数形结合，熟记三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解决问题的关键． 【详解】解：点为的中点，的面积为， ，则， 是的中点， ， 点为的中点， ，， ， 故选：C． 8. 如图所示，，下列四个结论中，不正确的是（ ） A. B. ，且 C. 和的面积相等 D. 和的周长相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握“全等三角形的对应角相等；对应边相等；面积相等；周长相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，故选项A不正确，符合题意； ，和的周长相等，和的面积相等，故选项B、C、D正确，不符合题意； 故选：A． 9. 如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，由折叠可得，进而由三角形外角性质可得，，据此即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∴， ∴， 故选 ：． 10. 小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． （1）如图1，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则； （2）已知条件同（1），则； （3）如图2，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； （4）如图3，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则． 以上结论正确的共有几个（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形“手拉手”问题的解题思路是解题关键．根据等边三角形的性质证明，再进一步求解证明即可． 【详解】解：（1），均为等边三角形， ，，，， ，即， 在和中， ， ，结论正确； （2）， ， ， ， ，结论正确； （3）同理可证， ， ， 若， 则，即、、三点共线， 而题干中没有给出，无法证明，结论错误； （4）如图，在上取点，使得， 是等边三角形， 同理可证， ， ，结论正确； 结论正确的共有个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】5 【解析】 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于108° ∴每一个外角为72° ∵多边形的外角和为360° ∴这个多边形的边数是：360÷72=5 故答案为：5 12. 如图，在中，，则__________． 【答案】##130度 【解析】 【分析】利用三角形的外角的性质，直接计算即可． 【详解】解：由图可知：； 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 13. 如图，岛在A岛的南偏西方向，岛在A岛的南偏东方向，岛在岛的北偏东方向，求从岛看A，两岛的视角__________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握用方位角来描述物体所处的方向成为解题的关键．由题意可得，再根据平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴从C岛看A，B两岛的视角的度数为， 故答案为：． 14. 在中，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，先由三角形三个内角的度数之和为180度求出，再根据全等三角形对应角相等即可得到． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 15. 如图，直角三角形中，，，，，点从向运动，每分钟走，点在过点且垂直于的射线上运动，则点运动__________分钟时才能和全等． 【答案】或##8或4 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据题意，分情况讨论：①，此时，可据此求出点的位置；②，此时，、重合．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 【详解】解：根据三角形全等的判定方法可知： ①当运动到时， ， 在与中， ， 点从向运动，每分钟走， 和全等时，点运动时间为分钟； ②当运动到与点重合时，， 在与中， ， ， 点从向运动，每分钟走， 和全等时，点运动时间为分钟； 综上所述，当点运动分钟或分钟时，才能和全等， 故答案为：或． 16. 如图，为的边上一点，过点作交的平分线于点，作交的延长线于点，若，现有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是______________（填序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，可判断④；结合角平分线的定义可判断①；再由三角形外角性质可判断②；由平行线的判定与性质可判断⑤． 【详解】解：，， ， 平分， ，故①正确； ， 是的一个外角，且， ，则，故②正确； 当时，是等腰直角三角形， 当时，，但题中并没有确定的具体值，故③不一定正确； ， 是等腰三角形， ， ，， ，故③正确； 综上所述，正确的说法有 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线定义、垂直的定义、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质，数形结合是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤．） 17. 如图，，是五边形的三个外角，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的外角，解题的关键是熟知多边形的外角和为先求出与的外角和，再根据外角和进行求解 【详解】解：，， 18. 如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 由知，结合、，利用“”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 19. 如图，在中，是的平分线，是边上的高，且，，求和的度数． 【答案】； 【解析】 【分析】先由三角形内角与外角的关系可求，再根据三角形的内角和可求，最后由直角三角形可求． 【详解】∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴； ∵是高， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和以及三角形内角与外角的关系，利用此可计算其它角的度数，是一道基础题． 20. 如图，已知的周长是10，点为与的平分线的交点，且于．若，求的面积． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点作于，于，连接，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再由得到，根据三角形周长计算公式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于，于，连接， 点为与的平分线的交点，，， ， 同理，， ， ， ∴， ， ， 又的周长是10，即， ， 的面积为10． 21. 求证：全等三角形对应边上的中线相等（请根据图形，写出已知、求证、证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】详见解析. 【解析】 【分析】首先根据△ABC≌△A1B1C1，可得AB=A1B1，BC=B1C1，∠B=∠B1，进而得到中线BD=B1D1，再证明△ABD≌△A1B1D1可得AD=A1D1 ． 【详解】已知：△ABC≌△A1B1C1 ，AD、A1D1分别是对应边BC、B1C1的中线 求证：AD=A1D1 证明：∵△ABC≌△A1B1C1 ∴AB=A1B1 BC=B1C1 ∠B=∠B1 ∵AD、A1D1分别是对应边BC、B1C1的中线 ∴BD=BC； B1D1=B1C1 ∴BD=B1D1 在△ABD和△A1B1D1中: ∴△ABD≌△A1B1D1（SAS） ∴AD=A1D1 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质及判定,解题关键是注意命题的证明的格式、步骤． 22. 如图，中，，，是边上的中线，，，与相交点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质： （1）根据证明，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，再由是边上的中线，即可求解． 【小问1详解】 证明： ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， 是边上的中线， ， ． 23. 如图，在四边形中，平分，过作于，并且． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，题目比较好，难度适中． （1）如图所示，过点作交的延长线于，根据角平分线的性质得出，再证明，证出，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据，得出，证明，得出，即可证明； 【小问1详解】 证明：如图所示，过点作交的延长线于， ，，平分， ，， ， 又， ， 在和中 ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ． 24. 如图，在四边形中，，，． （1）利用尺规作的平分线，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：； （3）求证：点是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作角平分线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）作角平分线即可； （2）如图1，在上截取，连接，由，，可得，证明，则，，，证明，则，由，可求，进而结论得证； （3）由（2）可知，，，则，进而可得点是的中点． 【小问1详解】 解：如图1，、即为所作； 【小问2详解】 证明：如图1，在上截取，连接， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 小问3详解】 证明：由（2）可知，，， ∴， ∴点是的中点． 25. 【问题呈现】 我们学习了三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”），事实上，在一定条件下，“”定理是能够用来论证三角形全等的．下面我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 〔初步探究〕 如图，不妨设：在和中，，，，然后对且进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 〔深入探究〕 第一种情况：当是直角时，． （1）如图①，和中，，，，根据___________，可以得到． 第二种情况：当是钝角时，． （2）如图②，在和中，，，，且、都钝角，求证：．（请写出证明过程） 第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． （3）如图③，在和中，，，，且、都是锐角，请你根据图③作出，使得和不全等．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （4）当和满足什么条件时，则．请直接写出结论：在和中，，，，且、都是锐角，当__________，则． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）或． 【解析】 【分析】本题属于三角形的综合应用，主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）直接利用定理得出即可解答； （2）首先得出则，进而得出，再求出； （3）利用已知图形再做一个钝角三角形即可解答； （4）利用（3）中方法可得出当时，则；另外当也可得到． 【详解】（1）解：如图①， ∵， 在和中， ∴． 故答案为：． （2）证明：如图②，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵，且都是钝角， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （3）解：如图③中，在和，， 和不全等； （4）解：由图③可知，， ∴， ∴当时，就唯一确定了，则． 当时，即， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$